“簡單的線性規(guī)劃問題”的八步教學設計

崔靜靜 趙思林

【摘要】數(shù)學技能指學生在學習數(shù)學知識的過程中，通過訓練完成數(shù)學學習任務的一種行動或心智行動方式.數(shù)學技能分為動作技能和心智技能.基于促進數(shù)學技能習得的相關理論，對簡單的線性規(guī)劃問題進行“八步”教學設計：“設”—“列”—“畫”—“化”—“移”—“看”—“求”—“悟”，并說明各步的設計意圖.這樣設計有利于突出重點，突破難點.代數(shù)法、向量法也可作為一般方法解此類問題.

【關鍵詞】技能習得；線性規(guī)劃；“八步”教學設計

2017年9月22日至24日，全國第二屆全日制教育碩士學科教學（數(shù)學）專業(yè)教學技能大賽（決賽）在山東煙臺魯東大學舉行，本次大賽共涉及高中數(shù)學的8個課題，“簡單的線性規(guī)劃問題”是其中一個，該課題選自人教社普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學5（必修）（A版）[1].筆者在賽后寫下了“簡單的線性規(guī)劃問題”的教學設計.

1數(shù)學技能的相關理論的簡述

數(shù)學技能指學生在學習數(shù)學知識的過程中，通過訓練完成數(shù)學學習任務的一種行動或心智行動方式.數(shù)學技能可分為動作技能和心智技能[2].

動作技能指數(shù)學活動中由一系列實際操作以合理、完善的程序構成的操作活動方式.它具有外顯性、客觀性、非簡約性三個基本特點.

心智技能是指借助內(nèi)部言語在大腦中按合理完善的方式自動地進行數(shù)學認知活動方式，它是經(jīng)過后天的學習和訓練而形成的.它具有以下特點：（1）心智技能的作用對象是抽象的數(shù)學概念、命題與表象；（2）心智技能的動作是借助內(nèi)部言語在頭腦內(nèi)部完成的，其他人很難從外部觀測到學習主體的變化情況；（3）簡縮性，即動作成分可以省略、合并、簡化；（4）有時需要借助動作技能加以完成；（5）依附于一定的數(shù)學概念、法則，建立在理解的基礎之上；（6）可通過練習提高技能實施的速度與效率.

中小學課程中的數(shù)學基本技能包括：數(shù)值運算技能、符號操作技能、圖形處理技能、數(shù)據(jù)分析技能、推理論證技能、數(shù)學交流技能等.

2促進數(shù)學技能習得的教學設計

2.1教材分析

2.1.1教學內(nèi)容分析

“簡單的線性規(guī)劃問題”是人教社A版普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學5（必修）第三章《不等式》中第3節(jié)的第二個內(nèi)容.該課題是在學習了不等式的性質(zhì)和“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”之后的一個教學內(nèi)容.因此，“簡單的線性規(guī)劃問題”可看成是“不等式的性質(zhì)”和“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”的應用.顯然，解決“簡單的線性規(guī)劃問題”也必需“直線的方程”等解析幾何知識作基礎.

2.1.2教學目標分析

通過教學，能讓學生從工廠產(chǎn)品的實際問題中建立起數(shù)學模型，在教師啟發(fā)和引導下，學生能利用學過的知識和方法解決這個數(shù)學模型，并由此建構線性規(guī)劃問題、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等系列概念.掌握求解線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解的方法和一般步驟.

2.1.3教學問題診斷分析

線性規(guī)劃問題的求解，需要學生具備一定的數(shù)學心智技能和動作技能才能完成.線性規(guī)劃的教學，學生在最優(yōu)解的求解過程中容易出現(xiàn)“似懂非懂”、“懂而不會”和“眼高手低”的情況.因此，教師可著眼于數(shù)學技能的相關理論及應用，而著手于“八步”教學設計即“設”—“列”—“畫”—“化”—“移”—“看”—“求”—

“悟”.這既有利于學生外化于形的動作技能的練成，又有利于學生內(nèi)化于心的心智技能的形成，從而，真正使學生的數(shù)學心智技能和動作技能得到有效訓練，真正使學生經(jīng)歷求解線性規(guī)劃最優(yōu)解的一般步驟，并掌握其方法、體會其思想.

2.2簡單的線性規(guī)劃問題的“八步”教學設計與簡略說明

基于技能習得理論下簡單線性規(guī)劃問題的“八步”教學設計（或稱“八環(huán)節(jié)”）的流程圖，如圖1.圖1簡單的線性規(guī)劃問題的“八步”教學設計2.2簡單的線性規(guī)劃問題“八步”教學的實施建議與設計意圖分析

依據(jù)促進數(shù)學技能習得的相關理論制定“八步”教學設計，提出了如下實施建議，并對每一步說明設計意圖.

第一步：“設”

學生學習本節(jié)之前已經(jīng)學習了一元二次不等式及其解法，能夠根據(jù)題意列出二元一次不等式組并畫出其表示的平面區(qū)域.

教學設計：某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？

問題1若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？

依據(jù)題意，將重要信息提取到表格中，如圖1.

AB時間（小時）獲利甲/件412萬元乙/件423萬元日生產(chǎn)（限制）16128圖1

此時，設x 、y件，利潤為z 萬元.

【設計意圖】“設”是指依據(jù)題意設出未知元，用字母代替數(shù)，變元x、y代替未知量甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量.把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型，提高學生分析問題、解決問題的能力[3].用代數(shù)方法進行解決，培養(yǎng)了學生的符號操作技能.

第二步：“列”

由上，化簡后列出二元一次不等式組、求利潤的表達式.

教學設計：要求學生獨立完成該步.

x+2y≤8，

x≤4，

y≤3，

x≥0，

y≥0.（1）

z=2x+3y.

列出上面的式子后，教師應趁機引導學生形成、理解相關概念.

1.不等式組（1）x+2y≤8，

x≤4，

y≤3，

x≥0，

y≥0.是對變量x、y的約束條件，這組約束條件是關于x、y的一次不等式，所以又稱為線性約束條件.

2.求最大值的函數(shù)z=2x+3y叫做目標函數(shù)，且它是關于變量x、y的一次解析式，所以又叫做線性目標函數(shù).

3.在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.

4.滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解.由所有可行解組成的集合叫做可行域.

5.使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解.

【設計意圖】考察學生根據(jù)實際需要合理的選擇適當?shù)墓ぞ吆头椒?，列出并化簡已知條件給定的二元一次不等式組，培養(yǎng)了學生的數(shù)值運算技能.這里對教材的安排作了略微的調(diào)整.先對概念進行解讀，再探求最優(yōu)解，符合學生的認知規(guī)律.

第三步：“畫”

圖2教學設計：讓學生自己畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖2，并結(jié)合圖象解讀以上概念，使學生加深對概念的理解.

【設計意圖】要求學生準確地畫出上面二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.作圖是學習數(shù)學知識、解決數(shù)學問題的重要手段，有助于培養(yǎng)學生的圖形處理技能.

第四步：“化”

將目標函數(shù)z=2x+3y畫在平面區(qū)域上是探求最優(yōu)解的突破口.

教學設計：教師引導學生把目標函數(shù)z=2x+3y變形為y=-23x+z3，這是斜率為-23，縱截距為z3的直線.

圖3【設計意圖】數(shù)學抽象的最終結(jié)果是符號化，包括了符號演算能力、表達式的變形和等價轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力、圖像符號能力等.引導學生化目標函數(shù)為直線方程的形式.要求學生熟練地進行字母式的演算和變形，將目標函數(shù)z=2x+3y變形為y=-23x+z3再加以討論，培養(yǎng)學生的符號操作技能.

第五步：“移”

當利潤z從0開始變化時，可以得到一組互相平行的直線，如圖3.

【設計意圖】平移直線方程y=-23x+z3，為下一步“看”建立了直觀形象的思維支柱.

第六步：“看”

看直線y=-23x+z3與可行域有公共點時，在可行域內(nèi)找一點M，使直線經(jīng)過點M時縱截距z3最大.

教師借助幾何畫板演示直線y=-23x+z3在可行域內(nèi)平移.

設計意圖：“看”是指看直線方程與可行域的交點，意圖培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析能力.

第七步：“求”

由上，可知當直線y=-23x+z3經(jīng)過直線x=4與直線x+2y-8=0的交點M（4，2）時，縱截距z3最大.

此時利潤最大值zmax=2×4+3×2=14.

設計意圖：依據(jù)題意求縱截距的最大值或最小值.

第八步：“悟”

感悟線性規(guī)劃問題中蘊含的思想方法，形成求解此類題型的一般方法.

【設計意圖】讓學生對整個解決過程中蘊含的思想方法進行總結(jié)歸納，形成個人知識、思想方法，讓其享受做數(shù)學的樂趣.

3解決線性規(guī)劃問題的其他兩種方法

以上的教學設計是解決線性規(guī)劃問題的常用幾何法，下面再給出兩種一般方法.

代數(shù)法

步驟一：將不等式變?yōu)榉匠蹋瑑蓛陕?lián)立后求其解（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）.步驟二：將所有解帶入目標函數(shù)，得到目標函數(shù)值z1，z2，…zn.步驟三：檢驗.即若z1為所求的最大值，則將（x1，y1）代到線性可行域的不等式驗證，若全部符合，則z1為最值.

向量法

對于目標函數(shù)z=2x+3y，可構造a=（2，3），b=（x，y），則z=a·b.

因為a·b=a·b·cos，

所以z=22+32·b·cos=13·b·cos.

按照向量的幾何意義，b·cos表示b在a上的投影，即當b在a上的投影最大值，z取最大值.由圖3可知，當b=（4，2）時，z取最大值a·b=（2，3）·（4，2）=14.

4結(jié)語

將簡單線性規(guī)劃問題的八步教學設計歸結(jié)為幾何法，其中每一步對學生應該掌握的技能都做了相應的要求，其中“畫”、“移”等是動作技能，“設”、“化”等是心智技能.當然也不能孤立地看待某個過程為動作技能或心智技能，更多的是兩者的結(jié)合，教學的目的也即是實現(xiàn)二者的完美結(jié)合，培養(yǎng)出對社會有價值的實用型人才.

參考文獻

[1]劉紹學，錢珮玲等. 普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學5（必修）（A版） [M]. 北京：人民教育出版社，2007：12.

[2]鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.10：151.

[3]耿永雪，張吉.簡單的線性規(guī)劃問題的教學思考[J].數(shù)學通訊，2002（3）：20.

作者簡介崔靜靜（1993—），女，四川省德昌縣人，碩士研究生，系四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院、內(nèi)江師范學院聯(lián)合招收培養(yǎng)的研究生，主要從事數(shù)學教育研究；

趙思林（1962—），男，四川省巴中市人，教授，碩士生導師，主要從事高考數(shù)學、數(shù)學教育等研究，系本文通訊作者.