《近世代數(shù)》課程教學(xué)及教學(xué)案例分析

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《近世代數(shù)》課程教學(xué)及教學(xué)案例分析

張慧

(寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756000)

摘要：以如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)《近世代數(shù)》課程興趣為研究目標(biāo)，針對現(xiàn)階段近世代數(shù)課程中課時緊、學(xué)生對于該課程認(rèn)識不足等問題而造成學(xué)習(xí)興趣不高進(jìn)行了教學(xué)及教學(xué)案例分析。經(jīng)分析得出：可以通過介紹知識點(diǎn)在實(shí)際中的應(yīng)用及結(jié)合師范生專業(yè)特色來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)近世代數(shù)的興趣，同時給出如何應(yīng)對課時緊的辦法。

關(guān)鍵詞：近世代數(shù)；學(xué)習(xí)興趣；教學(xué)案例

《近世代數(shù)》(也稱抽象代數(shù))是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，主要講授群、環(huán)、域3個代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)，通過該課程的學(xué)習(xí)能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維以及縝密的分析能力。但是課程符號多、內(nèi)容難以理解，很多初學(xué)者反映近世代數(shù)難學(xué)，從而產(chǎn)生畏難情緒?，F(xiàn)階段關(guān)于近世代數(shù)的教學(xué)研究大多從教學(xué)內(nèi)容、課程的重要性以及教學(xué)方法的改進(jìn)做了深入的闡述，針對近世代數(shù)課程的教學(xué)給出了很好的建議[1-3]。但這些研究只是從教師的角度出發(fā)來探討如何提高教學(xué)質(zhì)量，卻沒有從學(xué)生的角度出發(fā)來研究如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。本文以如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)近世代數(shù)課程興趣為研究目標(biāo)，針對教學(xué)以及教學(xué)案例分析做出了探討，給出一些建議。

1現(xiàn)階段近世代數(shù)課程教與學(xué)存在的問題

其一，近世代數(shù)在信息安全、生物學(xué)、化學(xué)、圖論中有很多的應(yīng)用，但學(xué)生對于所學(xué)知識的應(yīng)用了解甚少，認(rèn)為這門課程的內(nèi)容只不過是由一些枯燥的概念和定理構(gòu)成的，沒有實(shí)用性。如果產(chǎn)生了這樣的認(rèn)識，就會大大降低學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，更何談學(xué)好這門課程。

其二，當(dāng)前大部分高校的近世代數(shù)課程的課時都有不同程度的壓縮，所以在常采用的3類不同的教材中[4-6]課時的安排很緊張，教師為了完成教學(xué)任務(wù)不得不在短時間內(nèi)講授大量的內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生不能夠充分“消化”和“吸收”所學(xué)的知識點(diǎn)，進(jìn)而降低了學(xué)習(xí)的興趣。

其三，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范類)專業(yè)的學(xué)生常常提出這樣的疑惑，既然將來到中學(xué)里面去不需要講授近世代數(shù)相關(guān)的內(nèi)容，為什么我們還要學(xué)習(xí)近世代數(shù)這門課程？學(xué)生產(chǎn)生這樣的想法之后，就減少了對于近世代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣。

2近世代數(shù)課程教學(xué)探討與教學(xué)案例分析

2.1　介紹知識點(diǎn)的應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)興趣

為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)該在教授課程的同時加入一些知識點(diǎn)的應(yīng)用。例如，學(xué)習(xí)了群對集合的作用這個知識點(diǎn)以后，就可以給出以此知識點(diǎn)為基礎(chǔ)的Burnside 引理的內(nèi)容及其應(yīng)用。

(1)預(yù)備知識：(Burnside 引理)設(shè)有限群G作用于有限集X上，則X在G作用下的軌道數(shù)目為

其中χ(g)為元素g在X上的不動點(diǎn)數(shù)目 ，和式是對每一個群元素求和。很容易看出引理主要是解決集合在群作用下的軌道數(shù)目問題，也就是計數(shù)的問題。下面就給出引理的應(yīng)用舉例。

(2)開關(guān)線路問題。一個具有兩種狀態(tài)的電子元件稱為一個開關(guān)。由若干個開關(guān)A1，A2，…,Ak組成的一個線路稱為開關(guān)線路,它的狀態(tài)由Ai(i=1,2,…,k)的狀態(tài)決定，因而可用一個開關(guān)函數(shù)f(A1,A2,…,Ak)來表示它的狀態(tài)。但是不同的開關(guān)函數(shù)可能對應(yīng)相同的開關(guān)路線，因此出現(xiàn)了一個問題：由n個開關(guān)可以組成多少種本質(zhì)上不同的開關(guān)路線？設(shè)X={A1,A2,…,An},G=Sn是X上的對稱群，Φ={f1,f2,…,fm},m=22n是X上的所有開關(guān)函數(shù)的集合。定義σ∈G對于f∈Φ的，作用為σ(f)=fσ，對于任何Ai∈X?σ(f)(Ai)=f(σ(Ai))則由σ(f1)=σ(f2)可得f1=f2，故G是作用在Φ上的置換群，f1,f2對應(yīng)于本質(zhì)上相同的開關(guān)線路的充要是它們在G的作用下在同一軌道上，因而有

本質(zhì)上不同的開關(guān)線路的數(shù)目=Φ在G作用下的軌道數(shù)

利用Burnside 引理就能夠解決開關(guān)線路的問題。通過諸如此類的知識點(diǎn)的應(yīng)用介紹，學(xué)生不僅對所學(xué)知識有了進(jìn)一步的認(rèn)識，還了解到書本上那些枯燥的知識在實(shí)際當(dāng)中還有這么多的用處，不知不覺中學(xué)習(xí)的興趣就慢慢的提高了。因此，對于知識點(diǎn)的應(yīng)用介紹是很有必要的。

2.2　課堂外加強(qiáng)充電，提高學(xué)習(xí)興趣

課時緊張是近世代數(shù)課程教學(xué)中面臨的問題。如果只是按照教學(xué)計劃安排去教授課程難免會出現(xiàn)照本宣科的尷尬，導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣。如果想加入課本以外的知識，時間又不容許，如何去解決這個矛盾呢？不妨換個思維方式：課堂上不能解決的問題，放在課堂以外去解決。以下就給出幾點(diǎn)解決問題的途徑：

其一，教師可以對知識點(diǎn)的拓展及應(yīng)用進(jìn)行整理形成一些書面的資料交給學(xué)生，讓他們利用課余時間去閱讀、學(xué)習(xí)，并組織學(xué)生討論自學(xué)中掌握不太好的地方；也可以介紹一些這方面的書籍，如《代數(shù)與通信》等[7]讓學(xué)生去閱讀。通過這種方式，讓學(xué)生掌握課堂上沒有消化好的知識點(diǎn)以及沒有時間學(xué)習(xí)的內(nèi)容，漸漸地讓學(xué)習(xí)從被動變?yōu)橹鲃樱岣邔W(xué)習(xí)興趣以及自學(xué)能力。

其二，可以利用網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)充課堂中的缺憾?？萍嫉牟粩噙M(jìn)步和發(fā)展給我們的生活帶來了很大的變化，其中也包括我們的教學(xué)。現(xiàn)在，慕課(MOOC)、微課、公開課都悄然走進(jìn)了學(xué)習(xí)生活中，學(xué)生乃至老師都在利用課余時間進(jìn)行再學(xué)習(xí)。許多的網(wǎng)上課堂對于知識點(diǎn)的應(yīng)用都加以介紹，有時會將知識點(diǎn)的應(yīng)用作為一個專題進(jìn)行講授，學(xué)生通過網(wǎng)上學(xué)習(xí)也可以掌握一些知識點(diǎn)及其最新的應(yīng)用情況。通過了解最新的知識應(yīng)用情況，學(xué)生更加有興趣去學(xué)習(xí)枯燥的知識點(diǎn)了。

2.3　結(jié)合專業(yè)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

有數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范類)專業(yè)的學(xué)生提出這樣的疑惑，為什么我們要學(xué)習(xí)近世代數(shù)這門課程？將來到中學(xué)里面去也不講授近世代數(shù)相關(guān)的內(nèi)容。不僅僅是對這門課程有這樣的疑問，對于很多的課程也有類似的疑問。這說明，學(xué)生對于所學(xué)的知識與專業(yè)的關(guān)系還是一知半解，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范類)專業(yè)今后的就業(yè)方向就是中、小學(xué)的數(shù)學(xué)老師，在大學(xué)四年中所學(xué)到的數(shù)學(xué)方面課程都是為將來成為一名合格的老師奠定基礎(chǔ)。雖然表面上看好像所學(xué)的知識與中學(xué)的知識是脫節(jié)的、沒有關(guān)系的，但實(shí)際上大學(xué)所學(xué)的相關(guān)課程是為了拓展學(xué)生的思維能力、開闊學(xué)生的視野、并培養(yǎng)學(xué)生一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也就是所謂的“站得高，看得遠(yuǎn)”。例如，在2003 年教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗)》 (以下簡稱“新課標(biāo)”)中，首次將“對稱與群”作為高中數(shù)學(xué)課程選修系列3、4 專題選入高中數(shù)學(xué)教材[3]。解讀新課標(biāo)，群的定義已經(jīng)在中學(xué)課本出現(xiàn)，但不是以大學(xué)生熟悉的群的定義出現(xiàn)，大學(xué)階段直接給出群的抽象定義，而中學(xué)階段注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，在觀察大量的事例和現(xiàn)象的基礎(chǔ)上給出概念。所以許多實(shí)習(xí)生只能將大學(xué)所學(xué)的抽象概念照搬到中學(xué)課堂上去，卻不能從事例中總結(jié)出概念。分析這一現(xiàn)象，究其根本主要還是專業(yè)課學(xué)習(xí)不夠透徹，沒有掌握概念最深刻的內(nèi)涵，所以，當(dāng)這些概念以另一種方式或者以一種特例的形式出現(xiàn)得時，就不知道如何去闡述。為了避免學(xué)生在實(shí)習(xí)時出現(xiàn)“書到用時方恨少”的尷尬，在平時就應(yīng)該提醒學(xué)生努力學(xué)習(xí)專業(yè)課知識以迎接將來的挑戰(zhàn)。了解這些以后，學(xué)生就知道所學(xué)的這樣一門抽象的課程可以幫助他們順利成為一名合格的中、小學(xué)教師，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣自然而然地就有了。因此，可以從專業(yè)素養(yǎng)的要求出發(fā)提高、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3結(jié)語

學(xué)習(xí)興趣是最好的學(xué)習(xí)動力，為了學(xué)好近世代數(shù)這門課程，做為老師應(yīng)該努力提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。以上就是筆者在教學(xué)中關(guān)于如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的幾點(diǎn)思考和建議，希望學(xué)生在學(xué)習(xí)近世代數(shù)課程的過程中能夠帶著濃濃的學(xué)習(xí)興趣愉快地學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉娟，張新東.“近世代數(shù)”課程教學(xué)中的幾點(diǎn)體會[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,32(2):87-89.

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[3] 林記，姚云飛，張杰.中學(xué)新課標(biāo)背景下高師近世代數(shù)群定義的教學(xué)探究[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,34(4):95-98.

[4] 張禾瑞．近世代數(shù)基礎(chǔ)[M]．北京：高等教育出版社，1978．

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[6] 楊子胥．近世代數(shù)基礎(chǔ)[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[7] 馮克勤，劉鳳梅.代數(shù)與通信[M].北京：高等教育出版社，2005.

(責(zé)任校對莫秀珍)

中圖分類號：G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-5884(2016)01-0034-03

作者簡介：張慧(1977-)，女，寧夏固原人，副教授，碩士，主要從事代數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

基金項目：寧夏師范學(xué)院科研項目(NXSFYB1544)；寧夏師范學(xué)院2014年度“本科教學(xué)工程”一期資助項目

收稿日期：20150604