淺談中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式記憶運(yùn)用技巧

葛靜

摘 要：中職學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力普遍不高，面對(duì)誘導(dǎo)公式這樣多而復(fù)雜的公式、繁瑣的解題過程、一不小心就出錯(cuò)的情況，學(xué)生基本是抱怨誘導(dǎo)公式好難，談?wù)T導(dǎo)公式色變，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性備受打擊。在遇到學(xué)生的這些狀況后，針對(duì)學(xué)生的解題習(xí)慣、公式是否可以進(jìn)一步歸納進(jìn)行了深思。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；誘導(dǎo)公式；新技巧

一、常規(guī)誘導(dǎo)公式教學(xué)

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式是高等教育出版社出版的中等職業(yè)教育課程改革國家規(guī)劃新教材——《數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)模塊上冊(cè)5.5節(jié)的內(nèi)容。在最開始的教學(xué)中，筆者是根據(jù)書本，借助單位圓，利用兩角終邊的對(duì)稱性找出兩角終邊上對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義推導(dǎo)得出四組誘導(dǎo)公式，如下：

sin（α+k·360°）=sinα sin（-α）=-sinα

cos（α+k·360°）=cosα （一） cos（-α）=cosα （二）

tan（α+k·360°）=tanα tan（-α）=-tanα

sin（180°+α）=-sinα sin（180°-α）=sinα

cos（180°+α）=-cosα （三） cos（180°-α）=-cosα （四）

tan（180°+α）=tanα tan（180°-α）=-tanα

這四組公式可以這樣分析為：將α看成是銳角，則α為第一象限角，-α為第四象限角，180°+α為第三象限角，180°-α為第二象限角；縱觀四組公式發(fā)現(xiàn)變化前后的函數(shù)名稱無變化，就是多了正負(fù)號(hào)，而且還符合三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)的規(guī)律：一全為正，二正弦正，三正切正，四余弦正；因此，給學(xué)生歸納了誘導(dǎo)公式的記憶運(yùn)用技巧：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限。

二、誘導(dǎo)公式運(yùn)用出現(xiàn)的問題

在講完每組公式后，都會(huì)講與公式對(duì)應(yīng)的例題，然后學(xué)生練習(xí)對(duì)應(yīng)的習(xí)題，學(xué)生基本會(huì)做?？墒侨恐v完，歸納完后，問題來了，學(xué)生的錯(cuò)誤率非常高。如：

1.正解sin π=sin（ π+4π）=sin π=sin（ π+π）=-sin π=

- ，學(xué)生往往會(huì)：sin π=sin（ π+5π）=sin π= ，沒有充分理解公式（一）中k·360°化為弧度應(yīng)為2kπ，要運(yùn)用公式（一），π前面系數(shù)必須為偶數(shù)。

2.會(huì)出現(xiàn)類似于：cos（-870°）=cos870°=cos（150°+2×360°）=cos150°=cos（180°-30°）=-cos30°=- 這類復(fù)雜的計(jì)算。

3.學(xué)生還可能會(huì)這樣解：tan（- π）=tan（- π-5π），然后不知道怎么做了。

4.誘導(dǎo)公式除了計(jì)算，還會(huì)用于化簡，如： ，這類化簡若只是按照四組誘導(dǎo)來解，那是非常麻煩的。

三、對(duì)出現(xiàn)的問題進(jìn)行思考

中職學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力普遍不高，面對(duì)這樣多而復(fù)雜的公式、繁瑣的解題過程、一不小心就出錯(cuò)的情況，學(xué)生基本是抱怨誘導(dǎo)公式好難，談?wù)T導(dǎo)公式色變，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性備受打擊。筆者在遇到學(xué)生的這些狀況后，針對(duì)學(xué)生的解題習(xí)慣、公式是否可以進(jìn)一步歸納進(jìn)行了深思。

首先對(duì)四組誘導(dǎo)公式進(jìn)行拓展，具體如下：

sin（α+k·360°）=sin（α+2k·180°）=sinα

cos（α+k·360°）=cos（α+2k·180°）=cosα （一）

tan（α+k·360°）=tan（α+2k·180°）=tanα

sin（-α+k·360°）=sin（-α+2k·180°）=-sinα

cos（-α+k·360°）=cos（-α+2k·180°）=cosα （二）

tan（-α+k·360°）=tan（-α+2k·180°）=-tanα

sin（180°+α）=sin（180°+α+2k·180°）=sin[α+（2k+1）·180°）]=-sinα

cos（180°+α）=cos（180°+α+2k·180°）=cos[α+（2k+1）·180°）]=-cosα

tan（180°+α）=tan（180°+α+2k·180°）=tan[α+（2k+1）·180°）]=tanα（三）

sin（180°-α）=sin（180°-α+2k·180°）=sin[-α+（2k+1）·180°）]=sinα

cos（180°-α）=cos（180°-α+2k·180°）=cos[-α+（2k+1）·180°）]=-cosα

tan（180°-α）=tan（180°-α+2k·180°）=tan[-α+（2k+1）·180°）]=-tanα（四）

這里就可以將角轉(zhuǎn)化的結(jié)果歸納為四類：α+2k·180°、α+（2k+1）·180°、-α+2k·180°、-α+（2k+1）·180°。為了方便表述，筆者將180°轉(zhuǎn)化為弧度π，并將上述四類情況用更通俗的語言表述：α+偶數(shù)π，α+奇數(shù)π，-α+偶數(shù)π，-α+奇數(shù)π。

接著討論四類情況分別是第幾象限角，具體如下：將α看成是銳角，則α為第一象限角。根據(jù)角概念中的旋轉(zhuǎn)概念，終邊若旋轉(zhuǎn)π的偶數(shù)倍，則終邊會(huì)落回原來位置；若旋轉(zhuǎn)π的奇數(shù)倍，則終邊會(huì)落回與原來相反的位置。所以α+偶數(shù)π為第一象限角，α+奇數(shù)π為第三象限角；-α為第四象限角，則-α+偶數(shù)π為第四象限角，-α+奇數(shù)π為第二象限角；如圖所示：

如此歸納后，在做題時(shí)即可先將角轉(zhuǎn)化這里所說的四種情況之一，然后充分運(yùn)用函數(shù)名不變，符號(hào)看象限。

四、新技巧的運(yùn)用

（一）對(duì)“誘導(dǎo)公式運(yùn)用出現(xiàn)的問題”中舉的四道題進(jìn)行解析

1.sin π

解題分析： 不用再考慮商是否為偶數(shù)了， π= π+5π是奇數(shù)α的形式，所以應(yīng)為第三象限角，第三象限正弦為負(fù)，由此，

sin π=sin（ π+5π）=-sin π=-

2.cos（-870°）

解題分析： -870°=30°-5×180°也是α+奇數(shù)π的形式，所以應(yīng)為第三象限角，第三象限余弦為負(fù)，由此，

cos（-870°）=cos（30°-5×180°）=-cos30°=-

3.tan（- π）

解題分析： - π=- π-5π是-α+奇數(shù)π的形式，所以應(yīng)為第二象限角，第二象限正切為負(fù)，由此

tan（- π）=tan（- π-5π）=-tan π=-1

4.

解題分析：α+3π為第三象限角，正弦為負(fù)；α-4π為第一象限角，正切為正；6π-α為第四象限角，余弦為正；-α-3π為第二象限角，正切為負(fù)。所以：

= =tanα

（二）新技巧的運(yùn)用方法為

1.角的轉(zhuǎn)化。角為弧度時(shí)分子除以分母；角為角度時(shí)角除以180°，列出除式，就可將角化為α+偶數(shù)π，α+奇數(shù)π，-α+偶數(shù)π，-α+奇數(shù)π四種情形。

這里需要注意：除式運(yùn)算時(shí)使余數(shù)盡可能變小，使α最好在-90°～90°或- ～ 之間。

2.看角轉(zhuǎn)化后所在的象限，記住圖。

3.直接根據(jù)三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)寫出最終結(jié)果。

五、結(jié)束語

筆者拓展歸納后的誘導(dǎo)公式，中職學(xué)生更容易記憶運(yùn)用，并且在之后的教學(xué)中得到了充分的肯定，大大簡化了解題過程。

參考文獻(xiàn)：

[1]盛媛媛.職業(yè)院校數(shù)學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的課堂教學(xué)策略[J].學(xué)科教學(xué)，2014（03）.

[2]廖佛成.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的三類記憶法[J].考試周刊：數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，2014（31）.

編輯 溫雪蓮