素?cái)?shù)循序逐增現(xiàn)象與“素?cái)?shù)黃金帶”

張爾光

【摘 要】本文將尋求素?cái)?shù)的表達(dá)式及其得數(shù)稱之為“素?cái)?shù)黃金帶”，并從將正整數(shù)方陣變?yōu)槔怅嚨姆椒ㄖ?，發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)的循序逐增規(guī)律，進(jìn)而找到了一種可找到優(yōu)質(zhì)“素?cái)?shù)黃金帶”的形態(tài)。

【關(guān)鍵詞】素?cái)?shù)表達(dá)式；素?cái)?shù)黃金帶；形態(tài)

“素?cái)?shù)黃金帶”是素?cái)?shù)研究的一個(gè)課題。這些年，筆者依照素?cái)?shù)與自然數(shù)同存相隨及循序逐增規(guī)律，對(duì)“素?cái)?shù)黃金帶”進(jìn)行了研究和探索，取得了應(yīng)有的成果。

所謂“素?cái)?shù)黃金帶”，是筆者根據(jù)人們尋找素?cái)?shù)的方法，將“黃金含量”引進(jìn)素?cái)?shù)“域”里面而創(chuàng)立的名詞。是指人們依照素?cái)?shù)與自然數(shù)同存相隨及循序逐增規(guī)律，為尋找素?cái)?shù)而創(chuàng)立的表達(dá)式及其得數(shù)依序形成的“數(shù)字鏈條”。而這條“數(shù)字鏈條”的素?cái)?shù)比率，就是其“含金量”。

“素?cái)?shù)黃金帶”的“含金量”有高低之分。筆者認(rèn)為，如其素?cái)?shù)比率等于或小于同自然數(shù)范圍的素?cái)?shù)比率的，則稱之為劣質(zhì)“素?cái)?shù)黃金帶”；如其素?cái)?shù)比率為同自然數(shù)范圍的素?cái)?shù)比率的2至3倍的，則稱之為普通“素?cái)?shù)黃金帶”；如其素?cái)?shù)比率等于或大于同自然數(shù)范圍的素?cái)?shù)比率的3倍以上至4倍的，則稱之為含金量較高的“素?cái)?shù)黃金帶”；如其素?cái)?shù)比率大于同自然數(shù)范圍的素?cái)?shù)比率的4倍的，則稱之為優(yōu)質(zhì)“素?cái)?shù)黃金帶”。

自古以來(lái)，不知有多少數(shù)學(xué)家為尋找“素?cái)?shù)黃金帶”創(chuàng)立了不少表達(dá)式。他們都希望能找到一條其得數(shù)全為素?cái)?shù)的“素?cái)?shù)黃金帶”?？上?，至今還沒(méi)能實(shí)現(xiàn)。

據(jù)筆者所知，比較有名的素?cái)?shù)表達(dá)式有“費(fèi)馬素?cái)?shù)”、“梅森素?cái)?shù)”。數(shù)學(xué)家費(fèi)馬認(rèn)為，形如22n+1的數(shù)是素?cái)?shù)（n=0，1，2，3，4，…）。可事實(shí)作出了回答，費(fèi)馬素?cái)?shù)，除了前5個(gè)得數(shù)是素?cái)?shù)之外，人們至今還沒(méi)找到第6個(gè)費(fèi)馬素?cái)?shù)。

梅森素?cái)?shù)是指形如2∧P-1的正整數(shù)，其中指數(shù)P是素?cái)?shù)，常記為MP。若MP是素?cái)?shù)，則稱為梅森素?cái)?shù)。事實(shí)證明，到目前為止，人們找到了48個(gè)梅森素?cái)?shù)。從素?cái)?shù)比率這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，梅森素?cái)?shù)也不是一條優(yōu)質(zhì)的“素?cái)?shù)黃金帶”。但是，梅森素?cái)?shù)對(duì)素?cái)?shù)研究的最大貢獻(xiàn)，是在于為人們尋找更大素?cái)?shù)提供了便于計(jì)算、驗(yàn)證的式子。所以，進(jìn)入電子計(jì)算機(jī)時(shí)代之后，人們新發(fā)現(xiàn)梅森素?cái)?shù)，便是人們知道的最大素?cái)?shù)。

筆者認(rèn)為，類似于“當(dāng)0

總而言之，尋找素?cái)?shù)的式子還有很多。因筆者知之甚少，不夠資格做更多的解讀。但是，有一點(diǎn)可以肯定，其式子得數(shù)依序連續(xù)為40個(gè)素?cái)?shù)的“素?cái)?shù)黃金帶”，恐怕難于找到。這是由素?cái)?shù)特征所決定的。

這些年，筆者也在尋找“素?cái)?shù)黃金帶”。筆者依照素?cái)?shù)與自然數(shù)同存相隨及循序逐增規(guī)律，創(chuàng)立了多個(gè)式子，并對(duì)式子得數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，屬于理想的式子只有幾個(gè)。其中，“6×m±1”式子算是優(yōu)良的“素?cái)?shù)黃金帶”。此外，發(fā)現(xiàn)了一種可找到優(yōu)質(zhì)“素?cái)?shù)黃金帶”的形態(tài)?，F(xiàn)將該式子和形態(tài)進(jìn)行分析解讀。

1 “6×m±1”式子的“素?cái)?shù)黃金帶”

筆者研究結(jié)果表明，“6×m±1”式子，按照m的個(gè)位數(shù)0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分為10條支線，此10條支線所計(jì)得的得數(shù)就是10條“素?cái)?shù)黃金帶”，且是含金量較高的“素?cái)?shù)黃金帶”。為此，筆者將此10條支線的前100個(gè)等式的得數(shù)素?cái)?shù)比率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（表1）。

表1 “6×m±1”式子得數(shù)的素?cái)?shù)比率分析表

注：自然數(shù)5至6000范圍的素?cái)?shù)比率為13.02%.

從表1看出，“6×m±1”式子中的10條支線的得數(shù)的素?cái)?shù)比率，均大于同自然數(shù)范圍的素?cái)?shù)比率的3倍。由此可見(jiàn)，此10條支線是含金量較高的“素?cái)?shù)黃金帶”。

2 一種可找到優(yōu)質(zhì)“素?cái)?shù)黃金帶”的形態(tài)

筆者依照素?cái)?shù)與自然數(shù)同存相隨以及循序逐增的原理，應(yīng)用矩陣的方法，發(fā)現(xiàn)了一種可找到多條含金量高的“素?cái)?shù)黃金帶”的形態(tài)。

筆者根據(jù)正整數(shù)方陣的原理，將自然數(shù)“1，2，3，4，5，6…n”依序按方陣形式排列，然后，再將這個(gè)方陣旋轉(zhuǎn)90°，使之成為四棱矩陣（見(jiàn)圖1）。從這個(gè)棱陣的排列數(shù)字中，便可發(fā)現(xiàn)一種有趣現(xiàn)象。

從圖1看出，如將中線數(shù)劃歸與左半棱，那么，左半棱數(shù)字中存在素?cái)?shù)的量明顯多于右半棱。經(jīng)驗(yàn)證，在自然數(shù)2至121（112）的范圍，共有30個(gè)素?cái)?shù)，其中左半棱的素?cái)?shù)22個(gè)，右半棱只有8個(gè)。再認(rèn)真細(xì)看左半棱的數(shù)字，不難發(fā)現(xiàn)，第3行的邊線數(shù)至中線數(shù)的2個(gè)數(shù)均為素?cái)?shù)，第5行的邊線數(shù)至中線數(shù)的3個(gè)數(shù)均為素?cái)?shù)，第11行的邊線數(shù)至中線數(shù)的6個(gè)數(shù)均為素?cái)?shù)。如將棱陣的自然數(shù)擴(kuò)延至412（即1681），第17行的邊線數(shù)至中線

圖1數(shù)的9個(gè)數(shù)均為素?cái)?shù)，第41行的邊線數(shù)至中線數(shù)的21個(gè)數(shù)均為素?cái)?shù)。經(jīng)筆者對(duì)此種現(xiàn)象研究，發(fā)現(xiàn)此種現(xiàn)象就是“一種形態(tài)素?cái)?shù)”?，F(xiàn)以表格形式表達(dá)出來(lái)。見(jiàn)表2。

從表2的4個(gè)實(shí)例看出，它們有一個(gè)共同特征，就是中線數(shù)、左邊線數(shù)、棱陣行次數(shù)均為素?cái)?shù)。但不能因此就妄下定論，說(shuō)具有這個(gè)特征的，循著其有序規(guī)律而求得的得數(shù)“鏈條”，必是一條純金的“素?cái)?shù)黃金帶”。因?yàn)椋P者研究結(jié)果表明，具有這個(gè)特征的、循著其有序規(guī)律而求得的得數(shù)全為素?cái)?shù)的，僅局限于此4個(gè)實(shí)例，“當(dāng)0

筆者研究結(jié)果表明，“n2-n”的式子與“2×C2 n”的式子是同一個(gè)意思，即：

22-2=2×1=2×C2 2； 32-3=2×3=2×C2 3；

42-4=2×6=2×C2 4； 52-5=2×10=2×C2 5。

此后依次類推。

又組合數(shù)的循序逐增原理告訴我們，C2 n的組合數(shù)乃是自然數(shù)“1，2，3，4，5，…”的依次累加數(shù)，即：

1=C2 2；1+2=C2 3；1+2+3=C2 4；1+2+3+4=C2 5。

此后依次類推。

筆者將以上的規(guī)律加基數(shù)素?cái)?shù)的方法，創(chuàng)立了“當(dāng)基數(shù)素?cái)?shù)+（2×C2 n）有可能是素?cái)?shù)”的形態(tài)，并應(yīng)用此形態(tài)找到了若干優(yōu)質(zhì)“素?cái)?shù)黃金帶”。筆者將此成果以表3表達(dá)出來(lái)，以與素?cái)?shù)研究者共享。

表3 “當(dāng)基數(shù)素?cái)?shù)+（2×C2 n）有可能是素?cái)?shù)”形態(tài)的4條“素?cái)?shù)黃金帶”

注：素?cái)?shù)黃金帶d，其（41+2×C2 2）至（41+2×C2 40）的39個(gè)式子得數(shù)全為素?cái)?shù)，（41+2×C2 41）式子得數(shù)1681，是合數(shù)，為41的平方.表中的素?cái)?shù)比率不含（41+2×C2 2）至（41+2×C2 40）的39個(gè)式子得數(shù).

從表3看出，表中a、b、c、d四條“素?cái)?shù)黃金帶”的素?cái)?shù)比率，均為同自然數(shù)范圍的素?cái)?shù)比率的5倍，甚至還高于“235狀態(tài)”的10條“素?cái)?shù)黃金帶”的素?cái)?shù)比率10個(gè)百分點(diǎn)，尤其是“素?cái)?shù)黃金帶d”，其素?cái)?shù)比率遙遙領(lǐng)先，應(yīng)該說(shuō)是“素?cái)?shù)黃金帶”的王者?？梢?jiàn)，表中a、b、c、d四條“素?cái)?shù)黃金帶”是優(yōu)質(zhì)“素?cái)?shù)黃金帶”。

在對(duì)“當(dāng)基數(shù)素?cái)?shù)+（2×C2 n），有可能是素?cái)?shù)”的形態(tài)的研究中，筆者根據(jù)兩素?cái)?shù)差的原理，又發(fā)現(xiàn)了奇素?cái)?shù)原理，即“奇素?cái)?shù)+（2×C2 n）”式子的得數(shù)雖然不可能是全為素?cái)?shù)，但是，凡是大于3的奇素?cái)?shù)均可表為“一個(gè)小于其的奇素?cái)?shù)+（2×n）之和”。筆者正是根據(jù)這個(gè)“奇素?cái)?shù)原理”，發(fā)現(xiàn)了哥德巴赫猜想成立的證明方法（見(jiàn)《中國(guó)少年》2016年第三期《哥德巴赫猜想成立的兩種證明方法》）。

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