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    命制新型不等式試題的幾種方法*
    ——對(duì)不等式sinx<x<tanx,x∈(0,)的再構(gòu)造

    2016-02-27 11:46:30江西省九江第一中學(xué)江民杰
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年11期
    關(guān)鍵詞:新題數(shù)學(xué)試題增函數(shù)

    ☉江西省九江第一中學(xué) 江民杰

    命制新型不等式試題的幾種方法*

    ☉江西省九江第一中學(xué) 江民杰

    函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式屬中學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一,是高考數(shù)學(xué)試題的重點(diǎn)考查對(duì)象,特別是涉及不等式的函數(shù)問(wèn)題,更是重中之重.我們研究此類試題解法的同時(shí),心里總有一個(gè)想法:該不等式是如何構(gòu)造出來(lái)的?即站在全局的高度,研究試題命制的心路歷程,探明試題的來(lái)龍去脈,解密數(shù)學(xué)試題的命題背景,進(jìn)而達(dá)到:能從教材最基礎(chǔ)的概念、定理、公式出發(fā),整合相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及方法,對(duì)概念、定理、公式進(jìn)行提升,進(jìn)而命制較高要求的能力型數(shù)學(xué)試題.限于篇幅,我以不等式“sinx<x<tanx, x∈(0,)”為載體,探討命制新型不等式的方法.

    一、利用不等式自身變形

    分析:f′(x)=cosx-xsinx-acosx=(1-a)cosx-xsinx,

    綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1.

    這種處理及命題技術(shù)在高考試題中經(jīng)常使用,如:

    (2014北京理科18)已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx,x∈

    (Ⅰ)求證:f(x)≤0;

    二、利用兩函數(shù)復(fù)合

    利用兩個(gè)函數(shù)復(fù)合,可以產(chǎn)生新的函數(shù)不等式.

    新題(二)已知a>0,f(x)=x+xcosx-asinx<0在x∈(0,π)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    分析:f(x)=x(1+cosx)-asinx<0在x∈(0,π)上恒成立?0在x∈(0,π)上恒成立.

    又x∈(0,π),則φ(x)>φ(0)=0,符合題意.

    記cosx0=a-1,因?yàn)閏osx在(0,π)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),a-1=cosx0<cosx<1,所以a-1-cosx<0.所以在x∈(0,x)上單調(diào)0遞減.

    所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),φ(x)<φ(0)=0,不符合題意.

    綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥2.

    三、利用積分

    在原不等式兩邊取變上限積分,可以構(gòu)建新的不等式.

    新題(三)(fx)=1-cosx-ax2<0在x∈(0,)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    分析:f′(x)=sinx-2ax,f″(x)=cosx-2a.

    當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),2a=cosx0<cosx<1.

    所以f″(x)=cosx-2a>0.所以f′(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增.

    所以f′(x)>f′(0)=0.所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增.

    所以由x∈(0,x0)知,f(x)>f(0)=0,不符合題意.

    當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)=sinx-2ax>0,所以(fx)在(0,)上單調(diào)遞增.

    四、對(duì)變量進(jìn)行賦值

    通過(guò)對(duì)變量進(jìn)行賦值,累加可以產(chǎn)生數(shù)列型不等式.

    由此可以編擬下列不等式:

    五、利用公切線

    利用兩曲線公共點(diǎn)處存在公切線,結(jié)合圖像,可以構(gòu)建不等式.

    21(fx1)>0.而x∈(0,x)1時(shí),f(′x)連續(xù)且(f0)<0,(fx)1>0.故存在x2∈(0,x1),使得f(′x2)=0.

    此時(shí),由f′(x)的單調(diào)性知,當(dāng)x∈(0,x2]時(shí),f′(x)≤f′(x)2=0,故(fx)在(0,x2]上為減函數(shù).故(fx)<(f0)=0;x∈[x2,x1]時(shí),f′(x)>f′(x2)=0,此時(shí)(fx)為增函數(shù),而x∈[x1,1)時(shí),f′(x)>f′(1)=0,此時(shí)f(x)為增函數(shù),故(fx)在[x2,1)上為增函數(shù),故(fx)<(f1)=0.

    綜上所述,x∈(0,1)時(shí),(fx)<0.

    故f"(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

    六、利用對(duì)稱性

    分析:應(yīng)用幾何畫(huà)板畫(huà)出f(x)=x2-2x+sinx,x∈(-1,1)的圖像,可以發(fā)現(xiàn)其極值點(diǎn)向左偏移,利用對(duì)稱性,進(jìn)而命制下面試題.

    新題(六)(江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2015屆高三聯(lián)考)已知(fx)=x2-2x+sinx,x∈(-1,1),記(fx)的極小值為f(x0).若f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2x0.

    證明:f(x)=x2-2x+sinπ 2x,x∈(0,1),f′(x)=2x-

    令φ(x)=f′(x),x∈(0,1),φ′(x)=2-sin,顯然φ′(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減.

    所以φ(x)在(0,ξ)上單調(diào)遞增,在(ξ,1)上單調(diào)遞減,即f′(x)在(0,ξ)上單調(diào)遞增,在(ξ,1)上單調(diào)遞減.又 f′(0)=-2+<0,f(′1)=0,所以f(′ξ)>0.由f(′x)=0,知0<

    0x0<ξ<1.

    所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,1)上單調(diào)遞增.

    不妨設(shè)x1<x2,由f(x1)=f(x2),則0<x1<x0<x2<1.

    令F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),

    則F′(x)=f′(x0+x)+f′(x0-x)

    又F′(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減,所以F′(x)<F′(0)=

    所以F(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減.所以F(x)<F(0)=0,

    即f(x0+x)<f(x0-x).

    又f(x1)=f(x2)=f[x0-(x0-x2)]<f[x0+(x0-x2)]=f(2x0-x2),

    0<x1<x0,-1<-x2<2x0-x2<x0,

    又f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,且f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,故f(x)在(-1,x0)上單調(diào)遞減.

    所以x1<2x0-x2.所以x1+x2>2x0.

    七、利用割線

    利用割線與曲線的上下位置關(guān)系,可以構(gòu)建不等式.

    【12全國(guó)大綱理20】設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].

    (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅱ)設(shè)f(x)≤1+sinx,求a的取值范圍.

    八、利用距離

    利用兩點(diǎn)間的距離及點(diǎn)到直線的距離可以構(gòu)建不等式.

    g(x)=x+sin2x-,故g(x)表示P(x,sinx),兩點(diǎn)間的距離.其中,P(x,sinx),分別在函數(shù)y=sinx的圖像上,令,故|PQ|的最小值就是的距離.于是可以得到不等式:(x-a)2+

    *本文系江西省教研室重點(diǎn)課題“高考數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)教材關(guān)系研究”的系列成果之一.

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