淺談如何更好地講解全概率公式和貝葉斯公式

劉新樂　劉小瓊

【摘要】全概率公式和貝葉斯公式都是概率論中的重要公式之一， 它既是我們講解的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。怎樣講好這一公式， 讓學(xué)生理解得更透徹，掌握的更牢固一直是教師們不斷探討的問題。

【關(guān)鍵詞】劃分 全概率公式 貝葉斯公式

【基金項目】河南理工大學(xué)校青年基金資助項目（72511/082），河南理工大學(xué)校示范教師教改專項資助項目（72307/001）。

【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0140-01

全概率公式和貝葉斯公式是概率論這門學(xué)科中的一個重點(diǎn)知識，而同學(xué)們卻總是對這一部分的知識理解不夠透徹、掌握總是不到位。在多年的教學(xué)實踐中，筆者逐漸摸索出一種便于理解和應(yīng)用的方法，現(xiàn)介紹一下以作切磋：

首先介紹預(yù)備知識：1.概率有限可加性：設(shè)B1，B2，…Bn為兩兩互斥事件組，則有P（B1∪B2∪…∪Bn）=P（B1）+P（B2）+…P（Bn）；2.乘法公式，當(dāng)P（A）>0，或P（B）>0，P（AB）=P（B）P（A|B）=P（A）P（B|A）。

然后從一個引例引出學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣：先看這樣一個問題，有一個箱子，編號為 1，里面有四個白球一個紅球，則從中取出紅球的概率是多少呢？很顯然，根據(jù)古典概型的知識可以知道是五分之一。那如果問題變得復(fù)雜一點(diǎn)，編號為2的箱子里有三個白球兩個紅球，編號為3的箱子里有三個紅球，若某人先選一個箱子之后再從中取出一個球，問最后取出紅球的概率是多少呢？

這個問題的求解可以通過中學(xué)學(xué)過的樹形圖的方法來進(jìn)行解決，引導(dǎo)學(xué)生可以根據(jù)學(xué)過的乘法原理分步驟的思想進(jìn)行計算：取一號箱的情況取到紅球的概率就是三分之一乘以五分之一；取二號箱的情況取到紅球的概率就是三分之一乘以五分之二；取一號箱的情況取到紅球的概率就是三分之一乘以一，把三種情況加在一起就是最后的結(jié)果。這實際上就是樹形圖上“同枝相乘，異枝相加”的思想，放在大學(xué)知識里也就是乘法與加法的一個綜合運(yùn)用。把這種方法提取出來，解題思想上升到一定理論，抽象出一種更普遍的公式用以解決更復(fù)雜的問題，這也就是我們今天要講的全概率公式。

在全概率公式應(yīng)用的過程里，類似于取箱子這樣的事件很重要，那我們就要好好分析這類事件，總結(jié)出它們的性質(zhì)?；剡^頭來還看這個引例，要取球的第一步要取個箱子出來，那如果取一號箱會不會同時取二號箱？那么取二號箱會不會同時取三號箱？不會的，同樣取三號箱的話也不會取到一號箱。也就是說事件B1、B2、B3為兩兩互斥事件組。再看最后取到的紅球要么屬于一號箱，要么屬于二號箱，要么屬于三號箱，還有沒有其他情況呢？沒有了。所以說事件B1、B2、B3包含了所有情況，也就是B1∪B2∪B3=S，而取到紅球（事件A）就是一號箱的紅球或者二號箱的紅球或者三號箱的紅球，也就是事件A總是會伴隨著事件B1、B2、B3中的一個發(fā)生，所以我們稱事件B1、B2、B3為事件A的原因，更嚴(yán)格地我們給出類似于事件B1、B2、B3這樣的事件組的定義，在概率論里我們把他們稱作劃分。這是我們今天要講的第一個主要內(nèi)容，看劃分的定義：

設(shè)S為試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為E的一組事件，若

（i） BiBj=？準(zhǔn)，i≠j，i，j=1，2，…，n；

（ii） B1∪B2∪…∪Bn=S.

則稱B1，B2，…，Bn為樣本空間S的一個劃分。

從劃分對最終事件的影響出發(fā)，結(jié)合化整為零、各個擊破的思想，推導(dǎo)出全概率公式，然后給出全概率公式的定義：

定理：設(shè)試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則

稱上式為全概率公式。

全概率公式是按照事情的發(fā)展順序，針對已知原因求結(jié)果的問題進(jìn)行計算，還有一種類型，是按照事情發(fā)展的逆序，針對已知結(jié)果求原因的問題：例1中某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率？或者問：該球取自哪號箱的可能性最大？再比如某個公司使用責(zé)任承包制，那么出現(xiàn)次品問題應(yīng)該由哪個廠負(fù)責(zé)？這種類型的問題是我們要介紹的貝葉斯公式（逆概率公式）。

定理：設(shè)試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則

稱上式為貝葉斯公式。

下面我們先來看兩個例子：

例1 甲，乙兩文具盒內(nèi)分別有2支藍(lán)色筆和3支黑色筆，現(xiàn)從甲文具盒中任取2支筆放入乙文具盒內(nèi)，然后再從乙文具盒中任取2支筆，求最后取出的2支筆都是黑色的概率。

做這類問題的關(guān)鍵是劃分的選擇，最后用兩個例題說明如何在實際問題中找出劃分的事件組，選擇標(biāo)準(zhǔn)之一是（如例1）根據(jù)實驗的第一步，第二個標(biāo)準(zhǔn)是（如例2）對象的屬性，這樣學(xué)生理解起來就比較簡單，在做題的時候就感覺很容易了。

作者簡介：

劉新樂（1980-），女，河南平頂山人，講師，碩士研究生，從事數(shù)理統(tǒng)計方向研究。