幾何定值題求解很有趣

張祥梅　華興恒

當(dāng)平面圖形中的一些幾何元素在一定條件下變動時，與變動元素有關(guān)的某些幾何量的值仍保持不變，求出這些不變的值，這就是幾何中的定值問題.求解定值問題常用的基礎(chǔ)知識有：（1）同（等）底等（同）高的三角形面積為定值；（2）同圓或等圓中，相等的圓心角或圓周角所對的弧長或弦長為定值；（3）圓冪定理中，若切線長不變，則割線兩部分之積為定值；（4）兩條對角線為定長的平行四邊形的各邊平方和為定值；（5）在已知線段的同側(cè)，且對線段兩端點所張的角大小不變的各點，在過這線段兩端點的同一個圓上.若能巧妙而靈活地利用上述結(jié)論求解定值問題，常常會使問題簡單獲解.下面舉例說明，希望能夠?qū)ν瑢W(xué)們有所啟迪.

例1如圖1，在△ABC中，AB=AC，過BC上一點D作BC的垂線分別交兩腰所在的直線于E、F.求證：DE+DF為定值.

分析由等腰三角形ABC及DF⊥BC于D，可以得當(dāng)動點D到達(dá)BC中點H時，可確定所求值為2AH.

證明過A作AH⊥BC于H，則△BDE∽△CDF∽△BHA，

所以DEAH=BDBH，DFAH=DCBH，所以DE+DFAH=BD+DCBH=2，

所以DE+DF=2AH，而AH為定值，所以DE+DF為定值.

點評幾何中的定值問題，有時通過尋找?guī)缀螆D形的特殊位置，進(jìn)而尋求不變量，這是求解此類問題常用的行之有效的方法.圖2

例2如圖2，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD邊上任意一點，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分別是垂足，那么PE+PF=.

解析求解本題可采用特殊值法，即當(dāng)點P與A或D重合時，如圖3，PE與PF的和變成△ADC的高DF，即為定值.

圖2中，連結(jié)PO，作DM⊥AC于M，則S△AOD=S△APO+S△DPO，

所以S△AOD=12AO·PF+12DO·PE.圖3

因為在矩形ABCD中，AO=DO，所以S△AOD=12AO·（PE+PF），

而S△AOD=12AO·DM，所以PE+PF=DM.

在Rt△ADC中，AD=12，DC=5，所以AC=52+122=13，

所以DM=AD·DCAC=12×513=6013，即PE+PF=6013.

例3設(shè)C為定圓上定弧AB的中點，P為AB上任意一點，且C與P不在直線AB的同側(cè)，求證：PA+PBPC為定值.

解析先探求定值，可用特殊位置法尋找.

由于點P為AB上任意一點，所以可考慮點P與點A重合，則會有PA+PBPC=ABAC，而A、B、C為定點，則AB、AC為定值，所以題中定值可能為ABAC.圖4

第二步，證明定值.如圖4，

在AP的延長線上取點E，使PE=PB，連BE、BC，則有∠BAP=∠BCP，AC=BC.而C為AB的中點，所以∠APB=2∠CPB.

又PE=PB，則∠PBE=∠PEB，而∠APB=∠PBE+∠PEB，即∠CPB=∠PEB，從而知△ABE∽△CBP，得AEPC=ABBC，即PA+PBPC=ABAC為定值.圖5

例4M、N是以AB為直徑的半圓上的兩點，且∠MAB=45°，∠NBA=60°，動點P在直徑AB上移動.求證：tan∠AMP·tan∠BNP是定值.

解析根據(jù)題目條件，畫出相應(yīng)的圖形，M、N的位置如圖5所示.解決定值問題，首先要探求定值，為此可采用特殊位置法.圖6圖7

當(dāng)點P在圓心時，如圖6，△BPN和△APM都是等腰三角形，則tan∠AMP·tan∠BNP=tan∠A·tan∠B，即tan45°·tan60°=3.所以通過特殊位置法探求出定值為3，并理出了解題思路.

要證明tan∠AMP·tan∠BNP=tan∠A·tan∠B，如圖7，連結(jié)BM、AN，過P分別作PC⊥AM于點C，PD⊥BN于點D.而AB為直徑，

所以∠AMB=∠ANB=90°，所以PC∥BM，PD∥AN.

所以由平行線分線段成比例定理，得ACCM=APPB，BDDN=PBPA，將兩式相乘，得ACCM·BDDN=1.

由正切的定義，得tan∠AMP=PCCM，tanA=PCAC，tan∠BNP=PDND，tanB=PDBD，

所以tan∠AMP·tan∠BNP=ACMC·tanA·BDND·tanB=tanA·tanB=tan45°·tan60°=3.圖8

例5如圖8所示，已知∠POQ=90°，點A、B分別在射線OP、OQ上移動，∠OAB的平分線與∠OBA的外角平分線相交于點C，求證：∠ACB的大小為定值.

解析由于∠ACB是△ABC的一個內(nèi)角，所以可利用三角形的內(nèi)角和定理以及內(nèi)、外角平分線的定義直接計算∠ACB的大小.

因為∠BAC+∠ABC=12∠OAB+∠OBA+∠OBC=12∠OAB+∠OBA+12（180°–∠OBA）=12（∠OAB+∠OBA）+90°=12×90°+90°=135°，

所以∠ACB=180°–（∠BAC+∠ABC）=45°（定值）.

練習(xí)

1.如圖9，在等邊△ABC內(nèi)取點O，作BC、CA、AB的垂線OM、ON、OP，垂足分別為M、N、P.若此三角形的周長為6，求OP+OM+ON.圖9圖10

2.如圖10，OA、OB為⊙O任意兩半徑，過B作BE⊥OA，垂足為點E；再過點E作EP⊥AB，垂足為點P，若⊙O的半徑為r，求OP2+EP2.

3.如圖11，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于單位元（即半徑為1），P是⊙O上的任意一點，求PA2+PB2+PC2的值.圖11圖12

4.如圖12，在正方形ABCD外接圓的AD上任取一點P，求證：（PC+PA）∶PB為定值.

參考答案

1.可用面積法，求出OP+OM+ON等于△ABC的高，即OP+OM+ON=3.

2.過點O作OC⊥AB，垂足為點C，則有AC=BC，OP2=OC2+CP2，EP2=AP·PB，

所以O(shè)P2+EP2=OC2+CP2+（AC–CP）（BC+CP）=OC2+CP2+（AC–CP）（AC+CP）=OC2+AC2=OA2=r2.

3.由余弦定理得PB2+PC2+PB·PC=BC2，再由托勒密定理得BC·PA=PB·AC+PC·AB，而AB=BC=AC，所以PA=PB+PC.

所以PA2+PB2+PC2=（PB+PC）2+PB2+PC2=2（PB2+PC2+PB·PC）=2BC2.

而BC=3，所以PA2+PB2+PC2=2BC2=2×（3）2=6.

4.連結(jié)AC，過點A作AE⊥PB，垂足為點E.

因為∠AEB=∠APC=90°，∠ABE=∠ACP，

所以△ABE∽△ACP，所以PAAE=PCBE=ACAB，而∠APB=∠ACB=45°，∠AEP=90°，所以AE=EP.

所以PA+PCAE+BE=PA+PCPE+BE=PA+PCPB=ACAB=2，即（PC+PA）：PB為定值.