試題探究圓錐曲線問題的分類討論

何燕

摘 要：圓錐曲線中的定值問題，一直是高考的熱點問題，在各大市的調(diào)研考試也是?？? 描述高考試卷和相關調(diào)研試卷，不難發(fā)現(xiàn)要求的定值有時是直線斜率，有時是線段的長度，有時跟向量結合，有時又是某個具體的代數(shù)表達式. 但將其歸納分類不外乎幾何量為定值、向量數(shù)量積為定值、代數(shù)表達式為定值等幾類問題.

關鍵詞：圓錐曲線；定值問題；分類討論

定值問題作為圓錐曲線中的一個重點和難點題型，往往出現(xiàn)在圓錐曲線題目的第二問或者第三問. 其實突破這個難點的解題思想就是很簡單的一句話：利用函數(shù)思想，將待求問題直線方程、向量數(shù)量積、比例關系表示成變量的表達式，這個表達式通過化簡變形后，得到一個與變量無關的值，即定值.

在實際的處理定值問題時，學生們遇到的定值問題往往又可以分類成代數(shù)表達式為定值、向量數(shù)量積為定值、幾何量為定值等不同的類型，這或許是掣肘學生們在實際操作中攻克這一難題的重要因素. 因此，有必要對圓錐曲線中定值問題的具體類型做一個明晰的說明.

[?] 代數(shù)表達式為定值

在代數(shù)表達式為定值這一類型的問題中，常常會涉及線段長度或者直線斜率，典型的代數(shù)表達往往有兩線段長度的和或差；兩線段長度的積或商；兩線段長度的平方和或倒數(shù)的平方和以及斜率乘積為定值等等. 如下以宿遷市2015高三第一調(diào)研考試為例.

例1 如圖1，在直角坐標系中，已知橢圓C：+=1，設R（x0，y0）是橢圓上的任意一點，從原點O向圓R：（x-x0）2+（y-y0）2=8作兩條切線，分別交橢圓于P，Q. （1）若直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：2k1k2+1=0；（3）試問OP2+OQ2是否為定值？若是求出定值，若不是說明理由.

解析：此題是一道典型的代數(shù)表達式為定值的問題，而且同時涉及斜率和線段長度的代數(shù)表達式，文章以第三小問為例試闡述這類問題的解決方法. 要求OP2+OQ2為定值即它的值與某個變量無關，那么首要的問題就是確定這一變量，將上述表達式用這一變量表示出來. 通?？山柚邳c的坐標，再證明表達式的值與所設坐標無關. 通過問題二可以發(fā)現(xiàn)無論OP和OQ如何運用，其斜率之積總為-，因此可以從k1或k2入手，找出所設橫縱坐標之間的關系.

反思：將OP2+OQ2轉換成點的問題后，以點在橢圓上，點的坐標滿足橢圓方程為橋梁，構造出目標表達式中的部分內(nèi)容，以整體的方式求出y+y和x+x的值，這是典型的設而不求的方法. 本題亦可以采用交軌法，以OP或OQ的斜率為中間變量，將點P和點Q的坐標用斜率表示出來，再將待求表達式亦用斜率表示，最后化簡成與斜率無關的的值.

[?] 向量數(shù)量積為定值

在向量數(shù)量積為定值的這一類問題中，顯然點是解決問題的橋梁，因為要將解析幾何中將向量數(shù)學積表示出來往往運用的是坐標表達式，而不是定義表達式，故而這類問題亦可轉化成點的問題來解決. 如下以蘇錫常鎮(zhèn)宿五市2015屆高三第一次調(diào)研試卷為例，探究如何通過點來突破向量數(shù)量積為定值.

例2 如圖2，在平面直角坐標系中已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，且經(jīng)過點

1，

，過橢圓的左頂點A作直線l⊥x軸，點M為直線上的動點（點M與點A不重合），點B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于點P.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求證：AP⊥OM；

（3）試問·是否為定值，若是求出定值.

解析：（1）易得橢圓方程：+=1，（2）略.

由于A點坐標為（-2，0），因此可設直線AP的斜率為k，利用交軌法將P點坐標求出來，再以AP⊥OM為橋梁將M點坐標也用k來表示，由此兩點坐標，即可寫出·關于直線AP斜率k的表達式.

反思：這是典型的交軌法解題，這種方法處理起來思路比較清晰，目標比較明確，但有其計算復雜的缺陷；當然也可直接設P點坐標，利用垂直關系將M點坐標也用P點坐標來表示，再化簡，但這種設而不求的方式雖省去了紛繁復雜的計算，但卻因涉及太多的未知數(shù)，而將學生置于思維混亂的狀態(tài).

[?] 幾何量為定值

對幾何量為定值這一類問題，常常會關注到的幾何量包含斜率、線段長度或點到直線的距離等一些內(nèi)容.下面將以蘇錫常鎮(zhèn)四市2014屆高三第二次調(diào)研考試中點到直線距離是定值為例進行簡單的說明.

例3 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+y2=1的左、右焦點分別為F′，F(xiàn)，圓F的方程為：（x-）2+y2=5.

（1）設M為圓F上一點，滿足 ·=1，求點M坐標；

（2）若P為橢圓上任意一點，以P為圓心，OP為半徑的圓P與圓F的公共弦為QT，證明：點F到直線QT的距離FH為定值.

解析：（1）略.

（2）要求點到線的距離為定值，首先需要將點到直線的距離表示出來，從題設出發(fā)，不難發(fā)現(xiàn)點已知，因此問題的關鍵在于將直線方程表示出來. 顯然動直線QT是兩圓公共弦所在直線，故而，交軌法可求出動弦所在直線方程.

設P點坐標為（x0，y0），則動圓P的半徑為r=，則動圓P的標準方程可表示為（x-x0）2+（y-y0）2=r2，記為①式；定圓F的方程為（x-）2+y2=5，記為②式，將①式與②式作差，可得動弦所在直線方程為：（x0-）x+y0y-1=0.

又點P在橢圓上，所以y=1-，因此點F到直線QT的距離FH===2.

反觀上述幾類定值問題的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)無論是幾何量，還是向量數(shù)量積，抑或是代數(shù)表達式，它們一定是與某些點有關，故而點可以作為解決這幾類定值問題的橋梁. 所以，在處理定值問題，通常的處理手段是將待研究的問題轉化成研究曲線上點的問題. 在解決點的問題時常用設而不求法或交軌法. 因此，在處理定值問題時呈現(xiàn)出了兩種不同的方法樣態(tài)：其一，設點但不求出坐標具體值，而是利用點在曲線上，則點的坐標滿足曲線方程這一特性加以處理；抑或者可以利用交軌法，將有關的點看成是兩條曲線的交點，聯(lián)立成方程組，將各坐標求解出來處理. 而兩種方法從思維的難易角度上講，交軌法往往是更為常規(guī)的手段，因為在設點坐標求解時由于引入了過多的參數(shù)，易造成學生思維的混亂；而利用交軌法求解時則是以韋達定理為橋梁，以直線的斜率為中間變量表示各點的坐標或坐標之間的關系，這種處理方式由于參數(shù)的單一性，可以使思維運轉起來條理性更清晰.