非方的分?jǐn)?shù)階退化時(shí)滯微分方程的通解形式

張志信，蔣　威

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601）

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非方的分?jǐn)?shù)階退化時(shí)滯微分方程的通解形式

張志信，蔣威

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601）

摘 要：隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在物理、控制等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，含有退化因素的分?jǐn)?shù)階微分方程已成為分?jǐn)?shù)階微分方程理論的研究熱點(diǎn).主要討論分?jǐn)?shù)階退化時(shí)滯微分方程的系數(shù)矩陣在非方矩陣的情況下方程的轉(zhuǎn)化問(wèn)題和該方程的通解表達(dá)式.首先，利用廣義逆矩陣?yán)碚摻o出了系數(shù)矩陣不是方陣的分?jǐn)?shù)階退化時(shí)滯微分方程的可以正?；某湟獥l件.其次，利用Laplace變換方法分別給出了非方的分?jǐn)?shù)階退化微分方程和非方的分?jǐn)?shù)階退化時(shí)滯微分方程的通解形式.所得結(jié)果推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.

關(guān)鍵詞：退化微分方程；分?jǐn)?shù)階；時(shí)滯；通解形式

“分?jǐn)?shù)階微積分”概念的出現(xiàn)至今已有300多年歷史，由于沒(méi)有相關(guān)的應(yīng)用背景，分?jǐn)?shù)階微積分理論在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)都處于理論研究階段.直至1974年，第一本關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的著作《分?jǐn)?shù)階微積分》［1］出版，同時(shí)在美國(guó)的New Haven大學(xué)召開(kāi)了首次分?jǐn)?shù)階微積分會(huì)議，分?jǐn)?shù)階微積分理論迎來(lái)了飛速發(fā)展時(shí)期.最近幾十年，分?jǐn)?shù)階微積分與分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)無(wú)論是在理論研究還是在具體應(yīng)用上都有了飛速發(fā)展.由于分?jǐn)?shù)階微分模型可以很好地描述物質(zhì)的記憶和遺傳特性，分?jǐn)?shù)階微分方程被廣泛用來(lái)描述光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號(hào)處理和系統(tǒng)識(shí)別、控制和機(jī)器人等領(lǐng)域［2-7］中的問(wèn)題.分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)可以更好地?cái)M合實(shí)際系統(tǒng)，表現(xiàn)出了整數(shù)階微分系統(tǒng)所沒(méi)有的特性，有很好的應(yīng)用價(jià)值.

由于在控制理論、生物系統(tǒng)、人工智能以及在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中普遍存在退化現(xiàn)象，退化微分系統(tǒng)具有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值和理論意義，對(duì)經(jīng)典整數(shù)階退化系統(tǒng)的研究已取得了豐富的理論成果［8-12］.目前，關(guān)于分?jǐn)?shù)階退化微分系統(tǒng)的研究已受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.Liu等［13］利用李雅普諾夫方法討論了分?jǐn)?shù)階中立型退化時(shí)滯微分系統(tǒng)的Mittag-Leffler穩(wěn)定性條件；Zhang等［14］利用特征值方法研究了線性分?jǐn)?shù)階退化時(shí)滯微分系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性問(wèn)題；N’Doye等［15］針對(duì)分?jǐn)?shù)階不確定退化微分方程，利用LMI方法討論了在Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)意義下的分?jǐn)?shù)階退化系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性的充分條件；Jiang等［16］利用Laplace變換研究了分?jǐn)?shù)階退化時(shí)滯微分方程的通解公式，給出了在Caputo導(dǎo)數(shù)和Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)下系統(tǒng)的解的結(jié)果和具體形式；Zhang等［17］討論了分?jǐn)?shù)階退化微分方程在Caputo導(dǎo)數(shù)意義下的解的表達(dá)形式和有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題.從現(xiàn)有的研究結(jié)果看，對(duì)于系數(shù)矩陣不是方陣的分?jǐn)?shù)階退化微分方程的研究較少.論文主要討論系數(shù)矩陣不是方陣的分?jǐn)?shù)階退化時(shí)滯微分方程的正常化問(wèn)題，并在保證方程可以正常化的基礎(chǔ)上，利用Laplace變換給出了方程的通解形式.

1　預(yù)備知識(shí)

定義1［3-4］假設(shè)f（x）在［a，＋∞）上是分段連續(xù)的，并且在其任何有限子區(qū)間上可積，Rep＞0，當(dāng)t＞a時(shí)，則稱

是f（t）的p階Riemann-liouville分?jǐn)?shù)積分，簡(jiǎn)稱為“R-L分?jǐn)?shù)階積分”.

定義2［3-4］假設(shè)0≤n-1＜α＜n，n∈N，f（t）∈C，并且有n階連續(xù)的整數(shù)導(dǎo)數(shù)，則

稱為f（t）的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).為了區(qū)別，在左上角標(biāo)以c.

注1 當(dāng)0＜α＜1時(shí)，有

其中

注2 當(dāng)α→n時(shí)，（2）式經(jīng)過(guò)運(yùn)算右端趨于整數(shù)導(dǎo)數(shù)f（n）（t），有

Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換定義為

注3 當(dāng)0＜p＜1時(shí)，有

定義3［18］對(duì)于矩陣Em×n，若存在矩陣Xn×m滿足

EXE＝E，

則稱X是矩陣E的半逆矩陣.用E-表示矩陣E的一個(gè)半逆矩陣.

注4 E-不是唯一的.

定義4 若微分方程

在一定條件下能轉(zhuǎn)化成和其是同解的正常的微分方程，則稱微分方程（3）可以正?；?其中：E∈Rm×n（m≠n）是非方的矩陣，x （t）∈Rn，f （t，x（t））∈Rm，rankE＜n，cDα表示Caputo導(dǎo)數(shù).

2　主要結(jié)果

現(xiàn)在考慮非方的分?jǐn)?shù)階退化微分系統(tǒng)

及非方的分?jǐn)?shù)階退化時(shí)滯微分系統(tǒng)

的正?；瘑?wèn)題及通解表達(dá)式.其中：E，A，B∈Rm×n（m≠n）都是非方的矩陣，x （t）∈Rn，f（t）∈Rm，rankE＜n，φ（t）∈Rn是已知函數(shù)，cDα表示Caputo導(dǎo)數(shù)，0＜α＜1.

下面討論系數(shù)矩陣不是方陣的分?jǐn)?shù)階退化微分方程可以正?；某湟獥l件.

對(duì)于系數(shù)矩陣不是方陣的分?jǐn)?shù)階微分方程

其中：E∈Rm×n（m≠n）是非方的矩陣，x （t）∈Rn，f （t，x（t））∈Rm，rankE＜n，cDα表示Caputo導(dǎo)數(shù).

定理1 方程（6）可以被正常化的充分必要條件是存在E-，使得

而且方程被正常化以后的表達(dá)式為

其中：ξ∈Rn是任意向量.

證明 充分性條件.假設(shè)存在E-，有EE-f （t，x（t））＝f （t，x（t））式成立，有

由此可知（7）的任一個(gè)解都是（6）的解.

另一方面，對(duì)于方程（6）的任意一個(gè)解x （t），對(duì)x （t）求α階導(dǎo)數(shù)后得到

從上式可以看出它具有（7）的形式，即（6）的解是（7）的解.說(shuō)明（6）和（7）的解是相同的，方程（6）能夠正?；?

下面證明必要性.假設(shè)方程（6）能夠正常化，且具有（7）的形式，則對(duì)于任意的E-，有

可得條件EE-f （t，x （t））＝f （t，x （t））成立.證畢.

注5 通過(guò)一個(gè)具體例子來(lái)說(shuō)明條件EE-f （t，x （t））＝f （t，x （t））是有意義的，如

下面在方程（4）滿足可以正?；那疤嵯?，討論該方程的通解表達(dá)式.

假設(shè)方程（4）可以正?；?，那么對(duì)其正?；院蠓匠蹋?）變成

其中：E，A∈Rm×n（m≠n），x （t）∈Rn，f（t）∈Rm，rankE＜n，E-是E的半逆矩陣，ξ是任意向量，cDα表示Caputo導(dǎo)數(shù).

先考慮如下方程

滿足方程（9）的解稱為方程（8）的基礎(chǔ)解.

令H（λ）＝λαI-E-A，由（9）有

其中：L-1是Laplace逆變換.

在得到方程（8）的基礎(chǔ)解后討論方程（8）的通解形式.

對(duì)方程（8）兩邊使用Laplace變換，有

即

又因?yàn)?，?/p>

所以，有

對(duì)上式實(shí)施反Laplace變換，有

由上面的分析，可以得到下面結(jié)論.

定理2 若分?jǐn)?shù)階退化微分方程（4）可以正?；?，那么方程（4）的解的形式為

其中：X （t）是方程（9）的解，ξ是任意向量，E-是E的一個(gè)半逆矩陣.

下面考慮方程（5）的通解表達(dá)式.若方程（5）能夠正?；?，則正?；院蠓匠蹋?）變成

其中：E，A，B∈Rm×n（m≠n）都是非方的矩陣，x （t）∈Rn，f（t）∈Rm，rankE＜n，φ（t）∈Rn是已知函數(shù)，E-是E的半逆矩陣，ξ是任意向量，cDα表示Caputo導(dǎo)數(shù).

先考慮如下方程

滿足方程（11）的解稱為方程（10）的基礎(chǔ)解.

令H（λ）＝λαI-E-A-e-λE-B，對(duì)方程（11）實(shí)施Laplace變換可得

則方程（11）的解為

定理3 若分?jǐn)?shù)階退化時(shí)滯微分方程（5）符合正?；瘲l件，那么方程（5）的通解表達(dá)式為

其中

X （t）是方程（11）的解，E-是E的半逆矩陣，ξ是任意向量.

證明 對(duì)方程（10）兩邊同時(shí)實(shí)施Laplace變換可得

有

令

再由

則上式變?yōu)?/p>

對(duì)上式實(shí)施反Laplace變換，可得

則（12）式是方程（10）的解，也是方程（5）的解.證畢.

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（責(zé)任編輯 朱夜明）

The explicit representation of solutions for the general fractional degenerate differential equation with delay

ZHANG Zhixin，JIANG Wei
（School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230601，China）

Abstract：With the wide application of fractional differential system theory in the field of physics，control，etc.，fractional degenerate differential equations have become an important topic in the field of the fractional differential equation.In this paper，the transformation problem and the explicit representation of solution were considered for fractional degradation delay differential equations with non-square matrix.By using the generalized inverse matrix theory，sufficient and necessary conditions that guarantee the general fractional degenerate differential equation with delay were normalized.By combining the fractional Laplace transform method，the explicit representation of solution was derived for fractional degenerate（delay）differential equations.The results generalized the corresponding results of the relevant literature.

Key words：degenerate differential equation；fractional order；delay；the explicit representation of solution

doi：10.3969／j.issn.1000-2162.2016.01.001

作者簡(jiǎn)介：張志信（1976-），男，安徽安慶人，安徽大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11071001，11371027，11201248）；高校博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（20123401120001）；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（1208085MA13）；安徽大學(xué)博士科研啟動(dòng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目（023033190142）

收稿日期：2015-03-16

中圖分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-2162（2016）01-0001-06