解題巧用特殊值　柳暗花明有捷徑

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○高考之窗○

解題巧用特殊值柳暗花明有捷徑

馬俊李青林

(湖北省武漢市華中科技大學(xué)附屬中學(xué)，430074)

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,解題技巧和解題策略是學(xué)生要著重培養(yǎng)的能力.對(duì)于不少試題,求解時(shí)運(yùn)用特殊值法常常是一個(gè)不錯(cuò)的選擇,它往往會(huì)給我們帶來(lái)驚喜.雖然學(xué)生對(duì)這個(gè)方法并不陌生,但很多學(xué)生在特殊值法的運(yùn)用上卻沒(méi)有較深的認(rèn)識(shí),甚至還存在一定的誤區(qū).為此,筆者對(duì)特殊值法的運(yùn)用進(jìn)行了整理,與各位讀者共享.

一、細(xì)心尋差異,特值定選項(xiàng)

(A)2n-1(B)2n-1

(C)2n(D)n2

評(píng)注這是一道創(chuàng)新題,屬于高考中常見(jiàn)的題型,n如果用常規(guī)方法來(lái)處理,不僅小題大做,而且相當(dāng)困難.但是細(xì)心的學(xué)生通過(guò)觀察選項(xiàng)可以發(fā)現(xiàn)n=1時(shí)可以判斷C選項(xiàng)是否正確,而n=2時(shí)A,B,D選項(xiàng)均不相同,因此n只需取1和2便能得出結(jié)果.

二、條件特殊化,解題有方法

(A)-1(B)1(C)-2(D)2

評(píng)注如果使用常規(guī)方法,選取一般三角形,顯然外心與垂心位置的確定就是一個(gè)難點(diǎn),因此將條件特殊化后,外心和垂心的位置也具有了特殊性,分析起來(lái)十分容易.這里還可以思考一下,為什么不取等邊三角形這個(gè)特殊的情況.

解不妨設(shè)?ABC是等邊三角形,結(jié)果為1.

評(píng)注這種思路往往適用于選擇題及答案具有唯一確定性的填空題.當(dāng)所給的條件具有一般性的時(shí)候,可以嘗試著將條件特殊化來(lái)進(jìn)行解答.不僅可以避免一些分類(lèi)的討論,也可以使用特殊情況下所具有的一些結(jié)論和性質(zhì)來(lái)解題,快速得出結(jié)果.

三、特值引猜想,理清解題思路

例4已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.

解不妨設(shè)a=0,b=1,則

2(ea-b-1)-(a-b)(ea-b+1)<0.

設(shè)x=a-b>0,即證

F(x)=2(ex-1)-x(ex+1)<0

在x∈(0,+∞)時(shí)恒成立.

又F′(x)=ex-1-xex.

設(shè)t(x)=ex-1-xex,則

t′(x)=-xex<0,

故t(x)

即F(x)在x∈(0,+∞)上是減函數(shù),所以F(x)

同理可證A

評(píng)注此題考查的是函數(shù)的的凹凸性與斜率之間大小的比較,顯然在大小關(guān)系已知的情況下去證明,不僅目標(biāo)明確,并且可以避免一些不需要證明.

分析如何探明點(diǎn)T的位置是本題求解的關(guān)鍵.若直線m的斜率不存在,則以AB為直徑的圓為

x2+y2=1；

①

若直線m的斜率為0,此時(shí)以AB為直徑的圓為

②

由①，②聯(lián)立知，若點(diǎn)T存在,則其坐標(biāo)只能是(0,1).

(18k2+9)x2-12kx-16=0,

評(píng)注通過(guò)對(duì)一些特殊值或是特殊情況的分析,尋找規(guī)律或是解題目標(biāo),然后提出猜想,最后對(duì)猜想進(jìn)行證明.特別是與數(shù)學(xué)歸納法綜合時(shí),這種思路的價(jià)值體現(xiàn)得更為明顯.

四、特值縮范圍,巧妙扔包袱

解由題意，得

評(píng)注用分類(lèi)討論的常規(guī)思想解答這道題時(shí)較為復(fù)雜.上面用特殊值法有效地縮小了a的范圍,減少分類(lèi)討論的情況,扔掉了一個(gè)繁、雜的“大包袱”,并且“猜”的這個(gè)特殊值x=1可以說(shuō)是恰到好處.x=1是如何“猜”出來(lái)的呢,x=1不僅好算,而且g′(1)=0具有的特殊性也是學(xué)生能夠體會(huì)到的.

(1)解關(guān)于x的不等式

(2)若常數(shù)k是正整數(shù),當(dāng)x>0時(shí),

恒成立,求k的最大值.

解(1)略.

(x+1)ln(x+1)+1-2x>0

恒成立.

令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x,則

g′(x)=ln(x+1)-1.

當(dāng)x∈(0,e-1)時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈(e-1,+∞)時(shí),g′(x)>0,

故g(x)≥g(e-1)=3-e>0,所以正整數(shù)k的最大值為3.

評(píng)注在一些恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍的題型中,由于參數(shù)的范圍過(guò)大,導(dǎo)致分類(lèi)討論十分復(fù)雜.這時(shí)可以嘗試使用特殊值法尋找恒成立問(wèn)題的必要條件,從而縮小參數(shù)的范圍,降低解題難度.

此外,在部分學(xué)生心中存在著特殊值法只能做小題的誤區(qū),這是因?yàn)閷?duì)特殊值法的理解不夠深刻.完成大題時(shí),特殊值法求解出來(lái)的是必要條件,不能直接用來(lái)得出結(jié)果或是結(jié)論,必須在其基礎(chǔ)上進(jìn)行充分性的證明.因此,只有體會(huì)了“大題小做”的思想,對(duì)特殊值法才會(huì)有一個(gè)更深的認(rèn)識(shí).

特殊值法的好與妙是學(xué)生所能認(rèn)同的,但特殊值法絕不是僅僅通過(guò)幾個(gè)特殊的數(shù)或特殊的條件來(lái)解題的方法,必須上升到數(shù)學(xué)思想的層面上去認(rèn)識(shí)他,才能夠在實(shí)際使用給我們帶來(lái)柳暗花明的驚喜.