從一道瑕積分題引發(fā)的思考

崔菊連 劉大蓮

【摘 要】本文從一道例題出發(fā)，從多個(gè)角度闡述間斷點(diǎn)、無窮間斷點(diǎn)和瑕點(diǎn)的區(qū)別。

【關(guān)鍵詞】間斷點(diǎn);無窮間斷點(diǎn);瑕點(diǎn)

引言

在瑕積分的教學(xué)過程中，一道例題lnxdx的出現(xiàn)，引發(fā)了學(xué)生們的爭(zhēng)論。

由于講瑕積分之前，我先講了瑕點(diǎn)的定義，并對(duì)照無窮間斷點(diǎn)的特征，得出了結(jié)論：無窮間斷點(diǎn)一定是瑕點(diǎn)。

在給出這個(gè)積分時(shí)，我先讓他們判斷這個(gè)積分是定積分還是瑕積分，得到異口同聲的答復(fù)：瑕積分。原因：x=0是瑕點(diǎn)。理由：f（x）=-∞。

但當(dāng)我給出下面這道選擇題時(shí)，教室里開始沉默。

題：x=0是被積函數(shù)y=lnx的（ ? ）

A.無窮間斷點(diǎn);B.瑕點(diǎn);C.既是瑕點(diǎn)又是無窮間斷點(diǎn);D.都不是

絕大部分同學(xué)選C，有個(gè)別同學(xué)選了B。

選B的學(xué)生提出來一個(gè)問題，x=0不是被積函數(shù)y=lnx的間斷點(diǎn)，怎么可能是無窮間斷點(diǎn)呢？

選C的同學(xué)立刻反對(duì)。怎么不是間斷點(diǎn)呢？函數(shù)y=lnx在點(diǎn)x=0有定義嗎？沒有吧。所以x=0就是間斷點(diǎn)。又因f（x）=-∞，所以x=0是被積函數(shù)y=lnx的無窮間斷點(diǎn)。

為了解決這些問題，本文將針對(duì)間斷點(diǎn)、無窮間斷點(diǎn)、瑕點(diǎn)這幾個(gè)概念，從定義，圖形、例題等方面進(jìn)行闡述。本文使用的定義以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系出版的《高等數(shù)學(xué)》（第六版上冊(cè)）為藍(lán)本。

一、間斷點(diǎn)的理解

1.間斷點(diǎn)的定義

函數(shù)f（x）在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義。如果函數(shù)f（x）有下列三種情形之一：

（1）在x=x0處沒有定義;（2）在x=x0處有定義，但f（x）不存在;（3）在x=x0處有定義，且f（x）存在，但f（x）≠f（x）

則函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處不連續(xù)，而x0稱為函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)，也稱不連續(xù)點(diǎn)。

書上將間斷點(diǎn)分為四種類型：可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn)。

從定義的前提看，f（x）在x0的左右兩邊應(yīng)該都有定義。所以對(duì)于間斷點(diǎn)x0來說，是雙邊定義。沒有函數(shù)在x0處左間斷或右間斷之說。

2.間斷點(diǎn)在圖形上的體現(xiàn)

連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。那么間斷點(diǎn)就是使非連續(xù)函數(shù)的圖形中斷的點(diǎn)。即若x0為函數(shù)f（x）的不連續(xù)點(diǎn)，那么函數(shù)圖形勢(shì)必在點(diǎn)x0處斷開。因而在x0的左右兩邊各有一段曲線。由間斷點(diǎn)的定義，可以畫出間斷點(diǎn)的基本圖形。如圖1和圖2

二、無窮間斷點(diǎn)的理解

無窮間斷點(diǎn)的定義：函數(shù)f（x）在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，且左右極限至少有一個(gè)是∞，即f（x）=∞或f（x）=∞或f（x）=∞至少有一個(gè)成立，則稱x=x0為f（x）的無窮間斷點(diǎn)。

三、無界間斷點(diǎn)（即瑕點(diǎn)）的理解

1.無界間斷點(diǎn)的定義

若函數(shù)f（x）在x0的任何鄰域內(nèi)無界，則稱x0為函數(shù)f（x）的無界間斷點(diǎn)，也稱瑕點(diǎn)。本文后面都只說瑕點(diǎn)。

顯然，若函數(shù)f（x）在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)無界，那么f（x）在包含此鄰域的更大鄰域內(nèi)無界。

2.瑕點(diǎn)的構(gòu)成

成為瑕點(diǎn)的前提是函數(shù)要在此點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)無界，因而很容易知道，可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)不會(huì)是瑕點(diǎn)。那么，哪些點(diǎn)可能是瑕點(diǎn)呢？

情形1 從定義上可知，無窮間斷點(diǎn)一定是瑕點(diǎn)。因?yàn)槿魓0是無窮間斷點(diǎn)，由定義，存在x0的某個(gè)去心鄰域，函數(shù)f（x）在這個(gè)區(qū)域內(nèi)無界，從而f（x）會(huì)在x0的任何鄰域內(nèi)無界，這說明x0為瑕點(diǎn)。

如函數(shù)y=ln|x|，因x=0為無窮間斷點(diǎn)，因而為瑕點(diǎn)。

但是瑕點(diǎn)不一定只有無窮間斷點(diǎn)。

情形2 如前面的函數(shù)y=lnx，x=0不是函數(shù)間斷點(diǎn)，但由于lnx=-∞，可知函數(shù)在右鄰域（0，δ）內(nèi)無界，從而在x=0的任何鄰域內(nèi)無界，于是x=0是函數(shù)的瑕點(diǎn)。

綜上所述，判斷某點(diǎn)是否為給定函數(shù)的瑕點(diǎn)的方法還是根據(jù)定義來判斷函數(shù)是否在此點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)有無界來定。

不過，如果某點(diǎn)x0滿足f（x）=∞或f（x）=∞，那么x0一定是函數(shù)的瑕點(diǎn)。（注意x0不一定是函數(shù)的間斷點(diǎn)）。

四、結(jié)論

回到最開始的積分lnxdx，可知x=0是被積函數(shù)lnx的瑕點(diǎn)，不是無窮間斷點(diǎn)。因而選B的同學(xué)是對(duì)的。

我們要求學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，不是要他們只會(huì)做老師講過的題，得高分，而是希望他們能真正理解數(shù)學(xué)，從而更好的應(yīng)用數(shù)學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版上冊(cè)）[M].高等教育出版社，2011

[2]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)，理工類第四版）[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2014

【作者簡(jiǎn)介】

崔菊連（1972-），女，碩士，籍貫：湖南寧鄉(xiāng)，講師，研究方向：偏微分方程。