整除的常見問題

遼寧省錦州市太和區(qū)高級中學 楊桂軍

一、數(shù)的整除概念、性質

（一）整除的定義

設任意兩個整數(shù)a和b（b≠0），a被b除的余數(shù)為零時（商

為整數(shù)），則稱a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍數(shù)，b叫 a的約數(shù)，記作b|a，如果a被b除所得的余數(shù)不為零，則稱a不能被b整除，或 b不整除a。

（二）數(shù)的整除性質

1.對稱性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)也能被甲數(shù)整除，那么甲、

乙兩數(shù)相等。

記作：a|b,b|a,則a=b。

2.傳遞性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能

被丙數(shù)整除。

記作：若a|b,b|c,則a|c。

3.若兩個數(shù)能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能該自然數(shù)整除。

記作：若a|b,a|c,則a|(b ±c)。

4.幾個數(shù)相乘，若其中有一個因子能被某一個數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。

5.若一個數(shù)能被兩個互質數(shù)中的每一個數(shù)整除，那么這個數(shù)也能分別被這兩個互質數(shù)的積整除。

記作：若a|b,c|b,(a,c)=1,則ac|b。

6.若一個數(shù)能被兩個互質數(shù)的積整除，那么，這個數(shù)也能分別被這兩個互質數(shù)整除。

記作：若ac|b,(a,c)=1,則a|b,c|b。

7.若一個質數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。

8. 若a|b,m≠0,則am|bm。

9.若am|bm,m≠0,則a|b。

10.若c|a，c|b則c|（ma+nb），其中m、n為任意整數(shù)（這一性質還可以推廣到更多項的和）

二、常見數(shù)的整除特征

1.1與0的特性：

1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對于任何整數(shù)a，總有1|a。

0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a≠0,a為整數(shù)，則a|0。

2.若一個整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個數(shù)能被2整除。

3.若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。

4.若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。

5.若一個整數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。

6.若一個整數(shù)能被2和3整除，則這個數(shù)能被6整除。

7.若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2

倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

8.若一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。

9.若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。

10.若一個整數(shù)的末位是0，則這個數(shù)能被10整除。

11.若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則能被11整除。

12.若一個整數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除。

13.若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

三、整除的常見問題

（一）數(shù)與數(shù)的整除問題

1.直接判斷法

例1.判斷47382能否被3整除？

解: 4+7+3+8+2=24 3|24，

∴3|47382。

2.填空整除法

例2.四位數(shù)7a2b能被2，3，5整除，這樣的四位數(shù)有幾個？分別是多少？

解: 要使7a2b能同時被2，3，5整除，則b為零；又要使7a20能被3整除，a必須滿足各位數(shù)字的和7+2+0+a能被3整除，又知a只能取0至9這十個數(shù)字，所以a只可取0，3，6，9。故滿足條件的四位數(shù)有4個，即7020，7320，7620，7920。

3.排列組合法

例3.從0、1、2、4、7五個數(shù)中選出三個組成三位數(shù)，其中能被3整除的有多少個?

解: 三位數(shù)的數(shù)字和字和應被3整除，所以可取的三個數(shù)字分別是：0,1,2； 0,2,4; 0,2,7;1,4,7。

于是有：（2*2*1）*3+3*2*1=18﹝個﹞

4.綜合應用型

例4.試證明由同一數(shù)字組成的三位數(shù)都是37的倍數(shù)。

證明: 設這三位數(shù)為aaa,

則aaa=a×100+a×10+a×1=100a+10a+a=111a

∵37|111,∴37|111a

∴37|aaa

（二）數(shù)與整式的整除問題

此類問題主要考察數(shù)與整式的整除情況,多見與證明題中,常見方法如下。

1.余數(shù)分類法

要 證b|f(n),令n=bq+r,r=0,1,2,…b-1,分別論證當r=i(i=0,1,2…b-1)時成立,最后得出結論。

例5.證明3|n(n+1)(n+2).

證明: 令n=3q+r,r=0,1,2

當r=0時,3|n=q,所以3|n(n+1)(n+2)

當r=1時,n+2=3q+3=3(q+1), 所以3| n+2,所以3|n(n+1)(n+2)

當r=2時,n+1=3q+3=3(q+1), 所以3| n+1,所以3|n(n+1)(n+2)

綜上可知,對任意n都可以有3|n(n+1)(n+2)

2.因式分解法

定理1:如果m為正整數(shù),則有m|n(n+1)…(n+m-1)這個定理可以知道m(xù)|f(n)的證法即是將f(n)=n(n+1)…(n+m-1).n5?5 n3+4n

例6.證明5|

證明:n5?5 n3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

由定理可知,5|(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2),即5|n5?5 n3+4n

3.分析法

要證b|f( n )把分拆成f( n )=a( n )+b( n)然后去證從而得到結論。

例7.證明3|n( n+1 )(2 n+1)

證明: n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n-1)

3|n( n+1 )(n ?1),3|n( n+1 )(n+2)

∴3|n( n+1 )(2n+1)

4.重組法

要證b| f( n ),重組f( n ),使每個式子都能被b整除,得到結論。

例8.若3|a+b+c則3|a3+b3+c3

證明:a3+b3+c3? ( a+b+c )+( a+b+c)=(a-1)a(a-2)+…+(a+b+c)

3|(a-1)a(a+1), 3|(b-1)b(b+1), 3|(c-1)c(c+1),3|(a+b+c)

∴3|a3+b3+c3