基于Bessel權(quán)向量的寬帶波束形成器

錢揚(yáng) 耿軍平 梁仙靈 朱衛(wèi)仁 姚羽 彭政 金榮洪,2

(1.上海交通大學(xué)電子工程系,上海 200240;2.微米/納米加工技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)

基于Bessel權(quán)向量的寬帶波束形成器

錢揚(yáng)1耿軍平1梁仙靈1朱衛(wèi)仁1姚羽1彭政1金榮洪1,2

(1.上海交通大學(xué)電子工程系,上海 200240;2.微米/納米加工技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)

針對均勻線陣接收寬帶信號產(chǎn)生的方向圖畸變問題,提出了一種基于Bessel權(quán)向量的寬帶波束形成器. 從截?cái)嗪蟮腂essel級數(shù)展開式與均勻線陣的方向圖函數(shù)相似的特性出發(fā),推導(dǎo)Bessel級數(shù)的截?cái)辔恢门c陣列單元數(shù)的關(guān)系,并確定使用第一類Bessel函數(shù)設(shè)計(jì)均勻線陣的權(quán)向量. 仿真結(jié)果表明:應(yīng)用Bessel權(quán)向量后,在1～3 GHz頻率范圍內(nèi),均勻線陣可以無失真地接收寬帶信號,不同頻率的方向圖函數(shù)幅值與期望方向圖函數(shù)幅值的相對誤差降低到10-3以下,且單元越多相對誤差越小. 與現(xiàn)有方法相比,本方法直接利用截?cái)嗪蟮腂essel級數(shù)展開式系數(shù)設(shè)計(jì)權(quán)向量,計(jì)算簡單且精度高.

寬帶信號;方向圖畸變;Bessel權(quán)向量;波束形成器;均勻線陣

引 言

近年來,在無線通信、雷達(dá)和聲納等應(yīng)用中[1-4],寬帶信號大量存在,寬帶波束形成器得到了廣泛研究. 研究者提出了多種寬帶波束形成器設(shè)計(jì)方法,常用的有子陣法和權(quán)向量設(shè)計(jì)法. 子陣法[5]是根據(jù)不同的子帶頻率,調(diào)整子陣的陣列間距,得到與理想方向圖近似的輸出,但是隨著帶寬的增大,由于每次都需調(diào)整間距,工程實(shí)現(xiàn)難度大. 權(quán)向量設(shè)計(jì)法[6]則先將寬帶信號分成不同頻率的子帶,對于不同的子帶可以使用不同的加權(quán)系數(shù),使得各子帶的方向圖逼近期望方向圖,此方法設(shè)計(jì)的寬帶波束形成器結(jié)構(gòu)簡單,實(shí)現(xiàn)難度低,但是由于每個(gè)子帶都要計(jì)算加權(quán)系數(shù),故該種方法存在計(jì)算量大和精度難以保證的缺陷. 在目前的權(quán)向量設(shè)計(jì)方法研究中,為了減少算法的計(jì)算量,Yang Y等人[7]提出了一種應(yīng)用于均勻圓環(huán)陣的解析方法,從圓環(huán)陣陣列流形的Bessel級數(shù)展開出發(fā),利用廣義逆求取權(quán)向量; 于紅旗等人[8]也提出了可用于均勻線陣的類似算法,同樣可以形成寬帶恒定方向圖,但這些方法只能保證主瓣范圍內(nèi)方向圖恒定,精度較低. 此外,Yang J等人[9]提出了一種空間重采樣的設(shè)計(jì)方法,只需要一次矩陣求逆就可以實(shí)現(xiàn)寬帶波束形成,但是算法精度不高且工程實(shí)現(xiàn)復(fù)雜. Hossain M S等人[10]提出了一種應(yīng)用于抗干擾的寬帶波束形成器,雖然可以實(shí)現(xiàn)寬帶恒定的多零陷技術(shù),但是算法精度不高,且擴(kuò)展性不強(qiáng). 為了得到高精度的寬帶波束形成器,應(yīng)用數(shù)值優(yōu)化算法較多,Scholnik D P等人[11]提出了一種基于凸函數(shù)優(yōu)化的權(quán)系數(shù)設(shè)計(jì)方法,對于不同頻率,最終都能迭代到所需的權(quán)系數(shù)上,但是算法計(jì)算量較大,對于每個(gè)頻率,都要進(jìn)行迭代計(jì)算,當(dāng)陣列單元數(shù)目較多時(shí),耗時(shí)較長. 綜上,雖然目前已有多種方法可實(shí)現(xiàn)寬帶信號的不失真接收,但都面臨著精度和計(jì)算量的兩難抉擇,且實(shí)現(xiàn)復(fù)雜.

本文針對現(xiàn)有方法的局限性,提出了一種兼顧計(jì)算量的高精度寬帶波束形成器. 該方法從截?cái)嗪驜essel級數(shù)展開式與均勻線陣的方向圖函數(shù)相似的特性出發(fā),直接以截?cái)嗪蟮腂essel級數(shù)展開式的系數(shù)作為權(quán)向量,計(jì)算復(fù)雜度隨陣列單元數(shù)線性變化. 與現(xiàn)有方法相比,該方法計(jì)算簡單且精度高,將有助于提高寬帶波束形成器的工程應(yīng)用價(jià)值.

1 寬帶波束形成器設(shè)計(jì)的問題描述

設(shè)一個(gè)單元數(shù)為N=2M+1的均勻線陣,以中間單元為參考單元,陣元間距為d,信號的入射角度為θ,頻率為f,如圖1所示.

圖1 均勻線陣框圖

均勻線陣的方向圖函數(shù)[12]B(f,θ)為

=W(f)AT(f,θ).

(1)

式中:c0表示光速;W(f)表示均勻線陣的權(quán)向量;A(f,θ)表示均勻線陣的陣列流形.W(f)和A(f,θ)表達(dá)式分別為:

W(f)=[w-M(f),w-(M-1)(f),…,wM(f)];

(2)

A(f,θ)= [e-j2πfMdsin θ/c0,e-j2πf(M-1)dsin θ/c0,…,

ej2πfMdsin θ/c0].

(3)

為實(shí)現(xiàn)均勻線陣的寬帶波束形成,需滿足寬頻帶范圍內(nèi)所有頻點(diǎn)的方向圖函數(shù)的幅值|B(f,θ)|逼近期望方向圖函數(shù)的幅值|B(f0,θ)|,即

|B(f,θ)|=|W(f)AT(f,θ)|?|B(f0,θ)|.

(4)

式中:f∈[fL,fH],fL表示頻率下限,fH表示頻率上限;f0表示期望方向圖頻點(diǎn);θ∈[-π/2,π/2].

由式(4)可以看出,在寬帶波束形成器設(shè)計(jì)中,關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)合適的權(quán)向量W(f),本文將從截?cái)嗪蟮腂essel級數(shù)展開式與均勻線陣的方向圖函數(shù)相似的特性出發(fā),設(shè)計(jì)寬帶波束形成器的權(quán)向量.

2 寬帶波束形成器的設(shè)計(jì)理論及實(shí)現(xiàn)

2.1 寬帶波束形成器的設(shè)計(jì)理論

在Bessel方程的基本理論中,Bessel函數(shù)的母函數(shù)T(z,β)=ejzsin β可進(jìn)行勞倫級數(shù)[13]展開:

(5)

式(5)中,由歐拉公式可知函數(shù)T(z,β)=ejzsin β的幅值恒定為1,即|T(z,β)|=1; Jn(z)為第一類n階Bessel函數(shù),滿足J-n(z)=(-1)nJn(z),不同階數(shù)的Bessel函數(shù)曲線隨著階數(shù)n的增加而向右延伸,如圖2所示.

圖2 第一類Bessel函數(shù)曲線

結(jié)合文獻(xiàn)[7-8]所述,由圖2可知,當(dāng)z確定時(shí),對于任意小的正數(shù)ε,總可以找到一個(gè)常數(shù)nε,使得|n|>nε時(shí),|Jn(z)|<ε恒成立. 因此,根據(jù)所需的精度,可將Bessel級數(shù)展開式T(z,β)在|n|=nε處進(jìn)行截?cái)?用前2nε+1項(xiàng)近似表示,即

(6)

令β=zsinθ、z=2πfd/c0,對截?cái)嗪蟮暮瘮?shù)T(z,β)進(jìn)行相應(yīng)代換可得

=H(f)AT(f,θ).

(7)

式(7)中: 截?cái)嗪蟮腂essel級數(shù)展開式幅值近似恒定為1,即|T(f,θ)|?1;H(f)表示Bessel權(quán)向量,取值為H(f)=[J-nε(z),J-(nε-1)(z),…,Jnε(z)].

對比式(1)和式(7)可知,截?cái)嗪蟮腂essel級數(shù)展開式T(f,θ)可以等效為幅值恒定為1的均勻線陣的方向圖函數(shù),單元數(shù)為N=2nε+1,權(quán)向量為H(f).

2.2 寬帶波束形成器的權(quán)向量設(shè)計(jì)

由于函數(shù)T(f,θ)的幅值恒定為1,所以函數(shù)T(f,θ)與任意函數(shù)相乘不會(huì)改變函數(shù)本身的幅值特性,因此將期望方向圖函數(shù)B(f0,θ)與截?cái)嗪蟮腂essel級數(shù)展開式T(f,θ)相乘可得

B(f0,θ) ?B(f0,θ)T(f,θ)

=B(f0,θ)H(f)AT(f,θ).

(8)

式(8)中,當(dāng)入射角θ和期望方向圖頻點(diǎn)f0確定時(shí),期望方向圖函數(shù)B(f0,θ)是一個(gè)常數(shù),因此基于此特性,本文設(shè)計(jì)的權(quán)向量W(f)的形式如下:

W(f)=B(f0,θ)H(f).

(9)

將W(f)代入式(1)可得B(f,θ)=B(f0,θ)H(f)AT(f,θ),對比可知,B(f,θ)的表達(dá)式與期望方向圖函數(shù)B(f0,θ)的表達(dá)式相同,幅值顯然滿足|B(f,θ)|?|B(f0,θ)|,故使用該權(quán)向量的寬帶波束形成器可以實(shí)現(xiàn)寬帶信號的不失真接收.

均勻線陣會(huì)存在單元數(shù)目為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,因此,權(quán)向量W(f)也存在兩種對應(yīng)的形式. 由式(9)可知,權(quán)向量W(f)的形式由Bessel權(quán)向量H(f)決定,故只需求得Bessel權(quán)向量H(f)即可.

由截?cái)嗪蟮腂essel級數(shù)展開式T(f,θ)可知兩種情況下的Bessel權(quán)向量H(f)為

(10)

由式(10)可知,H(f)和W(f)均為1×N階矩陣,每個(gè)頻點(diǎn)只需計(jì)算N次Bessel函數(shù),計(jì)算量小,可適用于大型陣列. 雖然文獻(xiàn)[7-8]也是從Bessel級數(shù)展開出發(fā),但其權(quán)向量W(f)為N×N階矩陣,計(jì)算量隨陣列單元數(shù)目變大呈平方增加,每個(gè)頻點(diǎn)上需要比本文方法多運(yùn)算(N-1)×N次. 與文獻(xiàn)[9-11]相比,本文方法只需計(jì)算出相應(yīng)的Bessel權(quán)向量的值,無需進(jìn)行迭代運(yùn)算或離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)運(yùn)算,計(jì)算量明顯降低.

2.3 寬帶波束形成器結(jié)構(gòu)

本文設(shè)計(jì)的權(quán)向量W(f)表示為B(f0,θ)與Bessel權(quán)向量H(f)相乘的形式,其中B(f0,θ)是期望方向圖函數(shù)在入射角θ和期望方向圖頻點(diǎn)f0確定時(shí)的函數(shù)值.于是在現(xiàn)有寬帶波束形成器的基礎(chǔ)上,增加了各頻點(diǎn)Bessel權(quán)向量加權(quán)后的方向圖函數(shù)與期望方向圖函數(shù)的相乘運(yùn)算,寬帶波束形成器結(jié)構(gòu)如圖3所示.

圖3中,寬帶信號被陣列單元接收后,使用一組帶通濾波器模塊(Band-PassFilters,BPF)將寬帶信號分解成若干子窄帶信號,子窄帶信號完成Bessel權(quán)向量的加權(quán)后,與期望方向圖函數(shù)相乘,再次使用BPF模塊解調(diào),從而形成各頻點(diǎn)上的陣列方向圖函數(shù),其中期望方向圖頻點(diǎn)采用的是常規(guī)窄帶波束形成方法,最后各路信號合成實(shí)現(xiàn)寬帶波束形成.

圖3 基于Bessel權(quán)向量的寬帶波束形成器結(jié)構(gòu)框圖

3 仿真結(jié)果分析

各頻點(diǎn)方向圖函數(shù)幅值與期望方向圖函數(shù)幅值的相對誤差定義為

=||H(f)AT(f,θ)|-1|.

(11)

本節(jié)通過仿真對比陣列方向圖函數(shù)及相對誤差,分析應(yīng)用本文所提的寬帶波束形成器修正前后的性能差異,并研究陣列單元數(shù)目對該誤差的影響.

1) 修正前后相對誤差的比較

假定均勻線陣由16個(gè)相同的無指向性陣元組成,寬帶信號頻率范圍為f∈[1,3] GHz,以0.1 GHz為間隔將寬帶信號分成21個(gè)子窄帶,選取期望方向圖頻點(diǎn)為f0=2 GHz,期望信號位于0°,陣元的間距為d=c0/2f0. 對本文提出的寬帶波束形成器在該條件下進(jìn)行仿真,具體仿真步驟如下所述:

步驟1: 在期望方向圖頻點(diǎn)處采用常數(shù)權(quán)向量進(jìn)行波束形成,即wn(f0)=1(n=1,2,…,N),得到期望方向圖函數(shù)B(f0,θ).

步驟2: 在每個(gè)子窄帶處采用常數(shù)權(quán)向量進(jìn)行波束形成,即wn(f)=1(f∈[1,3] GHz,n=1,2,…,N),合成得到圖4(a)所示的修正前寬帶陣列3D方向圖.

步驟3: 在每個(gè)子窄帶處重新采用本文方法設(shè)計(jì)的權(quán)向量進(jìn)行波束形成. 首先使用式(10)計(jì)算相應(yīng)頻點(diǎn)的Bessel權(quán)向量H(f),然后由式(7)計(jì)算得到等效方向圖函數(shù)T(f,θ),與期望方向圖函數(shù)B(f0,θ)相乘,接著使用BPF模塊解調(diào)得到該頻點(diǎn)的方向圖函數(shù)B(f,θ),最后將各子窄帶方向圖函數(shù)進(jìn)行合成,得到圖4(b)所示的修正后寬帶陣列3D方向圖.

步驟4: 將圖4(a)和圖4(b)表示的修正前后的方向圖函數(shù)應(yīng)用式(11)分別計(jì)算,得到修正前后方向圖幅值的相對誤差,如圖4(c)和圖4(d)所示.

(a) 修正前寬帶陣列3D方向圖

(b) 修正后寬帶陣列3D方向圖

(c) 修正前方向圖幅值的相對誤差

(d) 修正后方向圖幅值的相對誤差圖4 修正前后寬帶陣列參數(shù)對比

由圖4可見,在寬帶信號頻率范圍內(nèi),方向圖函數(shù)修正后保持恒定,且相對誤差明顯減小,在(-90°,90°]的入射角度范圍內(nèi),最大相對誤差由10降到10-3以下,表明本文所提的寬帶波束形成器對均勻線陣方向圖畸變的修正精度高.

2) 不同陣列單元數(shù)目下的修正效果

假定均勻線陣的陣元數(shù)目在[5,20]范圍內(nèi)變化,其他陣列及信號參數(shù)設(shè)置與上述相同. 控制信號頻率范圍與期望方向圖頻點(diǎn)不變,采用上述的仿真步驟進(jìn)行仿真,得到陣元數(shù)目在[5,20]范圍內(nèi)的修正后方向圖幅值的相對誤差,取其在[-90°,90°]范圍內(nèi)相對誤差的最大值,可以得到圖5所示的方向圖幅值的最大相對誤差隨陣列單元數(shù)目的變化趨勢圖.

圖5 不同陣列單元數(shù)目下修正后的最大相對誤差

從圖5可以看出,隨著陣列單元數(shù)目的上升,最大相對誤差越來越小,當(dāng)陣元數(shù)達(dá)到13后,最大相對誤差降到10-1以下,當(dāng)達(dá)到16單元時(shí),最大相對誤差降到10-3以下,說明本方法隨著陣元數(shù)目的增加,修正效果越來越好.在相同條件下,文獻(xiàn)[7-8]中陣列方向圖函數(shù)幅值的相對誤差小于10-1,而本文中,修正后的陣列方向圖函數(shù)幅值在整個(gè)角度覆蓋范圍內(nèi)的相對誤差小于10-3,計(jì)算精度明顯提高.

綜上,本文所提的寬帶波束形成結(jié)構(gòu)器適用的相對帶寬達(dá)到100%,修正后的寬帶方向圖畸變得到較大改善,當(dāng)陣元數(shù)目增大到16之后,相對誤差降到10-3以下. 基于此特性,可以根據(jù)不同的誤差精度需求,設(shè)計(jì)合適單元數(shù)目的均勻線陣.

4 結(jié) 論

在寬帶通信系統(tǒng)中,均勻線陣接收寬帶信號會(huì)產(chǎn)生方向圖畸變,針對該問題,提出了一種基于Bessel權(quán)向量的寬帶波束形成器. 通過截?cái)郆essel級數(shù)展開式,并利用截?cái)嗪蟮腂essel級數(shù)展開式的系數(shù)設(shè)計(jì)均勻線陣的權(quán)向量,該波束形成器可以在1～3GHz范圍內(nèi)形成恒定方向圖,與期望方向圖函數(shù)幅值的相對誤差小于10-3,精度高. 由于該方法在每個(gè)頻點(diǎn)只需要計(jì)算N次截?cái)嗪蟮腂essel級數(shù)展開式的系數(shù),計(jì)算量小,可適用于單元數(shù)目較多的大型陣列.

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錢揚(yáng) (1991-),男,江蘇人,碩士研究生,主要研究方向?yàn)閷拵ш嚵行盘柼幚?、寬帶波束形成、智能?yōu)化算法等.

耿軍平 (1972-),男,陜西人,副教授,主要研究方向?yàn)殡姶艌隼碚?、電磁?jì)算方法、現(xiàn)代天線技術(shù)、信號處理等.

梁仙靈 (1978-),男,浙江人,副教授,主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代天線理論與技術(shù)、有源相控陣列、DBF陣列等．

朱衛(wèi)仁 (1983-),男,浙江人,特別研究員,主要研究方向?yàn)槿斯る姶懦牧系睦碚摷皩?shí)現(xiàn),基于超材料的天線及射頻器件、表面等離子體激元等.

姚羽 (1992-),男,安徽人,博士研究生,主要研究方向?yàn)殡姶艌隼碚?、渦旋電磁波理論、渦旋波天線及陣列.

彭政 (1993-),男,湖南人,碩士研究生,主要研究方向?yàn)殡姶庞?jì)算方法、介質(zhì)諧振器天線等.

金榮洪 (1963-),男,江蘇人,教授、博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)殡姶艌隼碚摗F(xiàn)代天線技術(shù)、電磁計(jì)算方法、天線信號處理、智能天線及相控陣天線等.

Algorithm of broadband beamformer based on Bessel function

QIAN Yang1GENG Junping1LIANG Xianling1ZHU Weiren1YAO Yu1PENG Zheng1JIN Ronghong1,2

(1.DepartmentofElectronicEngineering,ShanghaiJiaotongUniversity,Shanghai200240,China; 2.NationalKeyLaboratoryofScienceandTechnologyonMicro/NanoFabrication,Shanghai200240,China)

We present a novel broadband beamformer using a Bessel function based weight vector, aiming at solving the pattern distortion of wideband signals received by a uniform linear array. Owing to the similarity of the Bessel series and the pattern function of the uniform linear array, we design an weight vector based on Bessel functions of the first kind by deducing the relationship between the truncated position of Bessel series and the number of array elements. Simulation results show that the uniform linear array with a proper weight vector can receive wideband signal from 1 to 3 GHz with negligible distortions. The relative amplitude error for pattern functions at different frequencies remains below 10-3, and it can be further reduced by increasing the number of the array elements. In comparison with the existing methods, our proposed broadband beamformer directly uses the coefficients of the truncated Bessel series expansions as the weight vector, possesses high precision, and reduces the computational complexity significantly.

broadband signal; pattern distortion; Bessel weights; beamformer; uniform linear array

10.13443/j.cjors.2016102101

2016-10-21

國家自然科學(xué)基金(61571289，6157129，61471240)

TN821

A

1005-0388(2016)06-1093-06

錢揚(yáng), 耿軍平, 梁仙靈, 等. 基于Bessel權(quán)向量的寬帶波束形成器[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào),2016,31(6):1093-1098.

QIAN Y, GENG J P, LIANG X L, et al. Algorithm of broadband beamformer based on Bessel function[J]. Chinese journal of radio science,2016,31(6):1093-1098. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2016102101

聯(lián)系人： 耿軍平 E-mail: gengjunp@sjtu.edu.cn

DOI 10.13443/j.cjors.2016102101