小R-投射模

王永鐸,李 霞

(蘭州理工大學 理學院,甘肅 蘭州 730050)

在本文中,R都是有單位元的結合環(huán),所有的模都是右R-模.設M和N是右R-模.稱M是N-投射模,如果每個M到N的商模的右R-模同態(tài)可以提升到M到N的右R-模同態(tài).稱M是R-投射模,如果M是RR-投射的.稱M是投射模,如果M對任意右R-模N是N-投射的.受到文獻[1-5]的啟發(fā),本文很自然的引入小N-投射模和小R-投射模的概念.設M和N是右R-模.稱M是小N-投射模,如果對于每個滿同態(tài)f:N→N/N1(N1是N的任意小子模)和每個同態(tài)g:M→N/N1,存在同態(tài)h:M→N使得fh=g.稱模M是小R-投射模,如果M是小RR-投射的.本文研究了小N-投射模和小R-投射模的基本性質(zhì),探討了它們與已知模類的關系.證明了環(huán)R是半本原環(huán)當且僅當每個R-模是小R-投射模.本文也引入了小R-投射蓋的概念.稱滿同態(tài)f:P→M或P是M的小R-投射蓋,如果P是小R-投射模且f是小的滿同態(tài).證明了R是半完備環(huán)當且僅當R/J(R)是半單的且每個單R-模有小R-投射蓋;R是右完備環(huán)當且僅R/J(R)是半單的且每個半單R-模有小R-投射蓋.

定義1設M和N是右R-模.稱M是小N-投射模,如果對于每個滿同態(tài)f:N→N/N1(N1是N的任意小子模)和每個同態(tài)g:M→N/N1,存在同態(tài)h:M→N使得fh=g.稱M是小R-投射模,如果M是小RR-投射的.

例11) 設R是半本原環(huán).則每個右R-模M是小R-投射模.

證明由R是半本原環(huán)知J(R)=0.對滿同態(tài)f:R→R/0和同態(tài)g:M→R/0,考慮交換圖,如圖1所示.

圖1 交換圖Fig.1 Commutative diagram

因為R/0?R是投射模,所以f可裂,即存在同態(tài)h:R/0→R使得fh=1R/0.因此存在同態(tài)hg:M→R,使得f(hg)=(fh)g=1R/0g=g.

2)Z-模Z/nZ(n≠0,1)是小Z-投射模但不是Z-投射模.

證明由J(Z)=0,知每個右Z-模M是小Z-投射模,因此Z/nZ(n≠0,1)是小Z-投射模.下證Z/nZ(n≠0,1)不是Z-投射模.因為nZ不是Z的直和項,所以短正合列0→nZ→Z→Z/nZ→0不可裂.故Z/nZ(n≠0,1)不是Z-投射模.

命題1設R是環(huán),N是右R-模.則以下幾條成立:

1) 若N是hollow模,則小N-投射模是N-投射模;

2) 若rad(N)?N且N/rad(N)是小N-投射模,則N是半平坦模;

3) 若N是半平坦模,則每個R-模M是小N-投射模;

4)R-模⊕i∈IMi是小N-投射模當且僅當Mi(i∈I)是小N-投射模.

證明1) 根據(jù)hollow模的定義即知.

2) 由rad(N)?N且N/rad(N)是小N-投射模,知存在同態(tài)h:N/rad(N)→N,使圖2可換.

進而可知rad(N)是N的直和項,因此rad(N)=0,即N是半平坦模.

3) 因為N是半平坦模,所以rad(N)=0.再由文獻[6]中命題16.7知要證M是小N-投射模,即

圖2 交換圖Fig.2 Commutative diagram

證每個同態(tài)h:M→N/0可通過自然滿同態(tài)π:N→N/0分解.下證每個同態(tài)h:M→N/0可通過自然滿同態(tài)π:N→N/0分解.因為自然滿同態(tài)π:N→N/0是同構,所以存在同態(tài)g:N/0→N使得πg=1N/0.故存在同態(tài)gh:M→N使得π(gh)=(πg)h=1N/0h=h,即證.

4) “?”設右R-模M=⊕i∈IMi是小N-投射模.對滿同態(tài)β:N→N/N1(N1是N的任意小子模)和同態(tài)φ:Mi→N/N1(i∈I),考慮交換圖，如圖3所示.

圖3 交換圖Fig.3 Commutative diagram

“?”設Mi(i∈I)是小N-投射模.對滿同態(tài)β:N→N/N1(N1是N的任意小子模)和同態(tài)φ:M→N/N1,考慮交換圖，如圖4所示.

圖4 交換圖

命題2設R是環(huán)，M和N是右R-模.則以下兩條等價:

1)M是小N-投射模;

2) 對N的任意小子模N1,由滿態(tài)f:N→N/N1所誘導的同態(tài)f*:HomR(M,N)→HomR(M,N/N1)是滿態(tài).

證明1)?2) 設M是小N-投射模，N1是N的任意小子模，f:N→N/N1是滿同態(tài),g∈HomR(M,N/N1).因為M是小N-投射模,所以存在同態(tài)h:M→N,使得f*h=fh=g，故f*是滿態(tài).

2)?1)顯然.

命題3局部環(huán)R上的右R-模M是小R-投射模當且僅當M是R-投射模.

證明“?”因為R是局部環(huán),所以它有唯一極大理想J(R)且J(R)是R的小理想.由R是有限生成的,知R的每個真理想都包含在極大理想J(R)中,從而R的每個真理想都是小理想.因此小R-投射模M也是R-投射模.

“?”顯然.

推論1局部環(huán)R上的有限生成的小R-投射模M是投射模.

證明由命題3和文獻[8]中的定理2.1可知.

命題4設N是右R-模.若rad(N)?N且N/rad(N)是半單的,則每個小N-投射模M是rad-N-投射模.

證明由rad(N)?N且M是小N-投射的知每個同態(tài)f:M→N/rad(N)可提升到同態(tài)g:M→N.又因為N/rad(N)是半單的,由文獻[5]中的命題3.14可知，M是rad-N-投射模.

推論2設R是半完備環(huán).若右R-模M滿足rad(M)?M且M是小R-投射模,則M是投射模.

證明由R是半完備環(huán)，知R/J(R)是半單的.又因為J(R)?R且M是小R-投射模,所以M是rad-投射模.再由rad(M)?M和文獻[5]中的定理4.7知M是投射模.

注1小R-投射模的子模不一定是小R-投射模.當環(huán)R=Z/p2Z時(其中p為素數(shù)),R是小R-投射模但它的非零理想pZ/p2Z?R/pZ/p2Z不是小R-投射模.因為pZ/p2Z?R不是R的直和項,所以不存在h:R/pZ/p2Z→R,使圖5可換.

圖5 交換圖

定理1設R是環(huán),M是右R-模.則以下幾條等價:

1) 每個小E(M)-投射模的子模是小E(M)-投射模;

2) 每個投射模的子模是小E(M)-投射模;

3)R的每個右理想是小E(M)-投射模;

4)E(M)/E1(M)(E1(M)是E(M)的任意小子模)是內(nèi)射模.

證明1)?2)?3)顯然.

3)?4)設I是R的右理想.考慮交換圖，如圖6所示.

圖6 交換圖Fig.6 Commutative diagram

其中i:I→R為嵌入映射.因為I是小E(M)-投射模,所以存在同態(tài)θ:I→E(M)使得ηθ=f.由E(M)是內(nèi)射模,知存在同態(tài)λ:R→E(M)使得λ|I=θ.又因為ηλ|I=ηθ=f,所以同態(tài)ηλ:R→E(M)/E1(M)是f的擴張,故E(M)/E1(M)是內(nèi)射模.

4)?1) 設B是小E(M)-投射模且A是B的子模.考慮交換圖，如圖7所示.

圖7 交換圖

因為E(M)/E1(M)是內(nèi)射模,所以f可以擴張到同態(tài)θ:B→E(M)/E1(M).又因為B是小E(M)-投射模,所以存在λ:B→E(M)使得ηλ=θ.因此存在同態(tài)g=λi:A→E(M)，使得對任意x∈A有ηg(x)=ηλi(x)=ηλ(x)=θ(x)=f(x),故A是小E(M)-投射模.

推論3設M是內(nèi)射R-模.則以下幾條等價:

1) 每個小M-投射模的子模是小M-投射模;

2) 每個投射模的子模是小M-投射模;

3)R的每個右理想是小M-投射模;

4)M/M1(M1是M的任意小子模)是內(nèi)射模.

定理2設R是環(huán).則以下幾條等價:

1)R是半本原環(huán);

2) 每個右R-模是小R-投射模;

3) 每個有限生成的右R-模是小R-投射模;

4) 每個右R-模R/I(I是R的任意小右理想)是小R-投射模;

5) 右R-模R/J(R)是小R-投射模.

證明1)?2) 由例1可知.

2)?3)?4)?5)顯然.

5)?1)因為R/J(R)是小R-投射模,所以存在g:R/J(R)→R使圖8可換.

圖8 交換圖8Fig.8 Commutative diagram 8

進而可知J(R)是R的直和項,故J(R)=0.因此R是半本原環(huán).

推論4若R是有限余生成的且R/J(R)是小R-投射模,則R是半單環(huán).

證明因為R/J(R)是小R-投射模,所以J(R)=0.再由R是有限余生成的和文獻[10]中的21.14可知,R是半單環(huán).

命題6設R是環(huán),τ是預根且τ(R)=0.如果M是小R-投射模,那么M/τ(M)是小R-投射模.

證明設M是小R-投射模.對同態(tài)f:M/τ(M)→R/I(I是R的任意小右理想)和滿同態(tài)η:R→R/I,考慮交換，如圖9所示.

圖9 交換圖Fig.9 Commutative diagram

其中π:M→M/τ(M)是自然滿同態(tài).由M是小R-投射模知存在同態(tài)g:M→R使得fπ=ηg.因為g(τ(M))?τ(R)=0,所以τ(M)?Ker(g),故存在態(tài)射h:M/τ(M)→R,使得hπ=g.又因為ηhπ=ηg=fπ且π是滿同態(tài),所以ηh=f.因此M/τ(M)是小R-投射模.

定義2設R是環(huán),M是右R-模.稱滿同態(tài)f:P→M或P是M的小R-投射蓋,如果P是小R-投射模且f是小的滿同態(tài)(即Kerf?P).

注2眾所周知,R是半完備環(huán)當且僅當每個有限生成的R-模有投射蓋,R是右完備環(huán)當且僅當每個R-模有投射蓋.但每個有限生成的R-模有小R-投射蓋,R不一定是半完備環(huán); 每個R-模有小R-投射蓋,R不一定是右完備環(huán).例如每個有限生成的阿貝爾群有小Z-投射蓋,但Z不是半完備環(huán);每個阿貝爾群有小Z-投射蓋,但Z不是右完備環(huán).

定理3設R是環(huán).則以下幾條等價:

1)R是半完備環(huán);

2)R/J(R)是半單的且每個有限生成的R-模有小R-投射蓋;

3)R/J(R)是半單的且每個單R-模有小R-投射蓋.

證明1)?2)?3)顯然.

3)?1)因為R/J(R)是半單的且每個單R-模有小R-投射蓋,所以每個單R-模有rad-投射蓋.再由文獻[3]中定理18可知R是半完備環(huán).

定理4設R是環(huán).則以下幾條等價：

1)R是右完備環(huán);

2)R/J(R)是半單的且每個R-模有小R-投射蓋;

3)R/J(R)是半單的且每個半單R-模有小R-投射蓋.

證明1)?2)?3)顯然.

3)?1)由定理3知R是半完備的.設M是半單R-模,f:P→M是M的小R-投射蓋.由文獻[11]中的推論9.1.5可知,rad(P)=f-1(0)=Kerf?P.再由推論2知P是投射的,即證.

定理5設g:P→M/rad(M)→0是M/rad(M)的投射蓋.若M是小P-投射模,則M=N⊕K,其中N是投射模,K是rad(M)的子模,N∩rad(M)?N.特別地,若rad(M)?M,則M是投射模.

證明對滿同態(tài)g:P→M/rad(M)和自然滿同態(tài)η:M→M/rad(M),考慮交換圖，如圖10所示.

圖10 交換圖Fig.10 Commutative diagram