淺談中學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)理解出現(xiàn)的問題及原因

【摘要】初中階段，學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)到幾類函數(shù)的基本概念與應(yīng)用，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，銳角三角函數(shù)等。其中銳角三角函數(shù)是特殊的一種函數(shù)，它不僅要結(jié)合特定的圖形，而且表達(dá)式與其他函數(shù)也不相同。這使得教師在三角函數(shù)概念的教學(xué)上有著一定的難度，而一部分學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)的理解也存在偏頗。本文將從三角函數(shù)概念發(fā)展的過程角度對(duì)初中生三角函數(shù)部分學(xué)習(xí)現(xiàn)狀進(jìn)行分析，并給出出現(xiàn)問題的原因。

【關(guān)鍵詞】銳角三角函數(shù) 對(duì)應(yīng) 現(xiàn)狀及原因

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）01-0150-01

一、函數(shù)概念形成過程中的三角函數(shù)

三角函數(shù)也被稱作圓函數(shù)。在古代研究三角函數(shù)，大都在一個(gè)半徑確定的圓內(nèi)進(jìn)行。當(dāng)時(shí)的三角函數(shù)實(shí)際上是定圓內(nèi)的一些線段長，故稱圓函數(shù)。后來數(shù)學(xué)家雷狄?guī)焖怪匦陆o出了三角函數(shù)的定義，他把三角函數(shù)定義為直角三角形邊長比，建立了三角函數(shù)與角度的直接聯(lián)系，脫離依賴圓弧作法。直到1748年，數(shù)學(xué)家歐拉在《無窮小分析引論》中首次令圓的半徑為1，即置角與單位圓中，從而使正、余弦函數(shù)定義為相應(yīng)的線段與圓半徑之比。

有了以上定義，我們可以看出，三角函數(shù)存在的兩個(gè)變量，一個(gè)是角度，一個(gè)是線段比。當(dāng)自變量角度發(fā)生改變時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的各個(gè)三角函數(shù)值也在改變。但是，很明顯的是，作為自變量的角度，并不參與求解各個(gè)三角函數(shù)值的運(yùn)算。也就是說，某角度的各個(gè)三角函數(shù)值的解答過程，只是相應(yīng)的線段在做比，角度本身沒有參與這種得到結(jié)果的運(yùn)算，這是一種角度與線段比的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

在函數(shù)概念形成的歷史過程中，可以大致分為從“變量說”函數(shù)到“對(duì)應(yīng)說”函數(shù)最后到“集合說”函數(shù)。現(xiàn)今人教版初中數(shù)學(xué)課本對(duì)函數(shù)的定義是“設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量X與Y，如果對(duì)于X的每一個(gè)值，Y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說X是自變量，Y是X的函數(shù)”。這樣的一種定義比較趨近于函數(shù)的“變量說”，而且之后學(xué)生接觸到的一次函數(shù)、正比例函數(shù)等都是典型的用“變量說”來解釋的函數(shù)。然而銳角三角函數(shù)與之不同的就是，它強(qiáng)調(diào)的是兩變量之間的關(guān)系，并不只對(duì)自變量本身進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。因此，站在函數(shù)的高度并結(jié)合初中數(shù)學(xué)課本函數(shù)部分的內(nèi)容來說，銳角三角函數(shù)是函數(shù)“對(duì)應(yīng)說”中很好的例子。

二、銳角三角函數(shù)的概念教學(xué)現(xiàn)狀及原因

在問及初中生函數(shù)有什么特點(diǎn)時(shí)，學(xué)生常常回答函數(shù)有自己解析式、圖像、自變量X、因變量Y以及X可以經(jīng)過運(yùn)算得到Y(jié)等等。這些問題出現(xiàn)的原因是教材中首先采用了一次函數(shù)，反比例函數(shù)等這種用解析式表達(dá)的函數(shù)，因此這種認(rèn)知的同化過程，即不斷的加深深學(xué)生對(duì)函數(shù)有固定解析式且用X、Y表示的印象，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)時(shí)產(chǎn)生了負(fù)遷移。例如學(xué)生會(huì)出現(xiàn)這樣的問題，他們認(rèn)為既然叫銳角三角函數(shù)，為什么跟以前學(xué)的函數(shù)不一樣，沒有X和Y；為什么函數(shù)值的求解要在直角三角形中進(jìn)行；為什么銳角三角函數(shù)有三個(gè)不同的表達(dá)式等等。

出現(xiàn)這些問題的原因，最主要一點(diǎn)上文已提到，銳角三角函數(shù)是函數(shù)“對(duì)應(yīng)說”中很好的例子，而很多教師都沒有這方面的意識(shí)，只是單純的講解銳角三角函數(shù)解析式，三個(gè)函數(shù)值的符號(hào)，沒有把它上升到函數(shù)的高度。因此，學(xué)生出現(xiàn)問題的原因大致如下。

首先，由于數(shù)學(xué)教師沒有這方面的體會(huì)，所以在講解銳角三角函數(shù)時(shí)，很少會(huì)提到“對(duì)應(yīng)”這個(gè)詞，沒有為學(xué)生講明白銳角三角函數(shù)與之前所學(xué)函數(shù)的實(shí)質(zhì)性差別。三角函數(shù)之所以也叫函數(shù)，更為突出的是它體現(xiàn)了函數(shù)的“對(duì)應(yīng)”思想。沒有直接把角度放入表達(dá)式中進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，而是用角所對(duì)應(yīng)邊的比值來表示這個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值。教師若是讓學(xué)生死記硬背銳角三角函數(shù)的三種函數(shù)符號(hào)和計(jì)算方法，學(xué)生自然不會(huì)將三角函數(shù)跟之前所學(xué)函數(shù)有何區(qū)別有何相同進(jìn)行比較聯(lián)系，而會(huì)一直帶著疑問。這樣的教學(xué)對(duì)于中學(xué)生來說，是充滿了心理上的困難。

其次，銳角三角函數(shù)本身的表達(dá)形式也讓學(xué)生現(xiàn)迷惑不已。由于要在直角三角形中用代數(shù)式解決角的問題，所以人為的給出了銳角的三種三角函數(shù)值的符號(hào)?！皊in、cos、tan”這三個(gè)符號(hào)不能體現(xiàn)出銳角三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)性實(shí)質(zhì)，而是讓學(xué)生誤認(rèn)為是它的解析式。心里并沒有思考銳角三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)實(shí)質(zhì)。

總之，銳角三角函數(shù)有其特殊的性質(zhì)，教師在教學(xué)上應(yīng)站在更高的函數(shù)角度為學(xué)生講解。

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作者簡(jiǎn)介：

孫牟昕（1991-），女，漢族，遼寧人，沈陽師范大學(xué)教師專業(yè)發(fā)展學(xué)院在讀碩士研究生，主要研究方向數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。