Rad-偽投射模及其相關(guān)性質(zhì)

劉冠楠

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院,甘肅 蘭州　730050)

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Rad-偽投射模及其相關(guān)性質(zhì)

劉冠楠

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院,甘肅 蘭州730050)

摘要給出了rad-偽投射模的概念,討論了rad-偽投射模的一些等價(jià)關(guān)系,并證明了rad-偽投射模的商模以及其直和項(xiàng)仍為rad-偽投射模所需的條件,且證明了rad-偽投射模的一些相關(guān)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞rad-偽投射模;rad-N-投射模;偽投射模

投射模是非常基礎(chǔ),同時(shí)也是非常重要的一種模類(lèi)。一直以來(lái),投射模及其推廣都廣泛地引起了國(guó)內(nèi)外代數(shù)工作者的關(guān)注[1]。文獻(xiàn)[2]中引入了soc-N-內(nèi)射模的概念,并對(duì)soc-N-內(nèi)射模的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[3]中作者提出了其對(duì)偶概念rad-N-投射模,并證明了其相關(guān)性質(zhì)。設(shè)M,N為右R-模,稱(chēng)模M是rad-N-投射模,若對(duì)任意的滿(mǎn)同態(tài)δ∶N→K和同態(tài)f∶M→K,其中K為N/rad(N)的像,存在同態(tài)g∶M→N,使得f=δg。設(shè)M,A為右R-模,稱(chēng)模M為偽投射模[4],若對(duì)滿(mǎn)同態(tài)g∶M→A,f∶M→A,存在同態(tài)h∶M→M,使得f=gh。文獻(xiàn)[4-8]中討論了偽投射模的相關(guān)性質(zhì)。作為rad-N-投射模和偽投射模的真推廣,我們引入了rad-偽投射模的概念,并研究了rad-偽投射模的一些性質(zhì)。

以下所有的環(huán)R都是有單位元的結(jié)合環(huán),而所有的模均為右R-模。設(shè)M為右R-模,我們用rad(M)表示M的根。設(shè)Ψ為右R-單模的類(lèi),對(duì)任意右R-模M,有

rad(M)=∩{Ker(h)|h∶M→φ,φ∈Ψ}。

若M=R,則記作J=J(R)=rad(R)。若N是M的子模,則記作N≤M。

定義1稱(chēng)模M為rad-偽投射模,若對(duì)任意滿(mǎn)同態(tài)g∶M→A和f∶M→A,其中A為M/rad(M)的像。存在同態(tài)h∶M→M,使得f=gh。

定理2設(shè)M為右R-模,則下列條件等價(jià):

(1)M為rad-偽投射模;

(2)對(duì)任意的滿(mǎn)同態(tài)f∶M→K,rad(M)?Ker(f),f*∶HomR(M,M)→HomR(M,K),其中HomR(M,K)均為滿(mǎn)同態(tài),且滿(mǎn)足f*α=fα,則f*是滿(mǎn)的。

(?)因?yàn)閞ad(M)?Ker(f),所以K為M/rad(M)的像。由f*∶HomR(M,M)→HomR(M,K)是滿(mǎn)的,對(duì)任意的滿(mǎn)同態(tài)g∈HomR(M,K)可得,存在α∈HomR(M,M),使得f*α=fα=g,故M是rad-偽投射模。

定理3若M為右R-模,則下列條件等價(jià):

(1)M是rad-偽投射模;

(2)對(duì)任意滿(mǎn)同態(tài),g∶N→L→0,N為M的任一滿(mǎn)同態(tài)像,f∶M→L→0,其中L為N/rad(N)的像,則存在同態(tài)h∶M→N,使得f=gh。

證明(2)?(1)顯然。

(1)?(2)任取滿(mǎn)同態(tài)f∶M→L→0和g∶N→K→0,設(shè)K為M的一個(gè)子模,且N?M/K,由

(K+rad(M))/K?rad(M/K)

以及

M/(K+rad(M))?(M/K)/((K+rad(M))/K)

可得

M/rad(M)→(M/K)/((K+rad(M))/K)→

(M/K)/(rad(M/K))→L→0,

即L為M/rad(M)的像,M與N的交換圖見(jiàn)圖1。

圖1　M與N的交換圖Fig.1　M and N exchange diagram

由N為M的一個(gè)滿(mǎn)同態(tài)像可得,存在滿(mǎn)同態(tài)η∶M→N→0,使得gη∶M→L→0為滿(mǎn)同態(tài),由M是rad-偽投射?？傻?存在λ∶M→M使得f=gηλ,取h=ηλ∶M→N,則gh=gηλ=f。

推論4設(shè)M為rad-偽投射模,則對(duì)任意滿(mǎn)同態(tài),f∶M→N→0和g∶N→N→0,其中N為M/rad(M)的像,則存在h∶M→N,使得f=gh。

證明N與N的交換圖見(jiàn)圖2。

圖2　N與N的交換圖Fig.2　N and N exchange diagram

因?yàn)閒∶M→N→0為滿(mǎn)同態(tài),則N為M的一個(gè)滿(mǎn)同態(tài)像,根據(jù)定理3知,存在同態(tài)h∶M→N,使得f=gh。

證明設(shè)A是rad-偽投射模,A與B的交換圖見(jiàn)圖3。

圖3　A與B的交換圖Fig.3　A and B exchange diagram

圖3中K為B/rad(B)的同態(tài)像,由定理3知,存在λ∶A→B,使得δλ=fθ,取h=λθ-1∶B→B,則δh=δλθ-1=fθθ-1=f。即B是rad-偽投射模。

命題6若J(R)=0,則任意rad-偽投射模M為偽投射模。

證明M是rad-偽投射模,根為零的交換圖見(jiàn)圖4。

圖4　根為零的交換圖Fig.4　Zero roots exchange diagram

圖4中N為M/rad(M)的像,故N?(M/rad(M))/Ker(f)。令Ker(f)=K/rad(M),其中K≤M,rad(M)≤K,則N?(M/rad(M))/(K/rad(M))?M/K。

因rad(M)=0,故f為任意滿(mǎn)同態(tài),即M是偽投射模。

命題7若M=⊕i∈IMi為rad-偽投射模,則Mi為rad-偽投射模。

證明關(guān)于直和的交換圖見(jiàn)圖5。

圖5　關(guān)于直和的交換圖Fig.5　Direct sum exchange diagram

圖5中K為Mi/rad(Mi)的像。πi、μi分別為自然映射和自然嵌入,因?yàn)镸為rad-偽投射模,所以由定理3可得,存在λ∶M→Mi,使得gλ=fπi,取h=λμi∶Mi→Mi,則gh=gλμi=fπiμi=f,因此Mi為rad-偽投射模。

命題8若Mi是rad-偽投射模,則⊕iMi(i=1,2,…,n)為rad-偽投射模。

圖6　正合列的交換圖Fig.6　Exact sequence exchange diagram

圖6中行和列都是正合的。

因rad(M1)?M1∩K=Ker(g),rad(M2)?(M1+K)∩M2,以及Mi(i=1,2)為rad-偽投射模,故可得如圖7所示的Hom函子的交換圖。

圖7　Hom函子的交換圖Fig.7　Hom functor exchange diagram

圖7中行和列都是正合的、交換的。

M1為rad-偽投射模,M1與M1的交換圖見(jiàn)圖8。

圖8　M1與M1的交換圖Fig.8　M1 and M1 exchange diagram

命題9設(shè)M,N為右R-模,若M⊕N為rad-偽投射模,則滿(mǎn)同態(tài)f∶M→N,滿(mǎn)足rad(M)?Ker(f)可裂。

證明可裂性見(jiàn)圖9。

圖9　可裂性Fig.9　Cleavability

圖9中πM、πN為自然映射。定義滿(mǎn)同態(tài)g=fπM∶M⊕N→N,g(m+n)=f(n),其中m∈M,n∈N,顯然rad(M⊕N)=rad(M)⊕rad(N)?Ker(g),由M⊕N為rad-偽投射模得,存在λ∶M⊕N→M⊕N,使得gλ=πN。若η∶N→M⊕N為自然嵌入,定義θ∶N→M,θ(n)=πMλη(n)=πMλ(0+n),n∈N,則

fθ(n)=fπMλ(0+n)=gλ(0+n)=πN(0+n)=n,

即fθ=1N,故f可裂。

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Pseudo-Projective Modules and Its Related Properties

Liu Guannan

(SchoolofSciences,LanzhouUniversityofTechnology,Lanzhou730050,China)

AbstractIn this paper,the concept of rad-Pseudo-Projective Modules is introduced,and and some of its equivalence relation are studied.It is proved that its quotient module and direct summand are still of great necessary in rad-Pseudo-Projective Modules and some related properties of rad-Pseudo-Projective Modules are demonstrated.

Key wordsRad-Pseudo-projective modules;Rad-N-projective modules;Pseudo-projective modules

中圖分類(lèi)號(hào):O189.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1004-0366(2016)01-0032-03

作者簡(jiǎn)介:劉冠楠(1988-),女,遼寧鞍山人,碩士研究生,研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué).E-mail:373736451@qq.com.

收稿日期:2015-03-16;修回日期:2015-06-07.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.01.008.

引用格式:Liu Guannan.Pseudo-Projective Modules and Its Related Properties[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(1):32-34.[劉冠楠.Rad-偽投射模及其相關(guān)性質(zhì)[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(1):32-34.]