例談數(shù)學(xué)化歸與轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的“七化”原則

熊曉華

（肇慶中學(xué)，廣東 肇慶 526060）

一、數(shù)學(xué)化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法之一，廣大數(shù)學(xué)教育工作者對其高度重視。但是要在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中把它落到實處，使學(xué)生真正懂得并會運用，還任重而道遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)中的“工具”或者“方法”有很多，但重要的是要培養(yǎng)學(xué)生的思維模式，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓，是研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)思想，是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是層出不窮的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉。更重要的是它能使人領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法思考和解決問題。

波利亞曾強(qiáng)調(diào)“中學(xué)數(shù)學(xué)教育首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練?！苯忸}訓(xùn)練的目的主要是掌握數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能并領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練思維品質(zhì)。我們知道數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，掌握了它才意味著真正學(xué)到了數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思想就是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想。在眾多的思想方法中（如數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、等價變換的思想、方程與函數(shù)的思想、集合與映射的思想、化歸的思想等），化歸與轉(zhuǎn)化思想是它們的本質(zhì)思想，起統(tǒng)領(lǐng)作用，貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，使用其解決數(shù)學(xué)問題易于被中學(xué)生理解和掌握。

但是，我們在實際教學(xué)中，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想是零散的，不具系統(tǒng)化。為了更好的培養(yǎng)學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，下面通過舉例說明該思想的常用策略，豐富解題思路。

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的“七化”原則

（一）熟悉化原則

將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗來解決。

例1 某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道，如圖1所示，求：

（1）圖中共有多少個矩形？

（2）從A點走向B點最短的走法有多少？

簡析：

（1）在7條豎線中任選2條，5條橫線中任選2條，這樣的4條線就可以組成1個矩形，即=210。

（2）每條東西向的街道分成6段，每條南北向的街道分成4段，從A到B最短的走法無論怎么走一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同。每種走法都是從10段中選出6段，這6段是走東西方向，剩下4段是走南北方向。即

（二）變元化原則

碰到多元問題時，選取其中的常量或參數(shù)當(dāng)“主元”，其他的變量看作常量。

例2 對于滿足-1≤a≤1的一切實數(shù)a,函數(shù)y=x2-(a-4)x+4-2a的值恒大于0，求實數(shù)x的取值范圍。

簡析：把關(guān)于x的二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次函數(shù)問題來解決。即設(shè)f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,a∈[-1,1],則求f(a)?0恒成立，易得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。

又如下例所示：

例3 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R)。

（1）若函數(shù)f(x)在x=1處有極值為10，求b的值；

（2）若對于任意的a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上遞增，求b的最小值。

簡析：

（1）略；

（2）因為f′(x)=3x2+2ax+b≥0對任意a∈[-4,+∞],x∈[0,2]都成立，所以F(a)=2xa+3x2+b≥0對任意a∈[-4,+∞],x∈[0,2]都成立，因為x≥0,所以F(a)在a∈[-4,+∞]上為單調(diào)遞增函數(shù)或為常數(shù)函數(shù)，所以F(a)min=F(-4)=-8x+3x2+b≥0對任意x∈[0,2]都成立 。

圖1　某區(qū)街道圖示

即b≥(-3x2+8x)max,又 -所以，當(dāng)

（三）數(shù)形結(jié)合化原則

通過對原問題中的不等式、函數(shù)等進(jìn)行變形、代換處理后，賦與其幾何意義，以形定數(shù)，可以避繁就簡。

例4 若實數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=3,則的最大值是（）。

數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用廣泛，關(guān)鍵在于是否能把代數(shù)運算轉(zhuǎn)化成幾何意義，這需要對數(shù)學(xué)中的各種定義、公式熟練，能產(chǎn)生聯(lián)想。又如：1.求函數(shù)的值域可轉(zhuǎn)化到兩點間的距離公式求解；2.已知兩點A(3,3),B(-1,5),直線l:y=kx+1與線段AB有公共點，求實數(shù)k的取值范圍。通常用斜率解答，也可看成A,B兩點分居直線兩側(cè)轉(zhuǎn)化成不等式求解。

（四）等價轉(zhuǎn)化原則

將原命題轉(zhuǎn)化成易于解決的等價命題，達(dá)到解題目的。

例5 當(dāng)x∈[-2,1]時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

簡析：當(dāng)-2≤x＜0時，不等式轉(zhuǎn)化為令), 則,故f(x)在[-2,-1]上單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，此時有

當(dāng)x=0時，g(x)恒成立。

當(dāng)0＜x≤1時

令g(x)=(0＜x≤1), 則g′(x)==,故g(x)在(0，1]上單調(diào)遞增，此時有a≥-6。

綜上，-6≤a≤-2。

例5在代數(shù)問題中很常見，分離參數(shù)后求新函數(shù)的最值得到參數(shù)范圍，這種方法很實用。在立體幾何中也有位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，更能讀懂圖形。

例6 在如圖2所示的幾何體中，平面ACE⊥平面ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB=90°,EF∥BC,AC=BC=2,AE=EC=1,求證：（1）AE⊥平面BCEF;（2）求三棱錐D-ACF體積。

簡析：（1）略；

（2）如圖3所示，設(shè)AC的中點為G,連接EG,因為AE=CE,所以EG⊥AC。

由（1）知BC⊥平面AEC,所以BC⊥EG,即EG⊥BC。

圖2　幾何體示意圖

圖3　加輔助線示意圖

又AC∩BC=C,因為EG⊥平面ABCD,且因為EF∥BC,所以EF∥平面ABCD,點F到平面ABCD的距離就等于點E到平面ABCD的距離，即點F到平面ABCD的距離為EG的長。

在立體幾何中位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，更易使人讀懂圖形。等體積法是求點到面的距離的慣用手法，線面平行則線上的點到平面的距離處處相等，也就是同底等高的轉(zhuǎn)化，掌握此思想，這個題目便迎刃而解了。

（五）“割”“補”化原則

探討局部問題繁瑣時可將其補充成更大整體去思考，整體繁難時也可以轉(zhuǎn)化到局部，這樣能使問題解答的思路更加清晰。

例7 如圖4所示，已知四面體S-ABC中,AB⊥BC,SA⊥AB,SC⊥BC,AB=2,BC=3,SA=則四面體外接球的體積是__________。

圖4　四面體示意圖

簡析：過點S作底面ABC的

垂線SD,垂足為D,連接AD,CD,SD⊥AB,又SA⊥AB,AB⊥平面SAD,AB⊥AD;同理可證BC⊥CD。故底面四邊形ABCD為矩形，則可將該三棱錐補全為一個長方體，如圖4所示。三棱錐的外接球就是長方體的外接球，SD=1,易得長方體的對角線即球的直徑為 14,球的體積為

（六）特殊化原則

滿足題意的事例有很多時往往可以舉出特例得到答案，且能證明特殊化的結(jié)論能滿足原問題。

例8 函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-1)=2,對任意x∈R,f′(x)＞2,則f(x)＞2x+4的解集為（ ）。

A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,1) D(-∞,+∞)

簡析：通法是令g(x)=f(x)-2x-4,則g′(x)=f′(x)-2＞0,所以g(x)在R上為增函數(shù)。

因為g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,所以由g(x)＞0,得x＞-1,故選B。

如果特殊化，可取f(x)=4x+6代入就能得到答案。

再看下例：

例9 已知等差數(shù)列{an} 的公差d≠0,且a1、a3、a9成等比數(shù)列，則的值是______。

簡析：由題意知，只要滿足a1、a3、a9成等比數(shù)列的條件，{an}取何種等差數(shù)列與所求代數(shù)式的值是沒有關(guān)系的，因此，可以把抽象數(shù)列具體化，如an=n(n∈N?),則=

例9如果由已知條件轉(zhuǎn)化成用a1和d來表示求解也可行，但計算繁瑣，易錯，如上述方法具體化后解題速度快。

（七）構(gòu)造模型化

“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學(xué)題型，成為易于接受、解決的問題。

例 10 設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥ 0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。

（1）令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N?,求gn(x)的表達(dá)式；

（2）若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)n∈N?,比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明。

簡析：由題設(shè)得，g(x)=(x≥ 0)。

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明可得gn(x)=;（略）

（2）已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1+x)≥恒成立，可求得a的取值范圍是(-∞,1]；（略）

（3）由題設(shè)知g(1)+g(2)+…+g(n)=

比較結(jié)果為g(1)+g(2)+…+g(n)＞n-ln(n+1)。證明如下：方法一。

在解（2）中取a=1,可得 ln(n+1)＞n∈ N?,則

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=k時，＜ln2,結(jié)論成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即＜ln(k+1),

則，當(dāng)n=k+1時，＜ln(k+1)+＜ln(k+1)+ln=ln(k+2),即結(jié)論成立。

由①，②可知，結(jié)論對n∈N?成立。方法二。

在解（2）中取a=1,可得

方法三。

圖5　曲線示意圖

本題的第（3）個問題的前兩種做法都利用到第（2）個問題中得到的不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造出新的模型，分別用數(shù)學(xué)歸納法、累加法來得出結(jié)論使得問題常態(tài)化、簡單化了；第三種方法更是巧妙的構(gòu)造出定積分的模型來解決問題，解題思路新穎，方法巧妙。又如以下例題：

簡析：注意到不等式僅是左邊與n有關(guān)，從函數(shù)的觀點看，左邊是關(guān)于n的函數(shù)，要使原不等式成立，即要求這個函數(shù)的最小值大于右式。如何求這個函數(shù)的最小值呢？這又是一個非常規(guī)問題，應(yīng)該從研究此函數(shù)的單調(diào)性入手。

所以f(n)是關(guān)于n(n∈N,n≥2)的遞增函數(shù)，則f(n)≥

所以實數(shù)a的取值范圍是

作為數(shù)學(xué)教師，要善于挖掘每一道數(shù)學(xué)題中蘊含的化歸與轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生能體會到運用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的一般套路：新轉(zhuǎn)化為舊，復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單。通過以上的“七化”原則的總結(jié)，將之運用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于提高教師教學(xué)技巧，培養(yǎng)學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思想，將起到積極的作用。

參考文獻(xiàn)：

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