例談轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

范惠惠

(河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 新鄉(xiāng) 453007)

例談轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

范惠惠

(河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 新鄉(xiāng) 453007)

眾所周知，數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著重要的地位，它能使分散的知識(shí)點(diǎn)變得有法可依，有法可循，而數(shù)學(xué)思想的精髓——轉(zhuǎn)化思想，作為數(shù)學(xué)思想的橋梁，能緊密連接很多數(shù)學(xué)思想，所以，學(xué)習(xí)并掌握轉(zhuǎn)化思想對(duì)學(xué)生尤為重要。本文介紹了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想，及影響因素和應(yīng)用，并結(jié)合案例，分析轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。

轉(zhuǎn)化思想;初中數(shù)學(xué);教師

1 初中教學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常見的數(shù)學(xué)思想有分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、方程思想、歸納與類比思想、轉(zhuǎn)化思想等。

1.1 分類思想。分類思想主要是指根據(jù)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的不同點(diǎn)，對(duì)研究對(duì)象特點(diǎn)進(jìn)行不同的考慮。常見本質(zhì)屬性的不同點(diǎn)主要是以下幾點(diǎn)：一、數(shù)學(xué)概念的差異。比如，絕對(duì)值定義、二次方根等；二、分類給出條件，根據(jù)條件的不同進(jìn)行不同的考慮；三、研究對(duì)象性質(zhì)、公式的限制等。所以，作為教師，需要在這些課程中，給學(xué)生滲透分類討論的思想，使他們逐漸形成分類討論的意識(shí)，最終能根據(jù)題目的要求養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣。

1.2 數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)指的是數(shù)字，形指的是圖形，數(shù)學(xué)研究，從根本上而言，就是研究數(shù)字和圖形之間的規(guī)律，將代數(shù)信息和幾何信息相互轉(zhuǎn)換，一方面我們可以把各種數(shù)量關(guān)系用直觀的圖形表現(xiàn)出來，使一些不容易理解的數(shù)學(xué)課程變得生動(dòng)形象，另一方面我們可以用代數(shù)式表示幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系，從而表示出幾何圖形的某些性質(zhì)，最終解決問題。不管哪一個(gè)方面，其本質(zhì)是從轉(zhuǎn)化的角度使數(shù)與形相互協(xié)調(diào)，達(dá)到學(xué)習(xí)的目的。

1.3 函數(shù)思想。在初中階段，函數(shù)的定義是對(duì)于每一個(gè)變量都有唯一的一個(gè)變量與之對(duì)應(yīng)，所以，在初中教學(xué)階段，函數(shù)思想反映的是變量與變量之間的一種對(duì)應(yīng)思想。函數(shù)思想不僅在學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候體現(xiàn),在其他章節(jié)中，我們也常常利用變量代換，將某一變量看做另一個(gè)變量的函數(shù)，從而把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單當(dāng)作某一字母，這樣把事物之間的關(guān)系用特定的函數(shù)表示出來，借助函數(shù)的性質(zhì)解決問題。

1.4 方程思想。從某種程度上講，方程思想是函數(shù)思想的一種定值變形。方程思想是指：設(shè)出未知量，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，用未知量表示已知量，然后建立已知量和未知量之間的等量關(guān)系，從而構(gòu)造已知量與未知量矛盾統(tǒng)一體，最終通過解方程使問題得到解決。所以，方程與函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)化，利用方程或者函數(shù)從已知探索到未知，從陌生轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜?，是解決很多復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的引路燈。

2 轉(zhuǎn)化思想及其影響因素

2.1 轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵其實(shí)主要體現(xiàn)在“轉(zhuǎn)”上，轉(zhuǎn)，即是變換。簡(jiǎn)單的說，通過變換，將未知的，陌生的，復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的，已知的，熟悉的，簡(jiǎn)單的問題。所以說，它幫助我們解決新問題、獲得新知識(shí)，并且很多其它的重要思想方法也是通過化歸思想獲得，比如上面講到的，數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想、方程與函數(shù)思想等。因此，通過轉(zhuǎn)化思想，我們可以更有效地學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)思想，從而掌握數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識(shí)的核心。

2.2 使用轉(zhuǎn)化思想的原則。既然轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起著舉足輕重的作用，那么，教師怎么引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想？怎么樣才能在教學(xué)中體現(xiàn)并引導(dǎo)學(xué)生掌握教學(xué)思想呢？在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多課程之間都是有所聯(lián)系，有規(guī)律可循的，同樣，轉(zhuǎn)化思想也有它本身所具有的特點(diǎn)和適用的原則。

2.2.1 熟悉已知化原則。學(xué)生通過學(xué)習(xí)可以獲得不斷的進(jìn)步，學(xué)習(xí)，就是把“不會(huì)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皶?huì)”，把陌生轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜?。?jiǎn)單來說，就是遇到?jīng)]有接觸過的，陌生的問題時(shí)，嘗試把它轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，同樣地，盡量把沒有學(xué)過的、未知的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的、已知的問題。這樣，通過轉(zhuǎn)化，使學(xué)生能夠充分運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決新出現(xiàn)的問題，加強(qiáng)新舊知識(shí)間的聯(lián)系，而且能夠拓寬學(xué)生解決問題的思路和途徑，開發(fā)其解決問題的潛能。

2.2.2 簡(jiǎn)單化原則。在初中學(xué)習(xí)過程中，很多學(xué)生都會(huì)反映數(shù)學(xué)難學(xué)，那么，“難”字，首當(dāng)其沖，體現(xiàn)在復(fù)雜上。很多數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于初中生來說，確實(shí)比較復(fù)雜，有很大的難度。那么，在教學(xué)過程中，教師就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生把這些復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，或者轉(zhuǎn)化為不簡(jiǎn)單但是規(guī)范的、我們常見的題目，化繁為簡(jiǎn)，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單。

2.2.3 具體原則。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的很多內(nèi)容非常抽象，不容易理解，比如，八年級(jí)下冊(cè)的《函數(shù)》一章中，很多學(xué)生對(duì)函數(shù)的定義理解不清楚，不明白什么是自變量，什么是自變量的函數(shù)，也不清楚什么是點(diǎn)在函數(shù)圖像上，這時(shí)候需要教師盡量把這些抽象的概念化為一些具體的例子進(jìn)行解釋。

3 轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

3.1 數(shù)字與圖形之間的轉(zhuǎn)化，化抽象為形象。勾股定理雖然非?；A(chǔ)，但是在初中數(shù)學(xué)中占據(jù)著非常重要的地位。這個(gè)定理起源于2500多年前，畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)偶然發(fā)現(xiàn)的一種數(shù)量關(guān)系。這個(gè)定理比較貼近人們的生活，所以很多人都熱衷于勾股定理的證明，但是不管采用哪種證明方法，變換圖形，構(gòu)造不同的圖形面積，利用數(shù)形結(jié)合的思想在證明的過程中起著決定性的作用。

3.1.1 畢達(dá)哥拉斯的證法(見圖1)

從圖上就可以看出，畢達(dá)哥拉斯的證明方法比較直觀，簡(jiǎn)單易懂。西方一些學(xué)者認(rèn)為，畢達(dá)哥拉斯是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理并進(jìn)行證明的人，但是，因?yàn)闀r(shí)間太過于久遠(yuǎn)，這種證明方法只是一些學(xué)者按照畢達(dá)哥拉斯的思路，推導(dǎo)出來的證明方法，至于真實(shí)性，還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

3.1.2 趙爽弦圖(圖2)

在初中階段，不規(guī)則圖形面積求解問題主要依靠?jī)煞N方法：分割、拼補(bǔ)，即把要求解的面積分割或拼補(bǔ)成常見的圖形，再利用面積公式即可。趙爽弦圖把這一點(diǎn)體現(xiàn)的淋漓盡致。

趙爽弦圖把數(shù)學(xué)面積的求解方法體現(xiàn)的淋漓盡致，體現(xiàn)了是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的聰明才智，是我們炎黃子孫永遠(yuǎn)的驕傲。

(3)美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德的證法(圖3)

3.2 未知與已知之間的轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉。在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生一般學(xué)習(xí)的都是新知識(shí)，如何做到新舊知識(shí)之間的銜接是一個(gè)重點(diǎn)，也是很多課程的難度。下面以《平行線的判定》為例，展示這位教師在上課的過程中如何體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想。

教師：通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道了平行線的定義和平行公理，怎么判斷平面內(nèi)兩條直線是否平行？

學(xué)生：從定義出發(fā)，看這兩條線是不是相交！

教師：同學(xué)們說的非常好，但是大家想一想，直線具有無限延伸性，所以，在實(shí)際操作中利用定義是不是有一定的難度？有沒有簡(jiǎn)單的方法呢？誰能想起來，在小學(xué)時(shí)，大家是怎么畫平行線的？

學(xué)生上臺(tái)演示

教師：非常好，請(qǐng)同學(xué)們想一下，剛才這個(gè)過程能抽象為我們最近學(xué)習(xí)的什么圖形？假設(shè)直尺所在位置為直線c，與直線a 交點(diǎn)為G,與直線b交點(diǎn)為H，那這個(gè)過程可以抽象為什么圖形？

學(xué)生：三線八角。

教師：在這個(gè)過程中,三角板的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別是哪個(gè)位置？

學(xué)生：∠1和∠5。

教師：那∠1和∠5之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生：相等！

繼而教師又發(fā)問：它們又存在什么樣的位置關(guān)系？對(duì)，同位角，那我們能不能說，剛才在過點(diǎn)P作直線b的平行線直線a時(shí)，首先保證了∠1=∠5，也就是保證了同位角相等之后才推出了兩直線平行，好，我們?cè)撛趺从脭?shù)學(xué)語言敘述這一事實(shí)呢？

學(xué)生：當(dāng)平面內(nèi)兩條直線被第三條直線所截時(shí)，如果同位角相等，那么兩直線平行。

教師：對(duì)于這句話，可以簡(jiǎn)單的說為，同位角相等，兩直線平行。好，剛才我們是利用同位角相等得到兩直線平行，類比這個(gè)結(jié)論，能不能提出這樣的猜想，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行？如果能，該怎么證明？

學(xué)生甲：能，我們可以還以這幅圖為例，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，就是圖中的∠3=∠5，又因?yàn)椤?=∠1，所以我們能得到∠1=∠5，利用剛剛學(xué)過的同位角相等，兩直線平行就得到了直線a平行于直線b。

教師：非常好，在剛才這個(gè)過程中，把其中的內(nèi)錯(cuò)角相等或者同旁內(nèi)角互補(bǔ)先轉(zhuǎn)化為先學(xué)到的同位角相等，也就是把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，這就是一種轉(zhuǎn)化思想。因?yàn)檫@個(gè)是根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角∠3=∠5，通過轉(zhuǎn)化為同位角∠1=∠5，得到直線a∥b，所以，通過轉(zhuǎn)化思想，得到一個(gè)新的判定定理，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行！好，我們下節(jié)課的作業(yè)是，圖中的同旁內(nèi)角具有什么關(guān)系，兩條直線是平行的？

很明顯，我們能夠看到，在這節(jié)課的教學(xué)過程中，兩處細(xì)節(jié)巧妙的體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。第一是把即將要學(xué)的知識(shí)與小學(xué)時(shí)候的平行線畫法和剛學(xué)過的三線八角聯(lián)系到一塊，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；第二是把陌生的“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”轉(zhuǎn)化為熟悉的、學(xué)過的“同位角相等，兩直線平行”，也是把陌生轉(zhuǎn)化為熟悉。所以，把一些陌生的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)過的的問題，可以更好的讓學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)，達(dá)到掌握并且運(yùn)用的目的。

很多事物的發(fā)展都是有規(guī)律可循的，包括數(shù)學(xué)很多章節(jié)的設(shè)置以及數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)課程中的體現(xiàn)。在初中數(shù)學(xué)很多章節(jié)中，轉(zhuǎn)化思想都體現(xiàn)的特別明顯。比如在《一元二次方程組的消元》這一課，學(xué)習(xí)過程中，引導(dǎo)學(xué)生先把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的一元一次方程，減少未知元的個(gè)數(shù)，大大降低了學(xué)習(xí)的難度。

4 小結(jié)

在初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法這一方面學(xué)習(xí)到何種程度給出了直觀的要求。不管是具體的目標(biāo)還是要求，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，鍛煉思維，開拓解決問題的思路和方法，并且在未來的生活中，養(yǎng)成數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣，這才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)。轉(zhuǎn)化思想作為其中數(shù)學(xué)思想的精髓，更需要教師在平時(shí)的課堂中進(jìn)行滲透、教育，才能讓學(xué)生了解、掌握、運(yùn)用。所以，這就需要教師達(dá)到更高的水平，站在更高的角度，新課標(biāo)下的教師不僅僅要傳授課本知識(shí)，并且要根據(jù)課程或者題目具體情況分析問題，深入淺出，引導(dǎo)學(xué)生建立轉(zhuǎn)化思想等一系列重要的思維方法，并且將課堂知識(shí)和生活實(shí)際建立有有效地聯(lián)系，鍛煉、完善學(xué)生的思維方法。

[1] 楊興剛.淺談在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的幾種數(shù)學(xué)思想.快樂閱讀：下旬刊,2012,6.

[2] 劉果.中學(xué)數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用[M].讀寫算(教研版)，2012,7.

[3] 徐勝國(guó).直線與圓中常用的數(shù)學(xué)思想[D].讀寫算：教育教學(xué)研究,2011,10-14.

[4] 張厚璨.心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,1988.

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