關(guān)于莫利秩2的連通群的性質(zhì)探討

楊年西

（淮北師范大學(xué) 信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

關(guān)于莫利秩2的連通群的性質(zhì)探討

楊年西

（淮北師范大學(xué) 信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

有限莫利秩的無(wú)限群類似于在代數(shù)閉域上的線性代數(shù)群，已知有限莫利秩的無(wú)限群具有降鏈條件，利用降鏈條件，證明莫利秩2的連通的非可解群包含兩個(gè)連通的莫利秩1的交換群且兩子群交是1；通過(guò)對(duì)2個(gè)群的乘積的莫利秩計(jì)算，證明莫利秩2的連通群是可解群.

可解群；有限莫利秩群；連通群；無(wú)限群

0 引言

莫利秩是1965年由莫利（Morley）定義的，此后數(shù)學(xué)家Cherlin和Zil′ber研究有限莫利秩的代數(shù)結(jié)構(gòu)并做出很大貢獻(xiàn)，提出無(wú)限單群代數(shù)猜想（Cherlin-Zil′ber猜想），是指有限莫利秩的無(wú)限單群是在代數(shù)閉域上的線性代數(shù)群［1-2］.在模型論研究領(lǐng)域，有限莫利秩的群研究的思想和方法部分來(lái)源于有限群，但是有限群的Sylowy理論不能很好在無(wú)限群中應(yīng)用，因?yàn)闊o(wú)限階的元素往往是豐富的，通常不能通過(guò)元素階無(wú)限來(lái)分析群的結(jié)構(gòu)；Borovik在最近15年研究無(wú)限單群代數(shù)猜想，采用有限群的方法把有限莫利秩的群分成4種類型，分別是奇型、偶型、混合型、退化型，并取得很多成果［3-4］.本文主要研究莫利秩2的連通群的可解性和冪零性.

1 預(yù)備知識(shí)

本文采用的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)都是標(biāo)準(zhǔn)的，主要參見(jiàn)文獻(xiàn)［1-2］.依據(jù)文獻(xiàn)［1］，有限莫利秩的群G是指TH(G)是ω-穩(wěn)定的且RM(G)＜ω（TH(G)表示群G所確定完全的理論，RM(G)表示群G的莫利秩）.有限莫利秩的無(wú)限子群具有降鏈條件，也就是指沒(méi)有無(wú)限確定子群滿足降鏈G＞G1＞G2＞….依據(jù)文獻(xiàn)［1］，類似在代數(shù)幾何中的代數(shù)群，群G連通部分（用G0表示）是指群G中最小確定有限指數(shù)的子群.依據(jù)文獻(xiàn)［1-2］，莫利給出幾個(gè)事實(shí)，有限莫利秩的無(wú)限群有無(wú)限確定交換子群.有限莫利秩的無(wú)限群且RM(G)=1，則群G0是無(wú)限交換群.文獻(xiàn)［5］證明,有限莫利秩的群的導(dǎo)群是連通的冪零群.

定義1.1莫利秩（Morley Rank）的定義 假設(shè)M是L語(yǔ)言的模型，是LM的公式，RMM(φ)表示公式在模型M中的莫利秩.歸納定義莫利秩數(shù)量［1］:

1）RMM(φ)≥0當(dāng)且僅當(dāng)φ(M)不是空集；

2）假設(shè)α是極限序數(shù)，RMM(φ)≥α當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意序數(shù)β＜α，滿足RMM(φ)≥β；

3）對(duì)任意序數(shù)α，RMM(φ)≥α+1當(dāng)且僅當(dāng)存在無(wú)限多個(gè)公式滿足ψ1(M),ψ2(M)…是兩兩不交的無(wú)限多個(gè)φ(M)的子集且任意下標(biāo)i，都有ψi(M)≥α.假如φ(M)是空集，規(guī)定RMM(φ)=-1；假如RMM(φ)≥α且RMM(φ)＜α+1，規(guī)定RMM(φ)=α；對(duì)任意序數(shù)α都有RMM(φ)≥α，規(guī)定RMM(φ)=∞.

引理1 設(shè)N?G,N和G N均可解，則G可解.

證明 已知G N可解的，依據(jù)文獻(xiàn)［6］定理4.12，那么存在一個(gè)整數(shù)n，(G/N)(n)=1=G(n)N/N，可推出G(n)?N，由于N可解，同理存在整數(shù)m，(N)(m)=1=G(n+m)=1，即G可解.

引理2 假設(shè)莫利秩2的連通群G包含兩個(gè)莫利秩1的確定的連通子群，兩個(gè)子群分別是子群A和子群B且A?B=1，則G=AB.

證明 A和B都是連通的莫利秩1的群，現(xiàn)在建立映射 f(a×b)=ab，即 f(A×B)=AB,AB?G，因?yàn)锳B是確定的集.假設(shè)a1,a2∈A，b1,b2∈B,a1b1=a2b2，經(jīng)過(guò)變化得：，因?yàn)锳?B=1，推得，結(jié)果a1=a2和b1=b2，所以映射 f(a×b)=ab是單射，由文獻(xiàn)［2］中引理4.18，莫利秩計(jì)算公式RM(A×B)=RM(A)+RM(B)，群A×B的莫利秩是2，推出AB的莫利秩是2，由連通的群G的莫利秩是2，根據(jù)文獻(xiàn)［1］中引理7.2.7，推出G=A·B.

2 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)非可解群G是莫利秩2的連通群，且中心C(G)=1，如果子群A?G是莫利秩1的確定的連通交換群，設(shè)N=N(A)，那么Ag?Ah=1或gh-1∈N.

證明 因?yàn)锳是連通的莫利秩1的交換群，那么可以推出Ag和Ah也是連通莫利秩1的交換群，假設(shè)a≠1∈Ag?Ah，那么Ag∈C(a)和Ah∈C(a).討論C(a)的莫利秩，1）、設(shè)C(a)的莫利秩是2，因?yàn)镃(a)?G，G是莫利秩2的連通群，得到C(a)=G，a≠1屬于G的中心，與前提條件群G的中心是1矛盾；2）、群C(a)的莫利秩是1，因?yàn)锳g∈C(a)和Ah∈C(a)都是莫利秩1的連通群，那么是有限指數(shù)，由于連通部分是唯一的，即Ag=Ah，gh-1∈N.

引理3 假設(shè)非可解群G是莫利秩2的連通群，且中心C(G)=1，那么存在確定的莫利秩1的連通交換子群A?G，B?G且A?B=1.

證明 I、因?yàn)槿我恻c(diǎn)a∈G且a≠1，首先討論確定的群C(a)的莫利秩，1）假設(shè)C(a)是有限的，那么a的共軛類是確定的子集序數(shù)等于指數(shù)[G :C(a)]，因?yàn)镃(a)是有限的，即a的共軛類所確定的子集的莫利秩是2，因?yàn)槿篏是莫利秩2的連通的群，根據(jù)文獻(xiàn)［1］中引理7.2.5，群G的莫利秩是1，可推出C(a)=1，顯然不可能，所以有C(a)是無(wú)限群；2）假設(shè)C(a)是莫利秩2的無(wú)限群，因?yàn)镚是莫利秩2的連通的群，所以C(a)等于G；a≠1屬于G的中心，與前提條件G的中心是1矛盾，即C(a)的莫利秩只能是1.

II、討論存在 A=C(a),B=C(b)，滿足 A?B是有限的，根據(jù)有限莫利秩的群具有降鏈條件，C(G)=1,C(G)=?{C(a)|a∈G}，存在有限個(gè)a1,a2,…,an∈G，滿足C(a1)?C(a2)?…?C(an)=C(G)=1.不妨假設(shè)C(a1)?C(a2)是無(wú)限的確定的群，C(a1)?C(a2)群的莫利秩是1，由連通部分的定義，3個(gè)群具有共同的連通部分，即C0(a1)=C0(a2)=[C(a1)?C(a2)]0，莫利秩1的連通部分是交換群.所以存在a1,ak∈{a1,a2,…,an}且i≠k，滿足C(ai)?C(ak)是有限的.

III、證明C0(ai)=C0(ak)=1,C(ai)?C(ak)是有限的.顯然C(ai)?C(ak)是有限的，C(ai),C(ak)是交換群，假設(shè)b≠1，b∈C0(ai)?C0(ak)，那么C0(ai)?C(b)，C0(ak)?C(b)，可得C0(b)?(C(ak)?C(b))，C0(b)?(C(ai)?C(b))，C0(b)?(C(ak)?C(ai))是無(wú)限的，得到矛盾，假設(shè) 不成立，b≠1即 C0(ai)?C0(ak)=1.取 A=C0(ai), B=C0(ak).

定理2 假設(shè)無(wú)限群G是莫利秩2的連通群且中心C(G)=1，則群G是可解的.

證明 假設(shè)群G是不可解，根據(jù)引理3，可以得到群G存在兩個(gè)確定的莫利秩1的子群A,B?G且A?B=1；再根據(jù)引理2，AB的莫利秩是2，由連通的群G的莫利秩是2，根據(jù)文獻(xiàn)［1］中引理7.2.7，可推出AB=G，同理G=BA，即BA=AB=G，可推出BAB-1=A.可得群A是群G的正規(guī)子群.商群G A是莫利秩1的連通群，商群G A是交換群，商群G A和群A都是可解的，根據(jù)引理1，所以群G是可解的.

定理3 假設(shè)無(wú)限群G是莫利秩2的連通群，則群G是可解的.

1）如果C(G)是無(wú)限的，假設(shè)C(G)的莫利秩是2，因群G是連通的，則C(G)=G，C(G)是交換群，必然G是可解的.假設(shè)C(G)的莫利秩是1，則C(G)和G/C(G)都是交換群且可解的，依據(jù)引理1，可推出群G是可解的.

2）如果C(G)是有限的，那么G/C(G)都是連通的商群且莫利秩是2.根據(jù)文獻(xiàn)［5］引理1，可知C(C/(G))=1.再根據(jù)引理3，G/C(G)是可解的 ，由于C(G)是交換群，根據(jù)引理1，則莫利秩2的連通群G是可解的.

［1］MARKER D.模型論引論［M］.北京：科學(xué)出版社，2007：1-342.

［2］BOROVIK A，NESINA.Groups of finite Morley rank［M］.New York：The Clarendon Press Oxford University Press，1994：1-409.

［3］BURDGES J.Simple groups of finite Morley rank of odd and degenerate type［D］.New Jersey New Brunswick：Rutgers University，2004.

［4］ALTINELl T，BURDGES J，F(xiàn)RECON O.On weyl groups in minima simple groups of finite Morley rank［J］.Israel Journal of Mathematics，2013,197（1）：377-407.

［5］NESIN A.Solvable groups of finite Morley rank［J］.Journal of Algebra，1989,121（1）：26-39.

［6］徐明曜.有限群論（上）［M］.北京：科學(xué)出版社，2001：1-255.

Study on Properties of the Connected Groups of Morley Rank 2

YANG Nianxi
（School of Information,Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

An infinite group of finite Morley rank is analogous to a linear algebraic group in an algebraically closed field.It is known that any infinite group of finite Morley rank satisfies the descending chain condition. According to the descending chain condition，a nonsolvable connected group of Morley rank 2 contains two connected commutative subgroups of Morley rank 1，and their intersection is 1.By calculating Morley rank of the product of two groups，it is proved that a connected group of Morley rank 2 is solvable.

solvable group；group of finite Morley rank；connected group；infinite group

O 142

A

2095-0691（2016）04-0012-03

2016-09-09

安徽高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目（KJ2016A646）

楊年西（1972- ），男，安徽蕪湖人，碩士，講師，研究方向?yàn)槟Ｐ驼?