多線性Marcinkiewicz算子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性

葉曉峰,韓 晶

(華東交通大學(xué) 理學(xué)院,江西 南昌 330013)

多線性算子的研究吸引著很多研究者,許多結(jié)果與經(jīng)典算子的線性理論相似,但也發(fā)現(xiàn)了一些新現(xiàn)象[1].二十世紀(jì)九十年代一些學(xué)者開始研究變指數(shù)函數(shù)空間上的一些性質(zhì)[2],近年來(lái),變指數(shù)函數(shù)空間在調(diào)和分析中得到長(zhǎng)足地發(fā)展[3-5].Izuki[6]引入了變指數(shù)Herz-Morrey空間,Lu等[7]研究了次線性算子在此空間上的有界性.Zhu等[8]研究了帶可變核Marcinkiewicz積分算子變指數(shù)Herz空間上的有界性.受此啟發(fā),本文主要討論的是多線性Marcinkiewicz算子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性.

設(shè)B(x,r)={y∈Rn:|x-y|0,C2>0,使C1B≤A≤C2B.

1 定義

則根據(jù)上述多線性算子F定義多線性Marcinkiewicz算子μ為

μ(f1,…,fm)(x)=

定義2[2]設(shè)p(·):E→[1,∞)是一個(gè)可測(cè)函數(shù).

其中范數(shù)表示為

定義3[9]核函數(shù)K滿足的尺寸條件定義如下：對(duì)所有的x,y1,…,ym∈Rn,且存在1≤j≤m,滿足x≠yj,有

2 引理

引理1[10]當(dāng)0

引理2[11]如果p(·)∈P(Rn)存在一個(gè)常數(shù)C>0,且對(duì)于所有球B在Rn中,下面不等式成立

引理3[10]如果p(·)∈P(Rn),存在常數(shù)0<γ<1和C>0,對(duì)任意的球B?Rn和對(duì)任意的可測(cè)子集S?B,有下面的不等式成立

這里隱含常數(shù)不依賴r且x∈R.

其中

設(shè)E是Rn中的開集,如果p(·)∈P(Rn)且滿足下面2個(gè)條件：

則有p(·)∈B(Rn).

3 主要結(jié)果

根據(jù)變指數(shù)Herz-Morrey空間的定義

從以上的四個(gè)等式中可看出E2和E3對(duì)稱,則只要分析E1,E2,E4即可.根據(jù)核函數(shù)K滿足尺寸條件和Minkowskiw不等式,可得到

腫瘤轉(zhuǎn)移是癌癥相關(guān)死亡的主要原因。轉(zhuǎn)移前微環(huán)境的形成是腫瘤轉(zhuǎn)移的關(guān)鍵步驟[1]。腫瘤轉(zhuǎn)移研究領(lǐng)域先驅(qū)David Lyden教授發(fā)現(xiàn)原發(fā)腫瘤分泌的細(xì)胞因子為腫瘤細(xì)胞在轉(zhuǎn)移灶的定植提供了有利的條件，并提出了轉(zhuǎn)移前微環(huán)境的概念，徹底改變了人們對(duì)轉(zhuǎn)移級(jí)聯(lián)反應(yīng)的認(rèn)識(shí)[2]。目前已經(jīng)可以確定的是，腫瘤細(xì)胞的遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)移器官不是循環(huán)腫瘤細(xì)胞（circulating tumor cells，CTCs）的被動(dòng)接受者，而是轉(zhuǎn)移擴(kuò)散發(fā)生之前原發(fā)性腫瘤主動(dòng)選擇性修飾的“土壤”，以利于播種轉(zhuǎn)移的“種子”[3]。

由中值定理可以得到

由E1得到i≤k-2,j≤k-2,|x-y1|～|x|～2k,|x-y2|～|x|～2k,其中x∈Ak,y1∈Ai,y2∈Aj.

則根據(jù)引理5和中值定理所得的上面式子可得

則根據(jù)上述分析可得到

由引理4可得

當(dāng)0

由E2得j≥k-1,i≤k-2,且|x-y1|～|x|～2k,|x-y2|～|max{|x|,|y2|}|～max{2j,2k}.其中x∈Ak,y1∈Ai,y2∈Aj.當(dāng)j≥k-1,有2種情況.當(dāng)k>j時(shí),B1,B2和E1中的B1,B2得到的結(jié)果一樣,當(dāng)k

注意到‖χi‖Lp(·)(Rn)≤‖χBi‖Lp(·)(Rn).

經(jīng)上述分析可得到

‖μ(fi,gj)(x)‖Lp(·)(Rn)≤C2-kn‖fi‖Lp′1(·)(Rn)‖χBi‖Lp′1(·)(Rn)‖χBk‖Lp1(·)(Rn)×

2-jn‖gi‖Lp2(·)(Rn)‖χBk‖Lp2′(·)(Rn)‖χBk‖Lp2(·)(Rn)

由引理2可得

由引理3可得

當(dāng)0

當(dāng)1

E223和E221的形式一樣,E224和E222的形式一樣,則用同樣的方法估計(jì)不等式可得到

由E4可注意到i>k-1,j>k-1.分下面4種情況：當(dāng)ik和i>k,jk,j>k時(shí),其中x∈Ak,y1∈Ai,y2∈Aj.|x-y1|～|y1|～2i,|x-y2|～|y2|～2j.同E1中B1,B2的分析方法一樣可得到

同E2中‖μ(fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)的方法一樣,用引理2和引理3可得

E41和E42的形式和E22的形式一樣,則可得到

綜上分析,證明了此定理.