高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的選題和講題要點(diǎn)分析
——以函數(shù)問題為例

許 慶

（肇慶中學(xué)，廣東 肇慶 526060）

對于數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是高三數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容的安排和設(shè)置是師生交流的橋梁，要有利于教師檢測學(xué)生知識掌握程度，發(fā)展學(xué)生思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；要有利于學(xué)生高考優(yōu)異成績的取得。根據(jù)高三數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)和規(guī)律，“解決問題”或者說“數(shù)學(xué)題講解”是課堂的主要內(nèi)容，高三數(shù)學(xué)教學(xué)一定要重視選擇問題的標(biāo)準(zhǔn)以及講題教學(xué)的要點(diǎn)。根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以函數(shù)內(nèi)容為例總結(jié)了選擇題目的要點(diǎn)以及如何充分利用問題、講解問題，期望為高三數(shù)學(xué)教學(xué)在選好題、講好題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力和數(shù)學(xué)探索能力方面提供借鑒。

一、選題要點(diǎn)

選題要選擇那些能夠通過問題的解決過程回顧知識點(diǎn)、理解概念、發(fā)展思維能力、檢驗(yàn)復(fù)習(xí)效果的題目。

（一）通過解題過程，回顧知識點(diǎn)，再次理解概念

（2）設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時f(x)是單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有x之和為( )。

A.-3 B.3 C.-8 D.8

這道題的重點(diǎn)是對奇函數(shù)和偶函數(shù)概念的理解。提示學(xué)生審題后首先回顧奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義和性質(zhì)，比如定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x),圖像的對稱性等。如果學(xué)生能夠認(rèn)識到（1）中利用定義域的對稱性馬上可以得到答案后，學(xué)生就會重視對于知識點(diǎn)的記憶與理解。

而對于（2）這樣的抽象函數(shù)，學(xué)生概念不清楚，做題容易出錯，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生一句句回顧定義，尤其是其中一句，“當(dāng)x＞0時f(x)是單調(diào)函數(shù)”?；貧w定義，單調(diào)函數(shù)，分為單調(diào)遞增(對任意的0＜x1＜x2,有f(x1)＜f(x2))和單調(diào)遞減(對任意的0＜x1＜x2,有f(x1)＞f(x2))。繼續(xù)回顧下去，引導(dǎo)學(xué)生揭示當(dāng)x＞0時對f(x)而言，x與y是一一對應(yīng)的以后，問題就會明朗起來，說明當(dāng)x＞0時，有?？紤]到第一句話中的偶函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生再回顧偶函數(shù)定義f(-x)=f(x),那么就會有,所以就有了x2+3x-3=0和x2+5x+3=0,可以看到兩個方程均有實(shí)數(shù)根，且x1+x2=-3;x3+x4=-5。

在解這個問題過程中，要給學(xué)生充分的時間嘗試、探究，從而自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律和結(jié)論。教師不斷的提醒每一個定義，適當(dāng)?shù)闹貜?fù)、提醒。從這個問題中學(xué)生可以將單調(diào)性、奇偶性等知識激活，并檢索、提取，并不再停留在簡單的重復(fù)背誦上，而是理解意義上的記憶。這樣的題目不但回顧了知識，當(dāng)解題成功完成后，學(xué)生對相關(guān)知識的理解也更深刻。

例2 （1）函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇0,1]，求函數(shù)f(x+2)的定義域。（2）函數(shù)f(x+2)定義域?yàn)閇0,1]，求函數(shù)f(x)的定義域。

對于例2中的問題，由于學(xué)生不理解函數(shù)概念以及函數(shù)符號導(dǎo)致解題容易出錯。對此類問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)定義，在理解的基礎(chǔ)上解決問題后，對糾正學(xué)生的認(rèn)識會有很大的幫助。首先回顧函數(shù)是從數(shù)集A到數(shù)集B的一個特殊映射，A叫做定義域。對于f(x)與f(x+2)是不同函數(shù)，那么對于f(x),（1）就可以認(rèn)為A=[0,1],所以f(x+2)當(dāng)中的(x+2)∈[0,1]。而對于（2）要再次提醒學(xué)生，定義域是一個集合，是x取值的集合，所以（2）中“f(x+2)定義域?yàn)閇0,1]”的理解應(yīng)該是x∈[0,1],從而(x+2)∈[2,3]。

教師所選擇的問題，應(yīng)該追求在自然、主動的狀態(tài)下使學(xué)生完成“概念再認(rèn)識”過程，從而實(shí)現(xiàn)對概念的再理解，并使學(xué)生養(yǎng)成靈活的運(yùn)用概念思考問題的習(xí)慣，從而極大的提高學(xué)生的解題水平和數(shù)學(xué)能力。李邦河院士說過“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！”所以我們在選題時要重視那些對于概念記憶和理解有幫助的問題。而教師在設(shè)置問題時，如果能使學(xué)生解題時在一種自然、主動的狀態(tài)下完成“概念再發(fā)現(xiàn)”過程，展示教師運(yùn)用概念去思考問題的想法，使學(xué)生感覺到解題過程是自然的，這樣學(xué)生就會慢慢學(xué)會用概念去思考問題、指導(dǎo)思維的方式。

（二）通過題目發(fā)展思維能力，檢驗(yàn)復(fù)習(xí)效果

A.2個 B.3個 C.5個 D.無數(shù)個

題目中的f(x)形式較為復(fù)雜，學(xué)生能否想到將f(x)換為,然后再進(jìn)一步考慮到是解題的關(guān)鍵所在。另外在這個題目當(dāng)中也考查到了基本函數(shù)圖像變換能力和數(shù)形結(jié)合的思想。

例4 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=x2,若對任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )。

首先題目當(dāng)中給出了當(dāng)x≥0時，f(x)=x2和不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，引導(dǎo)學(xué)生再次回顧問題，考慮到題目特點(diǎn)就設(shè)想：不等式的右邊的“2f(x)”能否可以變成f(?),這是解題思維重點(diǎn)。注意到題目的特點(diǎn)，很快就會發(fā)現(xiàn)無論x為正還是負(fù)，都會有2f(x)=f(2x),再結(jié)合單調(diào)性馬上可以把問題簡化為“x∈[t,t+2],不等式x+t≥ 2x”,這時問題就簡單很多了，只需要再考慮關(guān)于x的一次不等式(1- 2)x+t≥0在區(qū)間[t,t+2]恒成立就可以解決問題了。

例3和例4對學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸能力提出了要求，通過這樣的題目訓(xùn)練，學(xué)生對于函數(shù)問題的轉(zhuǎn)化化歸方向必然會有相應(yīng)的收獲。

另外在課堂上，教師通過精心選擇的適當(dāng)問題，檢驗(yàn)和評價學(xué)生所掌握的概念和知識，并且如果能盡可能多讓學(xué)生發(fā)表自己的看法，就可以通過這些活動暴露學(xué)生的思維過程，找到他們腦海中的解決問題的典型方法和存在的概念以及一些典型的錯誤，還可以促進(jìn)學(xué)生自發(fā)的進(jìn)行歸納。學(xué)生也可以通過題目的反饋以及分析個人的解題活動，感受到面臨問題的困境、經(jīng)過努力完成問題的喜悅感和滿足感。問題的解決過程能激發(fā)學(xué)生繼續(xù)解決數(shù)學(xué)問題、研究數(shù)學(xué)問題的熱情。

二、講題的重點(diǎn)

教師在講解題目時要注意的幾個問題是：首先一定要教會學(xué)生讀題。讀題時避免滑過題目，要在關(guān)鍵詞句上重點(diǎn)斟酌，解題思路可以優(yōu)先考慮聯(lián)想，轉(zhuǎn)化。還要注意在解完一個問題后，要在問題的疑難點(diǎn)上下功夫，也要注重探究和變式。

（一）重視讀題，教師要避免包辦代替

有一種說法，“讀題三遍，其義自現(xiàn)”。第一遍，縱觀全題，關(guān)注題目中出現(xiàn)的概念和定義，回憶概念和定義，讀通題目；第二遍，這些概念和定義有沒有相關(guān)的結(jié)論或者圖形，讀出題目背后的含義，從操作層面確定一些方向；第三遍，題目中式子、問題是否存在某些關(guān)鍵點(diǎn)、特殊處，對于這些有什么聯(lián)想。題目的關(guān)鍵、特殊處就是一些概念或者問題的節(jié)點(diǎn)，或者解決問題的核心。找到這些，對于解題的知識準(zhǔn)備和方法指導(dǎo)就有了方向。另外，還要注意一些關(guān)鍵知識點(diǎn)，比如函數(shù)中定義域、單調(diào)性、圖形等，這些是熱點(diǎn)知識，應(yīng)該不斷的反復(fù)回顧反思，達(dá)到見到就能很快得到轉(zhuǎn)化。

例5 函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的減函數(shù)，又a∈R,則( )。

A.f(a)＞f(2a) B.f(a2)＜f(a)

C.f(a2+a)＜f(a) D.f(a2+1)＜f(a)

這個問題，在讀第一遍時引導(dǎo)學(xué)生注意到減函數(shù)的定義，“定義域內(nèi)任意的x1＜x2,都有f(x1)＞f(x2)”,反過來也成立。從而題目的選項(xiàng)就變成了比較自變量的大小。

例6 冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈N?)的圖像與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)，且關(guān)于y軸對稱，則m的值等于（ ）。

A.-1、0、1、2、3 B.0、1、2、3 C.1、3 D.1、2、3

讀題時引導(dǎo)學(xué)生注意幾個關(guān)鍵詞句：冪函數(shù)、m∈N?、與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)、關(guān)于y軸對稱。最后一個關(guān)鍵詞“關(guān)于y軸對稱”是關(guān)鍵，意味著函數(shù)為偶函數(shù)，而結(jié)合冪函數(shù)和m∈N?,就會得到m2-2m-3必須為偶數(shù)，這時注意到m2-2m-3=(m-3)(m+1),從而m一定為奇數(shù)，從而得到答案。

通過這樣的解讀題目的示范和引導(dǎo)，自然會引導(dǎo)學(xué)生找到數(shù)學(xué)解題方法，也認(rèn)識到數(shù)學(xué)解題能力提升的必要性。

（二）解完題之后要在疑難點(diǎn)下功夫

對于一些綜合問題，教師在講題時要注意兩個問題：第一，講解前一定要讓學(xué)生經(jīng)歷一個“痛苦”的思考過程，要使學(xué)生經(jīng)歷上述的獨(dú)立讀題、思考過程，再來引導(dǎo)、教學(xué)。孔夫子說過“不憤不啟，不悱不發(fā)”。如果學(xué)生沒有獨(dú)立思考教師就開始講解，對于學(xué)生解題能力的提高沒有幫助，剝奪了學(xué)生體驗(yàn)失敗和成功的機(jī)會，必然導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的低下，也很容易出現(xiàn)“老師平時講了，作業(yè)會做，考試還是不會?！被蛘摺澳苈牰粫忸}?！钡惹闆r。直接影響就是學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識理解的深度和對于數(shù)學(xué)問題的敏感程度。第二，不能講解完解答過程得到結(jié)果，就終止一個題目的教學(xué)。要利用好每一個題目，做好變式訓(xùn)練。

例7（2015廣州一模）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足

（1）求a2的值；（2）求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)；（3）是否存在正整數(shù)k使ak,S2k-1,a4k成等比數(shù)列？若存在求k的值；若不存在，請說明理由。

在這個題目中對于（2）可以先求出an或者Sn的遞推公式，然后使用數(shù)學(xué)歸納法或者使用構(gòu)造法解決。不過教師在講解完題目后，除了關(guān)注本題的解題方法之外，還可以引導(dǎo)學(xué)生做出以下思考：改變a1的值后數(shù)列{an}是否還是等差數(shù)列？將后如何？或者更進(jìn)一步將后又如何？隨著教師這樣的變式教學(xué)，學(xué)生勢必對于方法的適用范圍進(jìn)一步理解，對各種方法的熟練程度大幅提升。

另外對于此題，教師在講解完后，還可以提示，{an}是一個等差數(shù)列關(guān)于n的一次函數(shù)，Sn是一個關(guān)于n的二次函數(shù)，關(guān)注式子兩邊會看到，左右兩邊k的次數(shù)是一致的，自然可以形成一個恒等式。那么對于這類題目的構(gòu)造可以進(jìn)一步，只要左右兩邊an和Sn能夠構(gòu)成恰當(dāng)?shù)男问?，保證兩邊k的次數(shù)一致，是否可以自己編出新的題目？實(shí)際上多個高考題都是基于此類形式而出。當(dāng)學(xué)生了解到這些，對數(shù)學(xué)問題解題思路會豁然開朗，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，而這對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有很大幫助的。

三、結(jié)論

教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，無論“選題”還是“講題”，都要有針對性，要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解、回顧和深化，啟發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 王志成.尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，崇尚數(shù)學(xué)解題思維的自然性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（11）：40-42.