de Sitter空間中緊致類空超曲面的全臍性與高階平均曲率

王　琪

（貴陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550005）

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de Sitter空間中緊致類空超曲面的全臍性與高階平均曲率

王琪

（貴陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550005）

摘 要：研究de Sitter空間中緊致類空超曲面和高階平均曲率.利用一個(gè)已知的積分公式，得到了關(guān)于緊致類空超曲面全臍性的一個(gè)新定理.該新定理與已有的一些相關(guān)定理不互相包含，從而豐富了大家對(duì)全臍性這個(gè)幾何性質(zhì)以及高階平均曲率這個(gè)代數(shù)不變量的理解.

關(guān)鍵詞：de Sitter空間；緊致類空超曲面；高階平均曲率；全臍性

1977年，Goddard［1］提出猜想：de Sitte空間中有常數(shù)平均曲率的緊致類空超曲面必須是全臍的. Montiel［2］給出定理1，證明了Goddard的猜想；李海中和陳維桓［3］研究de Sitter空間中有常數(shù)高階平均曲率的超曲面，在一些附加的條件下證明了定理2；周俊東和宋衛(wèi)東［4］用活動(dòng)標(biāo)架法，給出一個(gè)簡(jiǎn)潔的結(jié)果，即定理3.

論文得到定理A，用高階平均曲率的不同的曲率條件，來刻畫de Sitter空間中緊致類空超曲面的全臍性.

定理1［2-3］設(shè)Mn是de Sitter空間Sn1＋1中緊致類空超曲面.如果Mn有常數(shù)平均曲率，則必是全臍的.

定理2［3］設(shè)Mn是de Sitter空間Sn1＋1中緊致類空超曲面.如果有某個(gè)整數(shù)r （1≤r≤n-1），使得Hr在Mn上為常數(shù)，且

在Mn上成立，則Mn必是全臍的.

定理3［4］設(shè)Mn是de Sitter空間中緊致類空超曲面.如果Mn有常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量曲率R，且

則Mn必是全臍的.

定理A 設(shè)Mn是de Sitter空間中緊致類空超曲面.如果存在兩個(gè)整數(shù)r，s，使得

而且Hr在Mn上處處非零，且在Mn上為常數(shù)，則Mn必是全臍的.

1　準(zhǔn)備和引理

記

為（n ＋2）維有序?qū)崝?shù)組全體的集合.

Rn＋2按通常的歐氏度量為歐氏拓?fù)淇臻g，同時(shí)Rn＋2有一個(gè)自然的整體坐標(biāo)系帶來的微分結(jié)構(gòu)且是微分流形.

給Rn＋2賦予如下Lorentz度量〈，〉

則得一個(gè)偽黎曼空間，即（n ＋2）維Lorentz-Minkowski空間［5-9］，記為L(zhǎng)n＋2.

考慮Ln＋2的如下子流形［5-9］

設(shè)Mn是的n維浸入子流形.如果的Lorentz度量限制在Mn上時(shí)是黎曼度量，則稱Mn是的一個(gè)類空超曲面［5-9］.

設(shè)Mn的主曲率為λi（1≤i≤n），則Mn的第r階高階平均曲率Hr定義如下［1-3，5-8］

其中：是通常的組合數(shù).

以下規(guī)定

引理1［11-14］如果對(duì)某個(gè)整數(shù)r （1≤r≤n）而言，Hr＞0在Mn上處處成立，則可以選擇Mn的適當(dāng)?shù)墓饣ㄏ蛄繄?chǎng)，使得Hk＞0，k＝0，1，…，r-1，r也在Mn上處處成立.

引理2［11-14］對(duì)r＝1，2，…，n，有

而且對(duì)r＝1，2，…，n-1而言，上式當(dāng)且僅當(dāng)在Mn的臍點(diǎn)處成立.

引理3［3，6］設(shè)Mn是de Sitter空間中緊致類空超曲面，則有

其中：p∈Ln＋2是任意一個(gè)固定向量，x∈Mn表示Mn上點(diǎn)在Ln＋2中位置向量，〈·，·〉表示Ln＋2的Lorentz內(nèi)積，dx是Mn的n維黎曼體積元，N表示Mn上任意選定的一個(gè)光滑單位法向量場(chǎng).

2　定理A的證明

首先，為明確計(jì)，不妨設(shè)r＞s.

任意選定一個(gè)類空向量a∈Ln＋2，則Mn關(guān)于a∈Ln＋2的高度函數(shù)

該函數(shù)在Mn上連續(xù).因?yàn)镸n是緊致的，故必有一點(diǎn)x0∈Mn，使得h （x0）達(dá)到最大值，而在該點(diǎn)x0∈Mn處，Mn的全部主曲率都非負(fù)（適當(dāng)選定單位法向量場(chǎng)N）.因此，在點(diǎn)x0∈Mn處，有

又因?yàn)榧僭O(shè)Hr在Mn上處處非零而且Hr是連續(xù)的，所以，可以適當(dāng)選擇Mn的單位法向量場(chǎng)N，使得

干預(yù)組治療后消化道反應(yīng)、Ⅲ～Ⅳ度骨髓抑制不良反應(yīng)發(fā)生率明顯低于對(duì)照組(P<0.05)，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，見表3。

由上式及引理1，有

所以，由引理2，有

從引理3的積分公式，有

注意到

上面積分公式即

再用引理3的積分公式，得

用（3）式減去（2）式，有

觀察（1）式，有

最后，由（4）～（6）式，得到

所以，（1）式中的所有不等號(hào)事實(shí)上都取到了等號(hào).再由引理2，就知道Mn必須是全臍的.

參考文獻(xiàn)：

［1］ GODDARD A J.Some remarks on theexistence of space-like hyper-surfaces of constant mean curvature［J］. Math Proc Cambridge Phil Soc，1977，82：480-495.

［2］ MONTIEL S.An inequality for compact space-like hyper-surfaces in de Sitter space and applications to the case of constant meancurvature［J］.Indiana Univ Math J，1988，37：909-917.

［3］ 李海中，陳維桓.de Sitter空間中緊致類空超曲面的積分公式及其Goddard猜想的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998，41（4）：807-810.

［4］ 周俊東，宋衛(wèi)東.關(guān)于de Sitter空間中類空子流形的一些剛性定理［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2012，28（1）：73-79.

［5］ ALMA L，ALBUJER L J.Spacelike hypersurfaces with constant mean curvature in the steady state space［J］. Proc Amer Math Soc，2009，137（2）：711-721.

［6］ ALEDO J A，Al’as L J，ROMERO A.Integral formulas for compact hypersuffaces in de Sitter space. application to the case of constant higher order mean curvature［J］.J Geom Phys，1999，31：195-208.

［7］ ZHENG Y.Spacelike hypersurfaces with constant scalar curvature in the de Sitter space［J］.Differential Geom Appl，1996，6：51-54.

［8］ ALEDO J A.Curvature property of compact spacelike hypersurfaces in de Sitter space［J］.Differential Geometry and its Applications，2001，14：137-149.

［9］ AKUTAGAWA K.On spacelike hypersurfaces with constant mean curvature in the de Sitter space［J］.Math Z，1996（1）：13-19.

［10］ RRMANATHAN J.Complete spacelike hypersurfaces of constant mean curvature in de Sitter space［J］. Indiana Univ Math J，1987，36（2）：349-359.

［11］ KHO S E.A characterization of round spheres［J］.Proc Amer Math Soc，1998，126（12）：3657-3660.

［12］ BECKEN E F.Inequalities［M］.Berlin：Spring-Verlag，1971.

［13］ MONTIEL S，ROS A.Differential geometry［M］.New York：Longman，1991.

［14］ 王琪.歐氏空間中的全臍超曲面與高階平均曲率［J］.安徽大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，38（5）：7-9.

（責(zé)任編輯 朱夜明）

Totally umbilical property of compact space-like hyper-surfaces in de Sitter space and higher order mean curvatures

WANG Qi
（School of Mathematics and Information Science，Guiyang University，Guiyang 550005，China）

Abstract：The totally umbilical property of compact space-like hyper-surfaces in de Sitter space and higher order mean curvatures were studied.By using a known integral formula，a new theorem was attained.Our new theorem was different from some relevant known theorems and thus enriches our understanding of a geometry property i.e.，totally umbilical property and an algebra invariant quantity i.e.，higher order mean curvatures.

Key words：de Sitter space；compact space-like hyper-surface；higher order mean curvature；totally umbilical property

doi：10.3969／j.issn.1000-2162.2016.01.002

作者簡(jiǎn)介：王 琪（1963-），男，湖南省雙峰人，貴陽(yáng)學(xué)院教授，博士.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11561012）；貴州省科技廳科研基金資助項(xiàng)目（黔科合［2014］2005）

收稿日期：2015-04-12

中圖分類號(hào)：O186.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-2162（2016）01-0007-04