從函數(shù)變換的視角解題

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○短文集錦○

從函數(shù)變換的視角解題

樊陳衛(wèi)

(江蘇省海門(mén)中學(xué)，226100)

函數(shù)圖象的變換規(guī)律揭示了同族函數(shù)之間的聯(lián)系,掌握函數(shù)圖象的變換規(guī)律,可以很好地幫助我們作出函數(shù)簡(jiǎn)圖,把握函數(shù)圖象的本質(zhì)特征.而函數(shù)圖象的變換規(guī)律的應(yīng)用卻不止于此,對(duì)一些函數(shù)問(wèn)題若從函數(shù)變換的角度去思考,往往能化繁為簡(jiǎn),獲得較好解題方法,下面舉例說(shuō)明.

解由已知

例2(2010年福建高考題)已知定義域?yàn)?0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足:(1)對(duì)任意的x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f(x)=2-x．給出的如下結(jié)論:① 對(duì)任意m∈Z,有f(2m)=0；② 函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞)；③ 存在n∈Z使得f(2n+1)=9；④ “函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)遞減”的充要條件是“存在k∈Z,使得(a,b)?(2k,2k+1).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.

例3若方程2xlog2x+x·2x+xlog2x+x2=0的兩根分別為α,β,則α+β=______.

解原方程可化為(2x+x)(log2x+x)=0.不妨設(shè)2x+x=0的根為α,α為y=-x與y=2x的圖象的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo);log2x+x=0的根為β,β為y=-x與y=log2x交點(diǎn)A′的橫坐標(biāo).交換等式y(tǒng)=2x中變量x,y所得的函數(shù)x=2y(也即y=log2x)圖象與原函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,過(guò)原點(diǎn)的直線y=-x也關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以A,A'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故α+β=0.

至此,讀者可能會(huì)注意到,本文主旨從函數(shù)變換的視角分析思考問(wèn)題,所針對(duì)的情形是條件中存在某個(gè)等式或不等式,式子中存在某個(gè)函數(shù)及其經(jīng)過(guò)某種變換后的函數(shù).把等式或不等式理解為這兩個(gè)相關(guān)函數(shù)之間圖象的某種關(guān)系,再?gòu)膱D象上去分析思考,就能獲得比較簡(jiǎn)捷的解法.