線面分離深化感知
——『周長與面積』有效教學(xué)策略的思考

蔡水華　丁群俐

“周長與面積”是小學(xué)生最初接觸到有關(guān)圖形的計(jì)算，在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”板塊的教學(xué)中占有重要的地位。北師大版教材分別于三年級(jí)上、下冊編排了認(rèn)識(shí)周長和面積的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)情境圖中暗含著周長的定義：封閉圖形一周的長度。在習(xí)題中一般表現(xiàn)為圖形所有邊長的和，用長度單位衡量；面積指的是物體表面或平面圖形的大小，用面積單位衡量。似乎概念十分簡單、清晰，但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生在綜合運(yùn)用“周長與面積”知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，常常把周長、面積這兩個(gè)概念混淆，容易出錯(cuò)。因此，“周長與面積”有效的教學(xué)策略值得我們思考與研究。

一、緣由分析

分析學(xué)生對(duì)周長和面積容易混淆的問題，其產(chǎn)生的原因有以下幾個(gè)方面：

1.教材方面。

教學(xué)素材呈現(xiàn)有共存性。下圖為北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊教材《什么是周長》的情境圖和練習(xí)用圖，學(xué)生在材料中同時(shí)看到邊（周長）和面（面積），其中樹葉和著色的平面圖形更吸引學(xué)生關(guān)注的是面，不利于學(xué)生對(duì)周長的感知與抽象。教學(xué)素材中“面”的視覺沖擊力干擾著學(xué)生對(duì)“邊”（周長）的注意力。即便教師在教學(xué)中有意地強(qiáng)調(diào)物體的“邊”和“面”，學(xué)生也不易將它們真正區(qū)分開。因此，教學(xué)素材呈現(xiàn)上有共存性，給學(xué)生感知概念帶來了負(fù)面影響。

2.教學(xué)方面。

（1）“線”“面”分離不夠。在“周長和面積”的教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生清楚：面積指的是封閉圖形圍成的面的大小，屬于二維空間的度量，有長和寬兩個(gè)表示的量。而周長是一維空間度量的量，它只有長度，是長度單位的累加。實(shí)際教學(xué)中，教師常常會(huì)呈現(xiàn)具體事物，通過摸、描、畫、量、算等方法來引導(dǎo)學(xué)生建立周長和面積的概念，盡力讓學(xué)生知道物體的邊框是它的周長。但學(xué)生在觀察的時(shí)候，往往是既看到物體上的“線”（邊框），又看到了物體的“面”，即周長和面積同屬在一個(gè)平面內(nèi)，不利于周長和面積的區(qū)分，干擾了學(xué)生的理解。

（2）過多強(qiáng)調(diào)公式。在教學(xué)中，教師往往會(huì)引領(lǐng)學(xué)生通過一定的推理得出平面圖形的周長、面積計(jì)算公式，并理想地認(rèn)為學(xué)生都已經(jīng)理解、掌握了公式，便不斷地引導(dǎo)學(xué)生利用公式來解決問題。學(xué)生在不斷的機(jī)械化練習(xí)過程中記住的是套搬公式，就不可能去關(guān)注周長、面積的本質(zhì)與內(nèi)涵。

3.學(xué)生方面。

（1）空間思維有局限。周長在小學(xué)解釋為（封閉）圖形一周的長度，關(guān)鍵詞是“一周”和“長度”，它們同屬于一維空間的測量，但周長卻常用在二維圖形上，如平面、曲面。也就是說周長是一維的量，卻在二維的面里出現(xiàn)和應(yīng)用，因此，一維的周長與二維的面積容易混淆。同時(shí)，小學(xué)生的思維以形象思維為主，空間想象能力比較薄弱，往往需要借助直觀演示、實(shí)踐操作等方法感知空間觀念。

（2）解題過程多定式。小學(xué)生在解題過程中，容易出現(xiàn)“重結(jié)果、輕方法”的現(xiàn)象。很多學(xué)生面對(duì)練習(xí)題時(shí)，首先想的是如何利用條件中的數(shù)據(jù)套用公式進(jìn)行“簡單化”、“定式化”解題，而不是分析這些條件、數(shù)據(jù)的意義與聯(lián)系，找尋解決問題的突破口與關(guān)鍵點(diǎn)。

二、策略思考

為解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中由于線、面概念不清而造成的平面圖形周長、面積計(jì)算混淆問題，筆者對(duì)平面圖形區(qū)分“線”、“面”教學(xué)進(jìn)行探索與研究，旨在教學(xué)中給學(xué)生以足夠的空間經(jīng)歷實(shí)踐操作、對(duì)比辨析、思維內(nèi)化過程，幫助學(xué)生有效建立周長與面積兩個(gè)不同維度的概念，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升解決問題的能力。

1.有效素材，利于表象。

有效學(xué)習(xí)的過程中，新知識(shí)與原有知識(shí)間的可辨析度，是影響學(xué)習(xí)的重要變量之一。因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)關(guān)注教學(xué)素材的有效選擇與呈現(xiàn)，需要有利于喚起學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也能幫助學(xué)生建立并理解周長與面積兩個(gè)不同維度的概念。

周長屬于一維空間（只有“長度”）。在處理教學(xué)素材時(shí)，就應(yīng)淡化“面”的干擾，突出長方形四邊的長度信息（如下圖），給學(xué)生以視覺沖擊，助其在大腦中形成長方形周長就是四條邊長度之和的正確表象。而面積屬于二維空間，研究“面”的大小，是由它的長度和寬度兩個(gè)因素決定的。教師需讓學(xué)生建立二維表象，弱化四邊的長度信息，助其轉(zhuǎn)化為二維信息。（如下圖）

2.對(duì)比分析，線面分離。

周長與面積混淆的現(xiàn)象集中出現(xiàn)在呈現(xiàn)兩者計(jì)算公式之后，究其原因，是學(xué)生對(duì)周長和面積概念的本質(zhì)缺乏清晰和深刻的理解。因此，在“周長與面積”的教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注“線”“面”分離，強(qiáng)化對(duì)比分析，凸顯其本質(zhì)特征。例如，“周長與面積”的對(duì)比課教學(xué)：

（1）在黑板上貼一個(gè)紅色三角形（三角形的一周貼了一圈黑邊，如下圖），請學(xué)生指出這個(gè)三角形的周長。

（2）學(xué)生指出周長后，教師問：用什么辦法可以知道這個(gè)圖形的周長？

生：用尺子分別量出三角形三條邊的長度，再把它們的長度相加。

（3）教師順勢把三角形一周的黑邊揭下，粘貼在黑板上連成線，說：“周長是封閉圖形一周的長度，就是長長的一條線。”

（4）在分析三角形的周長后，教師問：它的面積又是哪部分呢？

此時(shí)，黑板上已形成了鮮明的對(duì)比，一邊是周長——黑黑的一條線，一邊是面積——紅紅的一整片，給學(xué)生造成強(qiáng)烈的視覺沖擊，教師通過“長長的線”和“紅紅的面”直觀地展示了周長與面積的本質(zhì)。

又如，特級(jí)教師朱志明在教學(xué)《認(rèn)識(shí)面積》之后，強(qiáng)化了面積與周長的對(duì)比練習(xí)，突出了對(duì)周長與面積的本質(zhì)理解與內(nèi)在聯(lián)系，提升了學(xué)生的能力。

課件出示（如上圖），請同學(xué)們比較這5個(gè)圖形面積的大小，思考并說明理由：

（1）圖形______面積相等；

（2）圖形①和圖形_____面積不相等；

（3）圖形①和圖形_____面積不相等，理由是_________。

而后，讓學(xué)生判斷“圖形的周長相等，面積一定相等。圖形的周長大，面積一定大”的正誤，并結(jié)合圖形驗(yàn)證，說說你的理由。

3.直觀促思，提升能力。

小學(xué)生以直觀形象思維為主，思維方法比較單一，抽象概括水平較低，而運(yùn)用幾何直觀的方法來“畫數(shù)學(xué)”，可以把文字語言轉(zhuǎn)換成直觀符號(hào)語言，讓學(xué)生參與知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，體會(huì)知識(shí)的生成過程，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升獲取知識(shí)和解決問題的能力。

問題：把一個(gè)邊長為8厘米的正方形平均分成四個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形的周長是多少厘米？

讓學(xué)生再用實(shí)物量一量、折一折、剪一剪或在紙上畫一畫、算一算等過程中，體會(huì)圖形分剪后的變化及周長的計(jì)算方法。通過這樣的直觀操作，學(xué)生對(duì)這一知識(shí)難點(diǎn)的理解就簡單了。

總之，為避免學(xué)生對(duì)“周長與面積”知識(shí)的混淆，在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)化“線”與“面”的分離，深化內(nèi)涵感知，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生思維，提升數(shù)學(xué)能力。