四階雙曲最優(yōu)控制問題有限元法的性質(zhì)①

侯春娟， 陳雪姣

(廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院,廣東 廣州 511300)

1 最優(yōu)控制問題的有限元方法

考慮的模型是如下的最優(yōu)控制問題：

(1)

服從狀態(tài)方程

ytt+Δ2y=f+u,x∈Ω,t∈J

(2)

邊界條件

(3)

y(x,0)=y0(x),yt(x,0)=y1(x),x∈Ω

(4)

其中Ω?R2是一個(gè)在邊界?Ω上有界的多邊形。Uad表示控制變量的容許集，定義如下

f和yd表示已知的函數(shù)，f,yd∈L2(J;L2(Ω)),y0,y1∈H4(Ω),J=[0,T].則有

(5)

(ytt,w)+(divp,w)=(f+u,w)?w∈W,t∈J

(6)

(7)

(8)

(9)

y(x,0)=y0(x),yt(x,0)=y1(x)x∈Ω(10)

(11)

(12)

(13)

(ytt,w)+(divp,w)=(f+u,w)?w∈W,t∈J

(14)

y(x,0)=y0(x),yt(x,0)=y1(x)x∈Ω

(15)

(16)

(17)

(18)

-(ztt,w)+(divq,w)=(y-yd,w)?w∈W,t∈J

(19)

z(x,T)=0,zt(x,T)=0,x∈Ω

(20)

(21)

令τh是區(qū)域Ω上的正則三角剖分，hτ是τ的半徑，且h=maxhτ.令εh是三角剖分單元邊界的集合，且Γh=∪εh.令Vh×Wh?V×W表示與區(qū)域Ω中的三角剖分τh相關(guān)的Raviart-Thomas空間。定義：

Vh:={vh∈V:?τ∈τh,vh|τ∈V(τ)};

Wh:={wh∈W:?τ∈τh,wh|τ∈W(τ)};

Kh:=L2(J;Wh)∩Uad

(22)

(23)

(24)

(yh,tt,wh)+(divph,wh)=(f+uh,wh)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

-(zh,tt,wh)+(divqh,wh)=

(yh-yd,wh)?wh∈Wh,t∈J

(30)

zh(x,T)=0,zht(x,T)=0,x∈Ω

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

則有：

r1+e1+η1,y-yh=y-y(uh)+y(uh)-

2 結(jié) 論

由準(zhǔn)備工作，得到下面的誤差方程：

(e1,v)-(e2,divv)=0,?v∈V

(37)

(dive1,w)=(e4+η4,w)?w∈W

(38)

(e3,v)-(e4,divv)=0?v∈V

(39)

(e2tt,w)+(dive3,w)=-(η2tt,w)?w∈W

(40)

性質(zhì)2.1令e1-e4滿足方程(37)-(40)，則有

‖e2‖L(J;L2(Ω))+‖e1‖L(J;H(div;Ω))+

‖e4‖L(J;L2(Ω))+‖e3‖L2(J;H(div;Ω))

‖η2‖L(J;L2(Ω))+‖η2t‖L2(J;L2(Ω))+

(41)

證明：將(37)-(38)進(jìn)行積分，則有

(e1t,v)-(e2t,divv)=0,?v∈V

(42)

(dive1t,w)=(e4t+η4t,w)?w∈W

(43)

在(42),(43)及(39),(40)中，分別令v=e3,w=-e4,v=-e1t,w=e2t,將四個(gè)方程做和

(e2t,e2tt)+(e4t,e4)=-(η4t,e4)-(η2tt,e2t)

將上式從0到t進(jìn)行積分，并使用柯西不等式和Gronwall不等式，得

‖e2t‖L(J;L2(Ω))+‖e4‖L2(J;L2(Ω))

C(‖η4t‖L2(J;L2(Ω))+‖η2tt‖L2(J;L2(Ω))+

‖e2t(0)‖+‖e4(0)‖)

(44)

‖e2t(0)‖

(45)

‖e2‖C(‖e2t‖L(J;L2(Ω)+‖e2(0)‖)

(46)

(37)-(40)中，分別令v=e1,w=e2,v=e3,w=e4,得

‖e1‖L(J;L2(Ω))‖η4‖L(J;L2(Ω))+

‖e4‖L2(J;L2(Ω))+‖e2‖L(J;L2(Ω))

(47)

‖e3‖L(J;L2(Ω))‖e2tt‖L(J;L2(Ω))+

‖η2tt‖L2(J;L2(Ω))+‖e4‖L(J;L2(Ω))

(48)

對(39)-(40)及(42)-(43)對t進(jìn)行積分，有

(e3t,v)-(e4t,divv)=0?v∈V

(49)

(e2ttt,w)+(dive3t,w)=-(η2ttt,w)?w∈W

(50)

(e1tt,v)-(e2tt,divv)=0,?v∈V

(51)

(dive1tt,w)=(e4tt+η4tt,w),?w∈W

(52)

在(49) -(52)中，分別令v=-e1tt,w=-e2tt,v=-e3t,w=-e4t，并做合得

(e2ttt,e2tt)+(e4tt,e4t)=-(η4tt,e4t)-(η2ttt,e2tt)

(53)

類似(44)，則有

‖e4t‖L(J;L2(Ω))+‖e2tt‖L(J;L2(Ω))

C(‖η4tt‖L2(J;L2(Ω))+‖η2ttt‖L2(J;L2(Ω))+

‖e2tt(0)‖L2(J;L2(Ω))+‖e4t(0)‖)

(54)

當(dāng)t=0時(shí)，在(40)中令w=e2tt(0)，從而

‖e2tt(0)‖‖dive3(0)‖+‖η2tt(0)‖

‖divη3(0)‖+‖η2tt(0)‖+

‖Δ2y0-divph(0)‖

(55)

注意

‖e4t(0)‖

‖η4t(0)‖

(56)

最后，在(37)和(40) 中，分別令w=dive1,w=dive3作為檢驗(yàn)函數(shù)，得：

‖dive1‖L(J;L2(Ω))‖η4‖L(J;L2(Ω))+

‖e4‖L(J;L2(Ω))

(57)

‖dive3‖L(J;L2(Ω))‖η2tt‖L(J;L2(Ω))+

‖e2tt‖L(J;L2(Ω))

(58)

綜上，性質(zhì)2.1得證。