有關(guān)莫利秩3的壞群的猜想探討

梁娟英，楊年西

(淮北師范大學(xué) 信息學(xué)院，安徽 淮北 235000)

0 引言

數(shù)學(xué)家Gregory Cherlin 和Boris Zil’ber提出無(wú)限單群代數(shù)猜想(或Cherlin-Zil’ber 猜想),指有限莫利秩的無(wú)限單群是在代數(shù)閉域上的線性代數(shù)群[1]；近些年很多學(xué)者為論證這個(gè)猜想，依據(jù)西洛2-子群的性質(zhì)，把有限莫利秩群分成四種類型，分別為衰退型、奇型、偶型、混合型.Cherlin對(duì)莫利秩3的連通群進(jìn)行深入研究，莫利秩3的連通群假設(shè)含有確定的莫利秩2的子群，Cherlin稱它為好群，否則稱為壞群[2]；Cherlin提出一個(gè)很著名的猜想，猜想莫利秩3的連通群的壞群是不存在的，很多學(xué)者對(duì)這個(gè)猜想進(jìn)行了探討，并發(fā)表很多相關(guān)的論文，至今這個(gè)猜想還是沒(méi)有被證明.本文在這些研究成果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討這個(gè)猜想與群論中的Bunside問(wèn)題是否存在關(guān)聯(lián)[3]，也就是二元生成的p群什么條件下是有限群.本文在研究莫利秩3的連通群的壞群性質(zhì)和結(jié)構(gòu)上取得了一些進(jìn)展，證明了無(wú)中心的莫利秩3的壞群是二元生成的群或者是可除群.

1 預(yù)備知識(shí)

本文采用的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的，主要參見(jiàn)文獻(xiàn)[1,2]；有限莫利秩的群G的TH(G)是指群G所確定的完全理論；有限莫利秩的真子群具有降鏈條件[1]，就是指不存在無(wú)限個(gè)確定的真子群Gn，且滿足降鏈G1>G2>G3…；用G0表示連通部分，類似代數(shù)群，連通部分是指群G中最小確定的有限指數(shù)的子群； Cherlin的相關(guān)論文已給出很多的結(jié)論，如有限莫利秩的無(wú)限群有確定的無(wú)限交換子群[2]；有限莫利秩的無(wú)限群且RM(G)=1,則群G0是無(wú)限交換群； Nesin A證明了有限莫利秩的連通群的導(dǎo)群是連通的冪零群[4].本文符號(hào)說(shuō)明C(x)表示群G的中心化子，RM(X)表示集合X的莫利秩的數(shù)量.

1)RMM(φ)≥0當(dāng)且僅當(dāng)φ(M)不是空集；

2) 假設(shè)α是極限序數(shù)，RMM(φ)≥α當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意序數(shù)β<α，滿足RMM(φ)≥β；

假如φ(M)是空集，規(guī)定RMM(φ)=-1；假如RMM(φ)≥α但RMM(φ)<α+1，規(guī)定RMM(φ)=α；對(duì)任意序數(shù)α都有RMM(φ)≥α，規(guī)定RMM(φ)=∞.

定義2[2]一個(gè)不可解的連通的有限莫利秩群G，如果群G的連通的真子群都是冪零的，則稱群G是一個(gè)壞群.

引理1[1]假設(shè)連通群G是莫利秩1的群；則群G是無(wú)限交換群初等p群或是交換可除群.

證明 因?yàn)槟?的連通群G是交換群，對(duì)任意素?cái)?shù)p,Gp={gp:g∈G}是確定的群，因?yàn)槿篏是莫利秩1的連通群，那么Gp群是有限群或者群G=Gp；①對(duì)任意素?cái)?shù)p，假設(shè)群G=Gp，則群G是交換可除群；②存在素?cái)?shù)p，假設(shè)Gp群是有限群，那么Gp={g∈G:gp=1}是無(wú)限的，則群G=Gp，即群G是無(wú)限交換初等p群.

引理2[5]有限生成的可解扭群是有限的.

引理3[6]假設(shè)無(wú)限群G是莫利秩2的連通群，則群G是可解的.

引理4[3]有限p群是冪零群.

引理5[7]設(shè)N?G,N和G/N均可解，則群G可解.

引理6[8]莫利秩3的連通群G是壞群且Z(G)=1，則?x≠1∈G，RM(C(x))=1且C(x)是連通的.

引理7[8]群G是莫利秩3的連通群且Z(G)=1，則?x,y≠1∈G，群CG(x)和群CG(y)在群G中相互共軛或相等，而且G=∪{(CG(x))g,g∈G} .

定義3[2]假設(shè)對(duì)任意一個(gè)元素a∈G，存在一個(gè)元素b∈G，滿足bn=a，那么就稱G群是n-可除群；如果任意正整數(shù)n,G群都是n-可除群，那么就稱G群是可除群.

2 主要結(jié)論

定理1莫利秩3的連通群G是壞群且Z(G)=1，則群G是二元生成群或是可除群.

證明 假設(shè)莫利秩3的連通群是壞群G且Z(G)=1，不妨設(shè)a,b兩元素屬于壞群G且CG(a)≠CG(b)≠G，兩元素生成的群M即M=，根據(jù)引理[6]，那么CG(a)和CG(b)都是莫利秩1的連通群；由引理[1]，那么CG(a)≠G是初等p群或是可除群.下面分兩種情況來(lái)討論：

1)假設(shè)CG(a)≠G是初等p群，由引理[7]CG(b)也是初等p群，現(xiàn)在根據(jù)群M的莫利秩的數(shù)量來(lái)討論群M的性質(zhì)，①假設(shè)群M是莫利秩2的群，群M0是群M的連通的部分，則群M0是群M的莫利秩2的正規(guī)子群，由引理[3]可知群M0是可解群；由群M0是群M的連通的部分，則M/M0是有限p群，由引理[4]可知M/M0是可解的，再由引理[5]可知群M是可解的；②假設(shè)群M是莫利秩1的群，群M0是群M的莫利秩1的正規(guī)子群，則群M0是可解群；由群M0是群M的連通的部分，則M/M0是有限p群，由引理[4]可知M/M0是可解的，再由引理[5]可知群M是可解的.根據(jù)引理[6]，群M的非單位元的元素的階都是p階，則莫利秩1或莫利秩2的群M都是有限生成的可解扭群，再依據(jù)引理[2]有限生成的可解扭群是有限的.即群M是有限p群，那么群M是冪零群，而冪零群的中心存在非單位元的元素c≠1∈Z(M)，因a,b兩元素屬于群M，而元素c是群M的中心，那么a,b∈CG(c)，可得a,b兩元素可交換，即CG(a)=CG(b)，與假設(shè)前提條件CG(a)≠CG(b)≠G是矛盾.所以群M是莫利秩3的群；由于群G是莫利秩3的連通群和M?G,所以M=G.

2)假設(shè)CG(a)≠G是可除群，那么有?g≠1∈G，一定g∈CG(g)，根據(jù)引理[6]，那么CG(a)和CG(g)≠G都是可除群； 因?yàn)镃G(g)≠G是可除群，可知任意給定正整數(shù)存在一個(gè)元素d∈CG(g)?G，滿足dn=g，由可除群的定義，可知G群是可除群.