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    正三角形性質(zhì)補(bǔ)遺

    2016-03-18 05:52:39楊云奎
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2016年1期
    關(guān)鍵詞:正三角形三邊過點(diǎn)

    楊云奎

    如圖1,△ABC為正三角形,P為其內(nèi)部任一點(diǎn),過點(diǎn)P分別向三角形的三邊作垂線,垂足分別是D、E、F,連接PA、PB、PC.

    文[1]通過研究得出:

    (1)AF+BD+CE=FB+DC+EA;

    (2)正△ABC被分成了6個(gè)直角三角形,這6個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓

    半徑依次記為r1、r2、r3、r4、r5、r6,則r1+r3+r5=r2+r4+r6.

    筆者在文[1]研究的基礎(chǔ)上又發(fā)現(xiàn)了三條新的結(jié)論,權(quán)作補(bǔ)遺.

    性質(zhì)1AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2;

    性質(zhì)2四邊形AEPF、四邊形BFPD與四邊形CDPE都是圓內(nèi)接四邊形,且四邊形外接圓圓心恰是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn);

    性質(zhì)3記△PBD、△PDC、△PCE、△PEA、△PAF、△PFB的面積分別為S1、S2、S3、S4、S5、S6,則S1+S3+S5=S2+S4+S6.

    證明1.如圖1,因PD、PE、PF分別垂直于BC、CA、AB,所以△AFP、△FBP、△BDP、△DCP、△CEP、△EAP都是直角三角形.

    由勾股定理:AF2+BD2+CE2=(PA2-PF2)+(PB2-PD2)+(PC2-PE2)

    =(PA2+PB2+PC2)-(PD2+PE2+PF2),①

    FB2+DC2+EA2=(PB2-PF2)+(PC2-PD2)+(PA2-PE2)

    =(PA2+PB2+PC2)-(PD2+PE2+PF2),②

    比較①、②兩式,即得:AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2.圖2

    2.如圖2,取PA的中點(diǎn)記為O1,因PE、PF分別垂直于CA、AB,

    所以△AFP與△AEP是直角三角形.于是有O1A=O1P=O1E=O1F.

    故點(diǎn)A、E、P、F四點(diǎn)在以O(shè)1為圓心,O1A長為半徑的圓上.即四邊形AEPF內(nèi)接于⊙O1.

    取PB、PC的中點(diǎn)O2、O3,類似地可以證得:四邊形BFPD內(nèi)接于⊙O2,四邊形CDPE內(nèi)接于⊙O3.

    因O1、O2、O3分別是PA、PB、PC中點(diǎn),所以O(shè)1O2、O2O3、O3O1分別是△PAB、△PBC、△PCA的中位線,所以有O1O2=12AB,O2O3=12BC,O3O1=12CA,因△ABC是正三角形,所以AB=BC=CA,從而O1O2=O2O3=O3O1,所以△O1O2O3是正三角形.圖3

    3.如圖3,過點(diǎn)P分別作AB、BC、AC的平行線,與△ABC三邊AB、BC、CA交點(diǎn)是R、M、Q、S、N、T.

    記△PBQ的面積為S11,△PQD的面積為S12,△PDS的面積為S21,△PSC的面積為S22,△PCN的面積為S31,△PNE的面積為S32,△PET的面積為S41,△PTA

    的面積為S42,△PAR的面積為S51,△PRF的面積為S52,△PFM

    的面積為S61,△PMB的面積為S62.

    顯然:S1=S11+S12,S2=S21+S22,S3=S31+S32,

    S4=S41+S42,S5=S51+S52,S6=S61+S62.

    由MN∥BC,QT∥AB,RS∥AC知:四邊形MBQP、NPSC、ARPT

    都是平行四邊形,因平行四邊形的對角線平分其面積,于是有:S11=S62,S31=S22,S51=S42.

    因△ABC是正三角形且MN∥BC,QT∥AB,RS∥AC易得:△PQS、△PNT、△PRM都是正三角形,而PD、PE、PF分別是正三角形△PQS、△PNT、△PRM的高,所以PD、PE、PF分別等分△PQS、△PNT、△PRM的面積.即:S12=S21,S32=S41,S52=S61.

    從而S11+S12+S31+S32+S51+S52=S62+S21+S22+S41+S42+S61.

    也就是:S1+S3+S5=S2+S4+S6.

    參考文獻(xiàn)

    [1]呂偉波.正三角形的兩個(gè)有趣性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2015(6):40.

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