有限莫利秩4的單壞群的性質(zhì)

梁娟英，楊年西

（淮北師范大學(xué) 信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

數(shù)學(xué)家Cherlin和Zilber在研究有限莫利秩的群的代數(shù)性質(zhì)時(shí)，提出無(wú)限單群代數(shù)猜想（或稱(chēng)Cherlin-Zilber猜想）［1-2］：有限莫利秩的無(wú)限單群是在代數(shù)閉域上的線性代數(shù)群. 通常把有限莫利秩群分成2類(lèi)：好群和壞群. 壞群是指一個(gè)不可解的連通的有限莫利秩群G且任何連通的確定的真子群都是冪零的［3］.Borovik等人對(duì)有限莫利秩的群的西洛2-子群做很多研究［2，4-5］，重要成果有西洛2-子群在有限莫利秩的群中是共軛的［4］，有限莫利秩的群任何一個(gè)對(duì)合的中心化子含有無(wú)限元素的西洛2-子群［5］等. 依據(jù)西洛2-子群的性質(zhì)，把有限莫利秩群分成4種類(lèi)型：衰退型、偶型、奇型、混合型［5］，文獻(xiàn)［6-7］對(duì)有限莫利秩群的奇型、偶型類(lèi)型的結(jié)構(gòu)深入分析，來(lái)證明無(wú)限單群代數(shù)猜想. 凱萊定理［5］通過(guò)把任何群（包括無(wú)限群）都當(dāng)作某個(gè)底層集合的置換群，把所有群都放在同一個(gè)根基上，因此，對(duì)置換群成立的定理對(duì)于一般群也成立. 文獻(xiàn)［8-9］對(duì)群G作用在確定的真子群的左陪集上的2-傳遞和3-傳遞置換群的研究和對(duì)群含有對(duì)合是否有正規(guī)的交換子群進(jìn)行深入的探討，顯然2-傳遞置換群必然含有對(duì)合. 因此文獻(xiàn)［10］對(duì)含有對(duì)合的傳遞置換群是否可裂進(jìn)行探討. 近年來(lái)用置換群的理論研究有限莫利秩的群是活躍的課題. 本文主要通過(guò)研究有限莫利秩4的壞單群G作用在確定的子群左陪集上的傳遞性研究，分析有限莫利秩4的單壞群的結(jié)構(gòu).

1 預(yù)備知識(shí)

本文采用的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)都是標(biāo)準(zhǔn)的. 有限莫利秩的群G是指TH(G)是ω-穩(wěn)定的且RM(G)<ω（注：TH(G)表示群G所確定的完全理論，RM(G)表示群G的莫利秩）［1］；有限莫利秩的無(wú)限子群具有降鏈條件，也就是指沒(méi)有無(wú)限確定子群Gn滿足降鏈G>G1>G2…［2］；類(lèi)似代數(shù)群，群G連通部分（用G0表示）是指群G中最小確定有限指數(shù)的子群［1］. 有關(guān)有限莫利秩的群幾個(gè)事實(shí)：有限莫利秩的無(wú)限群有無(wú)限確定的交換子群［1-2］；有限莫利秩的無(wú)限群且 RM(G)=1，則群G0是無(wú)限交換群［11］；有限莫利秩2的群是可解群［12］；Nesin證明有限莫利秩的連通的可解群的導(dǎo)群是連通的群［13］. 本文符號(hào)說(shuō)明：C(X)表示群G的中心化子，RM(X)表示集合X的莫利秩的數(shù)量；N(A)表示群G子群A的正規(guī)化子.

定義1［2］博雷爾子群是指在有限莫利秩的群G中確定的極大的連通可解子群.

定義2［1］群G含有一個(gè)2階元素通常稱(chēng)它為群G的一個(gè)對(duì)合.

引理1［11］假設(shè)有限莫利秩的單群G是壞群，那么任何博雷爾子群B滿足N(B)=B和群G不含有對(duì)合.

引理2［14］假設(shè)群G作用在確定集合X上傳遞置換群，如果群G作用在確定集合X上是本原置換群且僅當(dāng)對(duì)固定x∈X，元素x的穩(wěn)定子群Gx都是極大的確定子群.

引理3［15］假設(shè)有限莫利秩群G忠實(shí)地作用在確定的強(qiáng)極小集X上且傳遞置換，那么有限莫利秩群G的莫利秩不超過(guò)3.

引理4［2］假設(shè)有限莫利秩的群G作用在集合X上是2-傳遞置換群，如果B=Gx，則 ?g∈G,g?B滿足G=B?BgB且B是極大子群；相反如果群G有個(gè)極大的真子群B，?g∈G,g?B,滿足G=B?BgB，則有限莫利秩的群G作用B的左陪集X上是2-傳遞置換群.

證明因?yàn)槿篏作用集合X上是2-傳遞置換群，?h∈G,h?B，x∈X，(x,gx)與(x,hx)是2個(gè)不同的一對(duì)，根據(jù)2-傳遞置換群的性質(zhì)，知 ?b∈G滿足bx=x且bgx=hx. 又因?yàn)閎x=x，則b∈B，又bgx=hx，那么h-1bg∈B，h∈BgB. 由引理2知,B是極大子群.

相反，如果群G有個(gè)極大的真子群B，?g∈G,g?B滿足G=B?BgB，不妨選擇 (h1B,h2B) 與(g1B,g2B)是任意2個(gè)不同的一對(duì)，因?yàn)锽是極大子群，顯然有限莫利秩的群G作用B的左陪集X上是傳遞置換群. 下面證明2-傳遞置換(h1B,h2B)→(g1B,g2B). 因?yàn)樗詽M足那么是作用在上的一對(duì)置換，h2b1h2-1是作用(h1B,h2B)→(g1B,g2B)上的一對(duì)置換. 同理?b2∈B，g1b2g1-1是作用(g1B,h2B)→(g1B,g2B)上的一對(duì)置換. 從而群G作用B的左陪集X上是2-傳遞置換群.

2 主要結(jié)論及證明

定理1莫利秩4的單壞群G不含有確定的莫利秩3的子群.

證明假設(shè)莫利秩4的單壞群G有確定的莫利秩3的子群M，根據(jù)壞群的定義，子群M是冪零群，又因?yàn)榇_定莫利秩3的連通子群M0是可解子群，由定義1知子群M0是博雷爾子群. 再由引理1知，莫利秩4的單壞群G滿足N(M0)=M0=M. 設(shè)子群M的左陪集X，因?yàn)镽M(X)=RM(G)-RM(M)=1，單群G和子群M都是連通的，所以左陪集X也是連通的，莫利秩1的連通集X是強(qiáng)極小集，又因?yàn)槿篏是單群，從而群G忠實(shí)地作用在集合X上且傳遞置換. 依據(jù)引理3，那么RM(G)≤3，與前提條件RM(G)=4 矛盾，假設(shè)不成立，即證莫利秩4的單壞群G不含有確定的莫利秩3的子群.

定理2莫利秩4的單壞群G，任意確定的真子群的莫利秩數(shù)量不超過(guò)1.

證明由定理1可知，莫利秩4的單壞群不含有確定的莫利秩3的子群，假設(shè)莫利秩有確定莫利秩2的子群M，根據(jù)壞群的定義知，子群M是冪零群，那么確定莫利秩2 的連通子群M0是可解子群. 由定義1可知，子群M0是博雷爾子群，依據(jù)引理有莫利秩4的單壞群G滿足N(M0)=M0=M，對(duì)子群M的左陪集X，有RM(X)=RM(G)-RM(M)=2. 由于單群G和子群M都是連通的，故左陪集X也是連通的.

以下證明關(guān)系G=M?MbM. 設(shè)集合X是子群M的左陪集，X={aM,a∈G} ，?b∈G,b?M，?m1∈M,?m2∈M且m1≠m2，假設(shè)m1bM=m2bM，那么則bMb-1=M,b∈N(M).與前提條件 ?b∈G,b?M矛盾，所以m1bM≠m2bM. 設(shè)集合Xˉ={mbM,m∈M}，因?yàn)橛邢弈?的連通的極大確定的子群M，所以集合也是有限莫利2的連通的集合. 對(duì)?c∈G,c?M，設(shè)集合={mcM,m∈M}，同理集合也是有限莫利秩2 的連通的集合. 顯然集合與集合交集也是有限莫利2 的連通的集合，則?m∈M,滿足cM=m3bM，那么c∈MbM. 這就證明G=M?MbM. 再由引理4可知，群G作用在集合X上是2-傳遞置換群. 因?yàn)?-傳遞置換群G含有對(duì)合，依據(jù)引理1，單壞群不含有對(duì)合，得到矛盾，假設(shè)不成立. 所以莫利秩4的單壞群G也不含有確定的莫利秩2的群，即單壞群G任意確定的真子群的莫利秩數(shù)量不超過(guò)1.