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    逐步遞進(jìn) 積累經(jīng)驗(yàn)
    ——以“乘法的意義”相關(guān)教學(xué)為例

    2016-02-16 03:01:16吳建芳
    教學(xué)月刊(小學(xué)版) 2016年35期
    關(guān)鍵詞:加數(shù)算式乘法

    □吳建芳

    逐步遞進(jìn) 積累經(jīng)驗(yàn)
    ——以“乘法的意義”相關(guān)教學(xué)為例

    □吳建芳

    乘法是求若干個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算。乘法的意義是乘法知識結(jié)構(gòu)中最基本的概念,其知識的生長點(diǎn)是幾個(gè)相同加數(shù)的和。在解決“1+2+3+4+……+100”“89+90+91+88+92+99+81”類似加法問題中,是可以利用“乘法”來解決的。基于此,教師就可以從“乘法的初步認(rèn)識”“乘法的意義練習(xí)”“等差數(shù)列求和”三個(gè)不同階段逐步遞進(jìn),從而促進(jìn)學(xué)生思維經(jīng)驗(yàn)的積累。

    乘法的意義 思維經(jīng)驗(yàn)

    乘法的意義是乘法知識結(jié)構(gòu)中最基本的概念,其知識的生長點(diǎn)是幾個(gè)相同加數(shù)的和。學(xué)生要解決“1+2+3+4+……+100”“89+90+91+88+92+99+ 81”類似加法問題的時(shí)候,如果積累了足夠多的乘法思維經(jīng)驗(yàn),解決問題就水到渠成了。因此,在有關(guān)“乘法的意義”的相關(guān)教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷乘法的形成過程,體會乘法與加法之間的相互轉(zhuǎn)化,積累相關(guān)的思維經(jīng)驗(yàn)是非常有價(jià)值的。

    一、在豐富的數(shù)學(xué)背景中建立模型

    【片段1】乘法的初步認(rèn)識

    張奠宙教授認(rèn)為:“廣義地講,數(shù)學(xué)中的各種基本概念和基本算法,都可以叫作數(shù)學(xué)模型。”這就是說,乘法也是一種模型,等量組的聚焦模型(幾個(gè)相同加數(shù)的和)是學(xué)生首次接觸乘法概念時(shí)所形成的關(guān)于乘法模型的基本認(rèn)識,這就需要激發(fā)學(xué)生對乘法模型的內(nèi)在認(rèn)知需求,親身經(jīng)歷將思維材料抽象成乘法模型的創(chuàng)造過程。

    人教版二上教材呈現(xiàn)了“游樂園”的主題背景,由三則同質(zhì)材料引出了若干個(gè)相同加數(shù)相加的加法模型,進(jìn)而將加法模型轉(zhuǎn)化成乘法模型。素材是靜態(tài)的,結(jié)論是知之的,缺少了思維的辨析體驗(yàn),這就需要教師改變材料的呈現(xiàn)方式,使學(xué)生經(jīng)歷乘法認(rèn)識“符號化”的過程,引導(dǎo)學(xué)生在不斷反思中逐漸提升對意義的感悟?qū)哟?,進(jìn)而積累思維經(jīng)驗(yàn)。

    1.情境:游樂園小火車(1節(jié)),數(shù)一數(shù)1節(jié)小火車上坐了多少個(gè)小朋友。

    2.提問:3節(jié)這樣的小火車上能坐多少個(gè)小朋友?得出加法算式,明確表示“3個(gè)6”。

    3.拓展:20節(jié)這樣的小火車能坐多少個(gè)小朋友?怎樣列式?當(dāng)學(xué)生看到長長的算式時(shí),自發(fā)提出“有沒有更簡便的寫法”,教師要求他們用自己的方法表示出“20個(gè)6”。

    4.建模:

    (1)呈現(xiàn)學(xué)生創(chuàng)造的不規(guī)范模型:6+6+6+……;6+6+……+6+6等。辨析,提出修改建議。

    (3)呈現(xiàn)學(xué)生創(chuàng)造的簡潔模型:6☆20;……;6×20。由提出“6×20”的學(xué)生介紹乘號、乘法。

    5.比較:

    (1)根據(jù)游樂園的三幅主題圖分別列出加法算式與乘法算式。

    (2)比較兩種算式,有什么相同的地方?有什么不同的地方?

    從上述的教學(xué)過程可以看到,學(xué)生具有“化繁為簡”的思維愿景,當(dāng)他們面對相同加數(shù)個(gè)數(shù)較多的加法模型時(shí),尋找一種簡潔的方式加以替代便成了驅(qū)動(dòng)思維的任務(wù),從不規(guī)范到規(guī)范,從煩瑣到簡潔,思維價(jià)值的逐漸提升伴隨了乘法模型的逐漸完善?!靶』疖嚒钡乃季S材料讓學(xué)生首次感知了乘法的簡潔性,后續(xù)三則思維材料的比較,為學(xué)生揭示了加法、乘法兩種模型之間的關(guān)聯(lián),即若干個(gè)相同加數(shù)相加,可以用相同的加數(shù)去乘個(gè)數(shù),這就是等量組聚焦模型的本質(zhì)。學(xué)生在經(jīng)歷了上述“感知—完善—比較—抽象”的過程中,不僅初步感知了乘法的意義,而且在經(jīng)歷抽象歸納的活動(dòng)過程中積累了思維經(jīng)驗(yàn)。

    二、在乘加的相互轉(zhuǎn)化中學(xué)會互譯

    【片段2】乘法的意義練習(xí)

    類似于“a+a+a+a=a×4”的形式,只是等量組聚焦模型中的基本類型,但是對于很多拓展類型進(jìn)行感知,既能深化對原有加法模型的理解,學(xué)會乘法加法的互譯,積累相關(guān)的思維經(jīng)驗(yàn)。所以有必要在后續(xù)的練習(xí)中安排拓展類型的學(xué)習(xí),使學(xué)生的思維經(jīng)歷由一般到特殊的過程,初步積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)。

    1.算式“5+5+5+5”還可以改寫成怎樣的形式?

    2.在算式后面添加上1個(gè)10,即“5+5+5+5+ 10”。

    (1)用其他的方法把這道算式記錄下來。

    (2)呈現(xiàn)學(xué)生的記錄形式:5×6,10×3,交流意義。

    3.3+3+3+3+5能直接改成一道乘法算式嗎?為什么不行?

    反饋:3×5+2或3×6-1用畫圖表示你的想法。

    4.下面的算式中,有哪些算式能改寫成一道乘法算式?具體怎樣改?

    3×2+3+3+3 3+4+5+6+7

    上面的過程沒有依附于具體情境,通過思維材料中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)、呈現(xiàn)方式的更改,讓學(xué)生在頭腦中進(jìn)行判斷與推理,進(jìn)而引導(dǎo)思維逐漸趨于理性。前面三則材料的呈現(xiàn),使學(xué)生首次感知了“乘加”形式,完善了運(yùn)算的知識結(jié)構(gòu),也使他們經(jīng)歷了一次合情推理,即乘加算式是不能改寫成一步計(jì)算的乘法算式,這是一種合情的猜想,材料4承載著驗(yàn)證與質(zhì)疑的功效,幫助學(xué)生積累了更多的感性材料,不僅有利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S活動(dòng)習(xí)慣,更在探究過程中留下了理性思維的痕跡,積累了理性思維的經(jīng)驗(yàn)。

    三、在數(shù)列的求和運(yùn)算中提升經(jīng)驗(yàn)

    【片段3】等差數(shù)列求和片段

    在加法模型中,有一類特殊的等差數(shù)列求和的模型,如1+2+3+……+n,這是小學(xué)階段較為常見的求和模式,該加法模型可以通過兩兩配對、移多補(bǔ)少的形式轉(zhuǎn)化成乘法的等量組聚焦模型。教材中并沒有專門編排此類模型的教學(xué),但常以拓展練習(xí)的形式出現(xiàn)在作業(yè)中,可見其思維訓(xùn)練的價(jià)值所在。筆者以為,可以借助數(shù)形結(jié)合的方式,幫助學(xué)生順利地實(shí)現(xiàn)此種加法模型與乘法模型的轉(zhuǎn)換,以進(jìn)一步完善加法、乘法的認(rèn)識結(jié)構(gòu),獲得新的思維體驗(yàn)。

    1.研究:一共用了多少個(gè)這樣的小正方形?

    (1)結(jié)合圖形計(jì)算:1+2+3+ 4+5+6。

    (2)反饋方法:

    ①首尾配對

    ②顛倒配對

    (3)梳理對比:你喜歡哪種方法?為什么?

    歸納相同點(diǎn):實(shí)質(zhì)上是把求一串有規(guī)律的數(shù)的和的連加問題變?yōu)槌朔ā?/p>

    2.練習(xí):計(jì)算1+2+3+4+5+6+7(在前兩種方法的基礎(chǔ)上重點(diǎn)研究“移多補(bǔ)少”的方法)。

    3.應(yīng)用:

    (1)下面三道計(jì)算題是不是也像剛才兩題那樣有規(guī)律?運(yùn)用規(guī)律計(jì)算下面各題。

    ①4+5+6+7+8+9+10+11

    ②3+6+9+12+15+18+21+24+27

    ③1+2+3+……+17+18+19

    小結(jié):具體用的方法需要根據(jù)不同的題目特點(diǎn)靈活選擇運(yùn)用。

    (2)有一堆圓木,擺成下圖形狀,該怎樣計(jì)算圓木的根數(shù)?

    要求這堆圓木一共多少根,就是求3+4+5+6+…+11+12是多少。

    3+4+5+6+…+11+12=(3+12)×10÷2=15×5=75(根)

    在上述教學(xué)中,注重了思維過程的展開。首先通過觀察、比較,學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)了算式中數(shù)據(jù)的排列規(guī)律,結(jié)合圖形掌握了處理數(shù)據(jù)的方法,積累了觀察活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn);然后通過增加數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的方式,認(rèn)識了“移多補(bǔ)少”這樣的更為一般化的處理方法;接著通過一系列相同規(guī)律算式的運(yùn)用,順利地完成了兩種模型的對接??梢钥闯?,學(xué)生的思維活動(dòng)由“點(diǎn)”到“面”,通過對兩道算式運(yùn)算規(guī)律的不完全歸納,進(jìn)而推廣到對一類算式運(yùn)算規(guī)律的概括歸納,學(xué)生經(jīng)歷了完整的“演繹—?dú)w納”的推理過程,這種思維層面經(jīng)驗(yàn)的積淀,將為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中研究有關(guān)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律打下良好的基礎(chǔ)。

    綜上,數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)的生長,需要教師設(shè)計(jì)豐富的思維心智操作活動(dòng),把活動(dòng)的思維起點(diǎn)定位在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),使學(xué)生在經(jīng)歷心智操作提升經(jīng)驗(yàn)的同時(shí),讓思維經(jīng)驗(yàn)保留在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中;鑒于思維經(jīng)驗(yàn)內(nèi)隱的特點(diǎn),可以將外顯的生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化,讓學(xué)生經(jīng)歷將生活原型抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行推廣應(yīng)用的全過程;要重視學(xué)生反思意識的培養(yǎng),學(xué)生在思辨中進(jìn)一步提升問題意識與探究意識,以促進(jìn)思維經(jīng)驗(yàn)的有效積累。

    (浙江省湖州市湖師附小教育集團(tuán) 313000)

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