由裂紋嘴位移確定雙懸臂梁試樣應(yīng)力強(qiáng)度因子的權(quán)函數(shù)解法

童第華， 吳學(xué)仁， 劉建中 中航工業(yè)北京航空材料研究院， 北京 100095

由裂紋嘴位移確定雙懸臂梁試樣應(yīng)力強(qiáng)度因子的權(quán)函數(shù)解法

童第華， 吳學(xué)仁*， 劉建中 中航工業(yè)北京航空材料研究院， 北京 100095

雙懸臂梁(DCB)試樣在材料的損傷容限性能評(píng)價(jià)，特別是應(yīng)力腐蝕開(kāi)裂門檻值(KISCC)測(cè)定中有重要應(yīng)用。由于該試樣幾何的特殊性，一般采用與試樣端部(裂紋嘴)有一定距離的特定位置裂紋面位移加載方式，然而該加載點(diǎn)的位移測(cè)量不但費(fèi)時(shí)而且精度低,位移測(cè)量最方便和準(zhǔn)確的位置是在DCB試樣的裂紋嘴。通過(guò)對(duì)一種參考載荷條件的有限元計(jì)算，應(yīng)用邊緣裂紋的經(jīng)典權(quán)函數(shù)解法，推導(dǎo)出DCB試樣的權(quán)函數(shù)解析解，并與復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的權(quán)函數(shù)解法作了比較驗(yàn)證。在此基礎(chǔ)上根據(jù)特定加載點(diǎn)的位移反算出相應(yīng)位置均布應(yīng)力加載下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，進(jìn)而建立DCB試樣在特定位置的裂紋面位移加載條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋嘴位移之間的關(guān)系式，為采用這種試樣的材料損傷容限性能評(píng)價(jià)，特別是KISCC的高精度自動(dòng)化測(cè)定奠定了基礎(chǔ)。

雙懸臂梁試樣； 權(quán)函數(shù)； 位移加載條件； 應(yīng)力強(qiáng)度因子； 裂紋嘴位移

雙懸臂梁(DCB)試樣(圖1)被廣泛用于材料的損傷容限性能評(píng)價(jià)，特別是應(yīng)力腐蝕開(kāi)裂門檻值(KISCC)的測(cè)定[1-4]，因此需要這種試樣在不同加載情況下的高精度應(yīng)力強(qiáng)度因子解。但文獻(xiàn)中對(duì)于DCB試樣的斷裂力學(xué)分析，尤其是位移加載情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算，鮮有涉及。

國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 15970.6—2007[4]中給出的DCB試樣在位移加載情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式是根據(jù)梁的彈性柔度理論得到的，它適用于中心位于x=d點(diǎn)的螺栓對(duì)裂紋面進(jìn)行位移加載的情況u(a/W,x/W=d/W)，見(jiàn)圖1，其中：W為試樣的特征尺寸，本文中取為試樣寬度；a為裂紋長(zhǎng)度。相比于位于試樣端部的裂紋嘴處的位移u(a/W,x/W=0)，該加載點(diǎn)位移的測(cè)定不但很不方便，而且準(zhǔn)確性差，更難以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化測(cè)量。而裂紋嘴處的位移卻能夠通過(guò)位移規(guī)很準(zhǔn)確地獲得。本文旨在根據(jù)裂紋嘴處的位移u(a/W,x/W=0)確定DCB試樣在裂紋面位移加載條件下的高精度應(yīng)力強(qiáng)度因子，從而為采用這種試樣的材料損傷容限性能評(píng)價(jià)，特別是KISCC的高精度自動(dòng)化測(cè)定提供理論依據(jù)。

圖1 雙懸臂梁(DCB)試樣 (a=l+d)

Fig.1 Double cantilever beam (DCB) specimen (a=l+d)

1 二維裂紋問(wèn)題的權(quán)函數(shù)法

在眾多的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解方法中，權(quán)函數(shù)法[5-9]以其高度的普適性、出色的求解效率、可靠的精度和便于應(yīng)用的特點(diǎn)，在裂紋問(wèn)題的分析中得到了日益廣泛的應(yīng)用。權(quán)函數(shù)一經(jīng)確定，就可用來(lái)不受限制地求解該裂紋體在任意受載條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子。本文根據(jù)Wu(吳學(xué)仁)和Carlsson權(quán)函數(shù)方法[7-8]確定DCB試樣的權(quán)函數(shù)解析表達(dá)式，進(jìn)而利用螺栓中心線處的裂紋面位移或裂紋嘴處的位移求解裂紋面位移加載情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

斷裂力學(xué)的權(quán)函數(shù)理論最早是由Bueckner[5]和Rice[6]提出的，其基本思想是將影響裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的2個(gè)變量——載荷和裂紋體幾何進(jìn)行分離，得到獨(dú)立于載荷情況(僅包含裂紋體幾何信息(包括載荷-位移邊界條件))的權(quán)函數(shù)。Wu和Carlsson系統(tǒng)地給出了各類二維裂紋問(wèn)題權(quán)函數(shù)的解析推導(dǎo)方法[7-8]。

對(duì)于應(yīng)力強(qiáng)度因子，有

(1a)

(1b)

式中：σ(x/W)/σ為假想裂紋處的無(wú)量綱應(yīng)力分布；m(a/W,x/W)為所考慮裂紋體的權(quán)函數(shù)。

裂紋面位移與權(quán)函數(shù)存在如式(2)所示的關(guān)系。

(2)

式中:E′=E(平面應(yīng)力),E′=E/(1-ν2)(平面應(yīng)變)，E為彈性模量，ν為泊松比；f(s/W)見(jiàn)式(1b)，其中s為積分變量。

DCB試樣屬于邊緣裂紋，根據(jù)文獻(xiàn)[7-8]，這類裂紋的權(quán)函數(shù)通式為

(3)

式中：

(4)

(5a)

(5b)

(6a)

(6b)

式中：αi和γi為多項(xiàng)式系數(shù)。

式(3)～式(6)表明，為了得到權(quán)函數(shù)，需要先有一種參考載荷作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子fr和裂紋嘴位移ur的表達(dá)式(式(6))。根據(jù)文獻(xiàn)[7-8]對(duì)邊緣裂紋權(quán)函數(shù)的推導(dǎo)方法，將已知的fr和ur代入式(4)和式(5)，就能確定φ和F1～F4，進(jìn)而確定DCB試樣的權(quán)函數(shù)系數(shù)βi(a/W)。將βi(a/W)代入式(3)，便得到DCB試樣的權(quán)函數(shù)m(a/W,x/W)。本文采用ABAQUS有限元數(shù)值程序[10]求解該試樣在一種參考載荷作用下的高精度應(yīng)力強(qiáng)度因子解fr和裂紋嘴張開(kāi)位移ur，作為擬合式(6)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，詳見(jiàn)第2節(jié)。

2 DCB試樣的寬范圍權(quán)函數(shù)解

針對(duì)雙懸臂梁試樣，利用有限元程序ABAQUS建立不同a/W的有限元模型(試樣寬度W=100 mm，試樣高度h=10 mm)，如圖2所示。裂紋尖端局部網(wǎng)格劃分如圖3所示，裂紋尖端采用退化的1/4節(jié)點(diǎn)奇異元，其他單元采用二次八節(jié)點(diǎn)等參元。加載形式為遠(yuǎn)端均勻應(yīng)力。

ABAQUS有限元計(jì)算可以直接給出應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋嘴張開(kāi)位移。由于權(quán)函數(shù)分析通常采用無(wú)量綱的應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋嘴張開(kāi)位移，在此將ABAQUS有限元結(jié)果轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱形式，如表1所示。

圖2 DCB試樣的有限元模型(由于對(duì)稱性，取一半)

Fig.2 Finite element model of DCB specimen (Because of symmetry, only half of DCB specimen was modelled)

圖3 裂紋尖端局部網(wǎng)格劃分

Fig.3 Finite element mesh of crack tip region

表1 不同裂紋長(zhǎng)度情況下的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋嘴位移(DCB試樣受遠(yuǎn)端均勻應(yīng)力作用)

Table 1 Normalized stress intensity factor and crack mouth displacement (DCB specimen subjected to remote uniform tension)

Normalizedcracklengtha/WNormalizedstressintensityfactorfraW()=K/(σπa)NormalizedcrackmouthdisplacementuraW,xW=0()=E'uaW,xW=0()σa01.121502.90860.011.150582.98760.102.5395310.37750.204.7990036.28630.307.4992588.39830.4010.57192175.62130.5013.97729306.93600.6017.68253491.2717

結(jié)合半無(wú)限大板邊緣裂紋的理論極限值fr=1.121 5和ur=2.908 6,通過(guò)擬合表1中DCB試樣的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子fr和無(wú)量綱裂紋嘴位移ur結(jié)果，即可得到多項(xiàng)式(6a)和式(6b)中的相應(yīng)系數(shù)αi和γi，結(jié)果如下所示：當(dāng)a/W≤0.6時(shí)，αi(i=0～6)=1.102 6, 4.454 1, 103.03, -531.32, 1 271.0, -1 584.3, 789.59；當(dāng)a/W≤0.6時(shí)，γi(i=0～6)=2.900 3, -2.383 5, 624.56, -516.87, 290.29, -1 914.5, 1 611.5。

將以上系數(shù)代入式(6a)和式(6b)，fr和ur擬合得到的曲線與有限元結(jié)果的最大差別為1.7%和0.29%，如圖4所示。將式(6a)和式(6b)代入式(4)和式(5)，即可得到式(3)中DCB試樣的權(quán)函數(shù)系數(shù)βi(a/W)，如表2所示。表2中，a/W=0的權(quán)函數(shù)系數(shù)βi值引自文獻(xiàn)[7]中半無(wú)限大板邊緣裂紋的理論極限值。

圖4 DCB試樣受遠(yuǎn)端均勻應(yīng)力作用下的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子和無(wú)量綱裂紋嘴位移擬合曲線

Fig.4 Fitting curves of normalized stress intensity factor and crack mouth displacement of DCB specimen subjected to remote uniform tension

為了驗(yàn)證本文求得的DCB試樣的解析權(quán)函數(shù)的精度，把所得結(jié)果與文獻(xiàn)中用其他方法確定的權(quán)函數(shù)進(jìn)行了比較。Jing(景致)和Wu(吳學(xué)仁)利用復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)方法(WCTSE)確定了DCB試樣的權(quán)函數(shù)[11]。Fett和Munz[9]也給出了DCB試樣的權(quán)函數(shù)表達(dá)式，如式(7)所示。

表2 通過(guò)Wu和Carlsson權(quán)函數(shù)方法[7-8]確定的DCB試樣權(quán)函數(shù)系數(shù)值

Table 2 Weight function coefficients for DCB specimen based on Wu and Carlsson weight function method[7-8]

a/Wβ1(a/W)β2(a/W)β3(a/W)β4(a/W)β5(a/W)02.00.97881.1101-0.3194-0.10170.012.01.74140.2945-0.1467-0.08400.102.08.86821.58633.6753-1.62910.202.018.114014.5490-1.7245-0.16190.302.028.829125.98790.0722-1.60620.402.039.979043.9685-3.4196-1.33230.502.052.360361.5146-3.0837-2.62650.602.064.788780.51691.0404-5.6676

(7)

確定了DCB試樣的權(quán)函數(shù)后，對(duì)于載荷邊界條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算，可以通過(guò)式(1)一個(gè)簡(jiǎn)單的積分得到。對(duì)于位移邊界條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算，則可以通過(guò)已知的裂紋面位移，對(duì)式(2)進(jìn)行逆運(yùn)算得到，詳見(jiàn)第3節(jié)。

圖5 DCB試樣的3種格林函數(shù)(權(quán)函數(shù))的比較

(a/W=0.1～0.6)

Fig.5 Comparison of three Green’s functions (weight function) for DCB specimen (a/W=0.1-0.6)

3 DCB試樣在點(diǎn)位移加載下的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解

DCB試樣通過(guò)螺栓實(shí)現(xiàn)位移加載(見(jiàn)圖1)，這種加載形式相當(dāng)于裂紋面受區(qū)段均布應(yīng)力σ作用，其作用寬度為螺栓的直徑，應(yīng)力σ的具體數(shù)值則只能通過(guò)位移間接確定。

裂紋面區(qū)段均勻應(yīng)力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子可以寫為[7-8]

(8a)

(8b)

式中：d1和d2見(jiàn)圖1。

在未知區(qū)段均布應(yīng)力值σ的情況下，無(wú)法通過(guò)式(8)確定應(yīng)力強(qiáng)度因子。Wu和Carlsson[7-8]給出了裂紋面區(qū)段均布應(yīng)力作用下的裂紋面位移表達(dá)式為

(9a)

(9b)

將第2節(jié)中通過(guò)Wu和Carlsson權(quán)函數(shù)法確定的權(quán)函數(shù)系數(shù)βi表達(dá)式和裂紋面的位移代入到式(9)中，即可確定裂紋面區(qū)段均布應(yīng)力σ的值。

圖6給出了根據(jù)裂紋面位移和相應(yīng)裂紋幾何的權(quán)函數(shù)確定區(qū)段均布應(yīng)力值和應(yīng)力強(qiáng)度因子的流程圖。該方法是一種普適方法，不僅適用于DCB試樣，也適用于其他各種裂紋幾何。

圖6 利用裂紋面位移確定區(qū)段均布應(yīng)力值σ和應(yīng)力強(qiáng)度因子的流程圖

Fig.6 Flowchart of determination of segment uniform stress σ and stress intensity factor using crack surface displacements

GB/T 15970.6—2007[4]中給出了DCB試樣在螺栓加載情況下根據(jù)加載點(diǎn)位移u求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式為

(10)

為了將權(quán)函數(shù)計(jì)算結(jié)果和式(10)進(jìn)行對(duì)比，這里以d/W處的位移作為已知條件。對(duì)于圖1所示的DCB試樣，取W=100 mm，h=10 mm，d=10 mm，螺栓直徑為7.5 mm，a/W=0.3, 0.4, 0.5, 0.6(與式(10)的適用范圍2≤l/h≤5對(duì)應(yīng))。結(jié)合第2節(jié)中通過(guò)Wu和Carlsson權(quán)函數(shù)法得到的DCB試樣權(quán)函數(shù)和式(9)，得到了區(qū)段均布應(yīng)力值與d/W=0.1處裂紋面位移的關(guān)系，如圖7所示。

將裂紋面區(qū)段均布應(yīng)力值σ和權(quán)函數(shù)表達(dá)式(3)代入式(8)，便能確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位移加載條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子K，結(jié)果如圖8所示。圖8 表明，基于權(quán)函數(shù)法得到的結(jié)果和GB/T 15970.6—2007[4]公式計(jì)算結(jié)果符合良好，最大差別為1.9% (當(dāng)a/W=0.3，即l/h=2)。

圖7 DCB試樣在d/W=0.1處裂紋面位移加載下的無(wú)量綱區(qū)段均布應(yīng)力

Fig.7 Normalized segment uniform stresses when DCB specimen subjected to crack surface displacement loading at location of d/W=0.1

圖8 DCB試樣在d/W=0.1處裂紋面位移加載下的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子

Fig.8 Normalized stress intensity factors when DCB specimen subjected to crack surface displacement loading at location of d/W=0.1

根據(jù)圖8中利用權(quán)函數(shù)計(jì)算得到的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果，擬合了DCB試樣在d/W=0.1處裂紋面位移加載下的應(yīng)力強(qiáng)度因子公式為

(11)

4 由裂紋嘴位移確定DCB試樣在點(diǎn)位移加載下的應(yīng)力強(qiáng)度因子

按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T15970.6—2007[4]，利用DCB試樣測(cè)定材料的應(yīng)力腐蝕開(kāi)裂門檻值(KISCC)，只能通過(guò)測(cè)量裂紋面上d/W處的位移u(a/W,x/W=d/W)，根據(jù)式(10)來(lái)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子。但是裂紋面的位移，除裂紋嘴位置(試樣端部x/W=0)能夠很方便地通過(guò)位移規(guī)準(zhǔn)確測(cè)量外，其他都是很難準(zhǔn)確得到的。本文利用Wu和Carlsson權(quán)函數(shù)法求得DCB試樣的權(quán)函數(shù)，基于裂紋嘴位移即可確定DCB試樣在裂紋面位移加載情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，如圖9所示，這將為試驗(yàn)中的位移加載參數(shù)的準(zhǔn)確測(cè)量帶來(lái)很大方便。根據(jù)權(quán)函數(shù)計(jì)算結(jié)果，擬合得到了高精度的應(yīng)力強(qiáng)度因子公式，如式(12)所示。利用式(12)，就可以根據(jù)位移規(guī)對(duì)裂紋嘴位移的自動(dòng)化精確測(cè)量結(jié)果求得DCB試樣的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

圖9 基于裂紋嘴位移確定DCB試樣在點(diǎn)位移加載下的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子(式(12)與權(quán)函數(shù)解的比較)

Fig.9 Determination of normalized stress intensity factor based on crack mouth displacements for DCB specimen subjected to point displacement loading (Comparison of Eq.(12) and weight function solutions)

(12)

5 結(jié) 論

1) 根據(jù)Wu和Carlsson權(quán)函數(shù)方法，首次給出了雙懸臂梁試樣的寬范圍高精度權(quán)函數(shù)解析表達(dá)式，相應(yīng)的格林函數(shù)得到了Jing和Wu的復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)方法結(jié)果的驗(yàn)證。

2) 根據(jù)DCB試樣的權(quán)函數(shù)和裂紋面任意位置的位移，求解了在特定位置位移加載情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，并與GB/T15970.6—2007的公式作了對(duì)比，計(jì)算結(jié)果符合良好，最大差別為1.9%。

3) 提出了利用裂紋嘴位移反算應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法和DCB試樣在特定位置的裂紋面位移加載條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋嘴位移之間的關(guān)系?？朔嗽趪?guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T15970.6—2007中，利用雙懸臂梁試樣測(cè)定應(yīng)力腐蝕開(kāi)裂門檻值KISCC時(shí)，必須通過(guò)測(cè)量螺栓中心點(diǎn)的裂紋面位移來(lái)求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的弊端，為采用這種試樣的材料損傷容限性能評(píng)價(jià)，特別是KISCC的高精度自動(dòng)化測(cè)定奠定了基礎(chǔ)。

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童第華 男， 博士, 高級(jí)工程師。主要研究方向： 疲勞與斷裂力學(xué)。

Tel: 010-62496725

E-mail: tongdi133@163.com

吳學(xué)仁 男， 博士， 研究員， 博士生導(dǎo)師， 中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司資深首席技術(shù)專家。主要研究方向： 斷裂力學(xué)與疲勞、 損傷容限技術(shù)、 材料的力學(xué)行為。

Tel: 010-62458003

E-mail: xueren.wu@gmail.com

Received： 2015-03-06； Revised： 2015-05-11； Accepted： 2015-05-27； Published online： 2015-06-29 13:49

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150629.1349.001.html

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*Corresponding author. Tel.： 010-62458033 E-mail: xueren.wu@gmail.com

Weight function method of determining double cantilever beam specimen stress intensity factor by crack mouth displacement

TONG Dihua, WU Xueren*, LIU Jianzhong

AVICBeijingInstituteofAeronauticalMaterials,Beijing100095,China

Double cantilever beam (DCB) specimen has important applications in materials’ damage tolerance properties evaluation, especially for experimental determination of the stress corrosion cracking threshold (KISCC). Because of the particular specimen geometry, crack surface displacement loading at a specific position which is a certain distance away from the specimen edge (crack mouth) is commonly used. However, displacement measurement at the loading position is not only time-consuming but also inaccurate. For the DCB specimen, the most convenient and accurate displacement measurement location is at the crack mouth. In this paper, through finite element calculations for a reference load case and by using the classical weight function method for the edge crack geometry, analytical weight function for the DCB specimen is developed. Comparisons and verification have been conducted using the complex variable function Taylor series expansion weight function. Furthermore, from the specific loading point displacement, stress intensity factor for uniform stress loading at the corresponding crack surface location is obtained by inverse calculation. An analytical expression between the stress intensity factor and the crack mouth displacement is derived for DCB specimen subjected to the crack surface displacement loading at specific position. Thus, a solid foundation is laid for the evaluation of materials’ damage tolerance properties using the DCB specimen, especially forKISCCmeasurement automation with high accuracy.

double cantilever beam specimen; weight function; displacement loading condition; stress intensity factor; crack mouth displacement

2015-03-06；退修日期：2015-05-11；錄用日期：2015-05-27； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：

時(shí)間： 2015-06-29 13:49

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10.7527/S1000-6893.2015.0154

V215

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