Einstein雙曲幾何流方程Cauchy問題的整體解

朱曉睿

（公安海警學(xué)院 訓(xùn)練部，浙江 寧波 315801）

Einstein雙曲幾何流方程Cauchy問題的整體解

朱曉睿

（公安海警學(xué)院 訓(xùn)練部，浙江 寧波 315801）

本文中我們研究了一類定義在n維黎曼流形上的雙曲幾何流，并證明了小初值情況下的Cauchy問題的光滑解隨時間整體存在。當(dāng)變量t趨向于無窮時，由幾何流方程的解所決定的度量的數(shù)量曲率趨向于0。該結(jié)論表明這類特殊的黎曼度量可以流成平坦度量。換而言之，具有適當(dāng)初始度量的黎曼流形在雙曲幾何流下演化成歐氏空間。

雙曲幾何流；黎曼流形；非線性波動方程；整體解

一、引言

雙曲幾何流最早由劉克峰和孔德興提出[3]，其局部光滑解和非線性平凡解的穩(wěn)定性已被戴文榮、孔德興和劉克峰所證明[1]。雙曲幾何流類比Hamilton提出的Ricci流的概念[2]，是一種新的有效工具用來研究流形的特性、時空中的奇點，以及其他微分幾何和廣義相對論中的問題。雙曲幾何流是一個非線性雙曲偏微分方程系統(tǒng)。該幾何流能幫我們很自然地理解波現(xiàn)象，并且得到關(guān)于Einstein方程許多有趣的結(jié)論。本文對于小初值的雙曲幾何流方程證明了解的整體存在性,并得到當(dāng)t趨于無窮時，度量演化成平坦度量。

Ricci曲率可以由

得到,數(shù)量曲率可以由

得到。

雙曲幾何流方程由下式定義

受到Einstein真空方程的啟發(fā)，孔德興和劉克峰引入了如下的雙曲幾何流方程，我們稱為Einstein雙曲幾何流

本文中，我們研究了具有如下初始度量的Einstein雙曲幾何流的發(fā)展方程

對于某些小初值的假設(shè)，我們證明了方程光滑解的整體存在,并且曲率隨t趨向于無窮時趨于0。這說明了黎曼流形在雙曲幾何流下，當(dāng)t趨向于無窮時趨于平坦流形。

本文由以下幾部分組成。主要定理的敘述和證明在第二節(jié)，關(guān)于問題的擴展在第三節(jié)。

二、主要定理的證明

我們考慮如下Cauchy問題

我們將利用[4]中的結(jié)論來證明主要定理。

定理1 Einstein雙曲幾何流方程

的Cauchy問題對于所有時間t存在整體光滑解。而且由解度量決定的數(shù)量曲率隨時間t趨向于無窮而趨于0。

證明：如果流形與歐氏空間共形，在共形變換下數(shù)量曲率變換公式如下(這里是歐氏度量):

利用以上記號，我們將（2）改寫成

特別的，當(dāng)n＝2時，方程變成

由于方程中不含有耗散項，我們直接討論n＝3的情況。

我們做變換v＝u2，則

再做變換p＝logv，我們有

當(dāng)t＝0，p＝εφ(x)，pt＝εφ(x)時，我們設(shè)＝2ln c，

由Taylor展開，我們有

由[4]中結(jié)論可知，定理成立。

三、關(guān)于定理的一些討論和擴展

與其他廣義相對論中的方程有諸多限制不同，雙曲幾何流不需要附加任何的限制條件。對于雙曲幾何流的Cauchy問題,我們需要兩個初始條件來求解：一個是，另一個是。由于時間軸和其他坐標軸正交，因此這是一個可定系統(tǒng)。這是雙曲幾何流的一類新的主要特征。許多數(shù)學(xué)家致力于一些幾何波方程的Cauchy問題。這類幾何波方程是二階偏微分方程，是積分算子作用在調(diào)和映射上的Euler-Lagrange方程，對所有的時間解都存在。并且可以得到一些有趣的估計。另一方面，雙曲幾何流由流形上的一族黎曼度量決定的Ricci曲率所決定。也就是說，雙曲幾何流具有的內(nèi)蘊幾何結(jié)構(gòu)可以用來描述波算子的度量和曲率。這與調(diào)和映射問題有本質(zhì)上的不同。由于我們可以通過波方程的核來理解熱核，也就是說我們可以通過研究雙曲幾何流來得到關(guān)于Ricci流的一些新的性質(zhì)，尤其是關(guān)于雙曲幾何流的奇點問題。

[1]Wenrong Dai,De-Xing Kong and Kefeng Liu, Hyperbolic geometric flow （I）:short-time existence and nonlinear stability,http://arxiv.org/abs/math/0610256.

[2]R.Hamilton,Three-manifolds with positive Ricci curvature[J].J.DifferentialGeom.17,1982：255-306.

[3]De-Xing Kong and Kefeng Liu,Wave character of metrics and hyperbolic geometric flow,http://www.cms.zju. edu.cn/UploadFiles/AttachFiles/200682885946597.pdf.

[4]Yachun Li,Classicalsolutionsto fully nonlinear wave equations with dissipation[J].Chinese J.Contemp. Math（17）1996：253-268.

The Global Solutions to Cauchy Problem in Einstein Hyperbolic Geometric Flow Equation

ZHU Xiaorui
（China Maritime Police Academy,Ningbo 315801,China）

In thispaper,we study thehyperbolic geometric flow which defined on the ndimensional Riemannian manifold,and proved the global smooth solution of the small initial value of the Cauchy problem.When it goes to the infinity,the scalar curvature determined by the geometric equation goes to 0.This conclusion shows that this special Riemannian metric evolved to the flat metric.In other words,If we choose the properly initial metric for the Riemannian manifold,it will evolve to the Euclidean space.

Hyperbolic geometric flow;Riemannian manifold;nonlinearwave equation;global solution

O175

A

2095-2384（2016）03-0053-03

（責(zé)任編輯 穆 靜）

2016-08-25

本文得到浙江省自然科學(xué)基金項目資助（Q14A010002）。

朱曉睿（1981-），男，浙江寧波人，公安海警學(xué)院訓(xùn)練部副教授、博士，主要從事幾何分析、理論物理等方面的研究工作。