(n,m)-強Ding投射模

張文匯， 姜澤博

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅蘭州 730070)

(n,m)-強Ding投射模

張文匯， 姜澤博

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅蘭州 730070)

引入了一類Ding投射維數(shù)有限的模，即(n,m)-強Ding投射模．證明了對任意非負整數(shù)m和正整數(shù)n，若M是(n,m)-強Ding投射模，則M的Ding投射維數(shù)不超過m．同時，考查了這類模的合沖的相關(guān)性質(zhì)．

n-強Ding投射模；(n,m)-SD投射模；Ding投射維數(shù)

0 引言

1995年，Enochs等[1]在Gorenstein環(huán)上對任意模引入Gorenstein投射模的定義，推廣了G-維數(shù)為0的有限生成模．目前，Gorenstein同調(diào)理論的發(fā)展已經(jīng)取得了豐富的研究成果，同時也出現(xiàn)了許多新的模類，例如Ding投射模[2]．

稱R-模M是Ding投射模，如果存在正合序列

使得以下條件成立：(1)對任意自然數(shù)i，Pi和Pi都是投射模；(2)M?Im(P0→P0)；(3)對任意平坦模F，函子HomR(-,F)保持上序列的正合性．設(shè)n是任意正整數(shù)，稱R-模M是n-強Ding投射模(簡稱n-SD投射模)[3]，如果存在R-模的正合序列

其中Pi(1≤i≤n)是投射模，并且對任意平坦模F，HomR(-，F(xiàn))保持上述序列的正合性．設(shè)

是模M的任意一個投射分解，稱Ki=Kerfi-1(1≤i≤n)為M的第i次合沖．

2007年，Bennis[4]引入了強Gorenstein投射模的概念，證明了Gorenstein投射模是強Gorenstein投射模的直和因子．2011年，Zhao-Huang[5]引入了n-強Gorenstein投射模的概念．2009年，Bennis[6]引入并研究了(n,m)-強Gorenstein投射模，這些模類都是強Gorenstein投射模類的推廣．受以上文獻的啟發(fā)，本文引入并考查一類特殊的(n,m)-強Gorenstein投射模，我們稱之為(n,m)-強Ding投射模．

本文環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，除非特別聲明，模均指左R-模，pd(M)和Dpd(M)分別表示模M的投射維數(shù)與Ding投射維數(shù)．

1 預備知識

引理1 設(shè)M和N是兩個模，n是正整數(shù)．若M⊕P?N⊕Q， 其中P,Q是投射模， 則M是n-強Ding投射模當且僅當N是n-強Ding投射模．

證明 由對稱性只需證當M是n-強Ding投射模時，N是n-強Ding投射模．設(shè)M是n-強Ding投射模，則由文獻[5]知M⊕P是n-強Ding投射模，于是存在正合列

其中Pi(1≤i≤n)是投射模，并且對任意平坦模F，函子HomR(-,F)保持上序列的正合性．由同構(gòu)M⊕P?N⊕Q知存在正合列

令Kn=Im(Pn→Pn-1)，K2=Im(P2→P1)，考慮推出圖

由于N⊕Q是Ding投射模，故N是Ding投射模．又因為Kn是n-強Ding投射模，所以Kn是Ding投射模．由正合列

再考慮拉回圖由第三行知Q1是投射模，于是將正合列

首尾相接便可得正合列

又由于上述三個序列都是HomR(-,F)正合的，故N是n-強Ding投射模． 】

命題1 設(shè)n是正整數(shù)，M是n-強Ding投射模,則以下結(jié)論成立：

(1)對任意正整數(shù)i，模M的第i次合沖是n-強Ding投射模；

(2)若

是模M的任意一個完全投射分解，則對任意整數(shù)i，Im(Pi→Pi-1)是n-強Ding投射模．

證明 (1) 由于M是n-強Ding投射模，所以存在正合列

其中Qi(i=0,1,…,n-1)是投射模，并且對任意平坦模F，上序列是HomR(-,F)正合的．

令Ki=Im(Qi→Qi-1)(i=1,2,…,n-1)，則有正合序列

將兩序列首尾相接得正合列

且對任意平坦模F，序列HomR(-， F)是正合的．這說明Ki(i=1,2,…,n-1)是n-強Ding投射模．于是由引理1可知:對任意正整數(shù)i，M的第i次合沖是n-強Ding投射模．

(2)因為M是n-強Ding投射模，由(1)的證明知存在M的完全投射分解

使得每個同態(tài)的像Im(Qi→Qi-1)都是n-強Ding投射模．由文獻[7]命題1.8及文獻[8]習題3.37的對偶形式可得，在M的任意一個完全分解

中，Im(Pi→Pi-1)與Im(Qi→Qi-1)投射等價，于是由引理1可知Im(Pi→Pi-1)是n-強Ding投射模． 】

2 主要結(jié)果及證明

定義1 設(shè)m，n是整數(shù)，其中n≥1，m≥0，稱M是(n,m)-強Ding投射模(簡稱為(n,m)-SD投射模)，如果存在正合列

注1 由定義1可知，強Ding投射模(簡稱SD投射模)是(1,0)-SD投射模．對任意正整數(shù)n，n-SD投射模是(n,0)-SD投射模； 投射維數(shù)不超過m的模是(n,m)-SD投射模．

引理2 設(shè)M是左R-模，m，n是整數(shù)，其中n≥1，m≥0，則下列結(jié)論成立：

(1)設(shè)M是(n,m)-SD投射模．對任意整數(shù)m′，若m′≥m，則M是(n,m′)-SD投射模；

(2)設(shè)M是(n,m)-SD投射模，k是任意正整數(shù)，則M是(kn,m)-SD投射模． 特別地， 每個(1,m)-SD投射模都是(n,m)-SD投射模．

證明 (1) 顯然．

(2)因為M是(n,m)-SD投射模，所以存在如下正合列

引理3 (n,m)-SD投射模類關(guān)于直和封閉．

定理1 設(shè)整數(shù)n≥1，m≥0，M是(n,m)-SD投射模,則

(1)存在非負整數(shù)k使得Dpd(M)=k≤m；

(2)模M的第i(1≤i≤k)次合沖是(n,m-i)-SD投射模；

(3)模M的第i(i≥k)次合沖是(n,0)-SD投射模．

證明 先證明(1)和(2)．由M是(n,m)-SD投射模可知存在正合列

其中pd(Qi)≤m，1≤i≤n，且對任意平坦模F，

考慮M的投射分解

分解為短正合列

其中Hn=M=H0，Hi=Ker(Qi→Hi-1)，i=1,2,…,n-1．

對Hi(i=0,1,…,n)，考慮短正合列

其中Pi,0(i=1,2,…,n-1)是投射模．令Pn,0=P0,0=P0，Kn,1=K0,1=K1，由馬掌引理可得交換圖

其中1≤i≤n，再將這n-1個圖粘接，可得行正合變換圖

(3)首先考慮M的第k次合沖Kk， 由Kk是Ding投射模，所以任取Kk的一個投射分解作為其完全投射分解的左半部分，可得正合列

其中Li(1≤i≤n)是投射模.因為Kk是Ding投射模,故對任意整數(shù)i>0及任意平坦模F，

這說明Kk是(n，0)-SD投射模．由命題1及(n,0)-SD投射模的定義可知，對任意i≥k，M的第i次合沖是(n,0)-SD投射模． 】

命題2 設(shè)M和N是模，若M⊕P?N⊕Q， 其中P和Q具有有限的投射維數(shù)，整數(shù)n≥1，m=max{pd(P)，pd(Q)}，則M是(n,m)-SD投射模當且僅當N是(n,m)-SD投射模．

證明 由對稱性只需證當M是(n,m)-SD投射模時，N是(n,m)-SD投射模即可． 由注1知P和Q都是(n,m)-SD投射模，于是當M是(n,m)-SD投射模時，由引理4可知直和M⊕ P?N⊕Q是(n,m)-SD投射模．令H=N⊕Q，則存在正合列

下證N是(n,m)-SD投射模，將上述正合列分解為三個正合序列

注意到有可裂的短正合列

考慮同態(tài)f與g的推出及l(fā)與h的拉回

由定理1(1)可知H,E,F的Ding投射維數(shù)都小于等于m，故由以上兩圖知G1和Gn有有限的Ding投射維數(shù)且小于等于m．又由兩圖的中間列可知G1和Gn有有限的投射維數(shù)，所以

pd(G1)=Dpd(G1)≤m，

pd(Gn)=Dpd(Gn)≤m．

由正合列

可得正合列

定理2 設(shè)M為左R-模，整數(shù)n≥1，m≥0，則下列結(jié)論成立:

(1)若M既是Ding投射模又是(n,m)-SD投射模，則它是(n,0)-SD投射模；

(2)若M的第d(d≥1)次合沖是(n,m)-SD投射模，則存在正整數(shù)k，使得Dpd(M)=k≤d+m，且M的第i(i≥k)次合沖是(n,0)-SD投射模．

證明 (1) 類似于定理1(3)中Kk是(n,0)-SD投射模的證明．

(2) 因為M的第d(d≥1)次合沖是(n,m)-SD投射模，所以存在正整數(shù)k，使得Dpd(M)=k≤d+m．于是存在正合列

其中Pi(0≤i≤k-1)是投射模， Kk是Ding投射模.考慮Kk的完全投射分解的左半部分

其中Qk+i為投射模(i=0,1,…,d-k-1)，Kd為Ding投射模．注意到Kd是M的第d次合沖，由命題2及M的任意兩個第i次合沖投射等價可知 Kd是(n,m)-SD投射模． 由(1)知Kd是(n,0)-SD投射模，又由命題1知Kd的第i次合沖是n-SD投射模，并且它與M的第k+i次合沖投射等價， 再利用命題1可知M的第i(i≥k)次合沖是(n,0)-SD投射模. 】

[1]ENOCHSEE,JENDAOMG.Gorensteininjectiveandprojectivemodules[J].Math Z,1995,220(1):611-633.

[2] DING N Q, LI Y L,MAO L X.Strongly Gorenstein flat modules[J].JAustMathSoc,2009,86(3)：323-338.

[3] LIU Y P.A generalization of strongly Ding projective modules[J].蘭州大學學報:自然科學版,2012,48(2):101-105.

[4] BENNIS D,MAHDOU N.Strongly Gorenstein projective,injective,and flat modules[J].JAlgebraAppl,2007,210(2)：437-445.

[5] ZHAO G Q,HUANG Z Y.n-strongly Gorenstein projective,injective and flat modules[J].CommAlgebra,2011,39(8)：3044-3062.

[6] BENNIS D.(n,m)-strongly Gorenstien projective modules[J].IternaltionalElectronicJournalofAlgebra,2009,6:119-133.

[7] HOLM H.Gorenstien homological dimensions[J].JPureAlgebra,2004,189(1-3)：167-193．

[8] ROTMAN J J.AnIntroductiontoHomologicalAlgebra[M].New York:Academic Press,1979．

(責任編輯 馬宇鴻)

(n,m)-stronglyDingprojectivemodules

ZHANGWen-hui，JIANGZe-bo

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

A class modules of having finite Ding projective dimension are investigated in this paper,namely the (n,m)-strongly Ding projective modules．For nonnegative integralmand positive integraln,Ding projective dimension ofMis not larger thanmifMis (n,m)-strongly Ding projective module.At the same time,the homological properties of syzygy are discussed for the modules.Key words:n-strongly Ding projective modules;(n,m)-SD projective modules;Ding projective dimensions

2015-03-19;修改稿收到日期:2015-04-20

國家自然科學基金資助項目(11201376)

張文匯(1977—)，女，甘肅天水人，副教授，博士，碩士研究生導師.主要研究方向為環(huán)的同調(diào)理論． E-mail:zhangwh@nwnu.edu.cn

O

A

1001-988Ⅹ(2015)04-0021-05