例說(shuō)初中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)的突破
——從李祎《另眼看難點(diǎn)》說(shuō)起

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 居紅蘭

例說(shuō)初中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)的突破
——從李祎《另眼看難點(diǎn)》說(shuō)起

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 居紅蘭

近讀李祎教授在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2016年第7期上《另眼看難點(diǎn)》一文（詳見(jiàn)1），多有共鳴，比如李教授在數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)及其教育價(jià)值的認(rèn)識(shí)上，認(rèn)為其具有雙重性的特征，即消極性和積極性，既要注意到教學(xué)難點(diǎn)在教學(xué)過(guò)程中的消極作用，又要注意到難點(diǎn)在深化知識(shí)、發(fā)展知識(shí)和提高能力方面的積極意義.同時(shí)強(qiáng)調(diào)要通過(guò)精心設(shè)計(jì)發(fā)揮教學(xué)難點(diǎn)磨煉意志品質(zhì)，激發(fā)探索興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新精神.并在文章后半段以案例說(shuō)事，例舉了高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的奇偶性”的教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)，文章很有啟發(fā)性，筆者結(jié)合多年來(lái)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷，也對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)的突破有所思考，本文結(jié)合一些教學(xué)案例整理成文，提供研討.

一、明辨教學(xué)難點(diǎn)，需在深刻理解數(shù)學(xué)上下功夫

熟悉中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究動(dòng)態(tài)的同行應(yīng)該都知道，近五年來(lái)，人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編審章建躍博士提出的“三個(gè)理解”（理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生）席卷神州大地，引發(fā)熱議，影響不容小視.突出表現(xiàn)在面向初中數(shù)學(xué)的教學(xué)刊物上大量的以“三個(gè)理解”為關(guān)鍵詞的案例文章，其中關(guān)于理解數(shù)學(xué)的論述更是排在第一位的.在筆者看來(lái)，所謂理解數(shù)學(xué)，其實(shí)就是要明辨教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，包括辨別學(xué)段特點(diǎn)，單元、章節(jié)或課時(shí)的重點(diǎn)與難點(diǎn).

比如，在七年級(jí)學(xué)生剛進(jìn)入初中之后，有理數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)是運(yùn)算，而學(xué)好運(yùn)算的難點(diǎn)是確定符號(hào)，確定符號(hào)主要是各種不同運(yùn)算的運(yùn)算法則來(lái)規(guī)定的，但是隨著運(yùn)算類別的增多、括號(hào)的層次的增加，一些適應(yīng)不好的學(xué)生往往陷入混亂，難以顧及順序，使得運(yùn)算能力下降.這里如果我們能明辨學(xué)生在初學(xué)七年級(jí)有理數(shù)運(yùn)算的難點(diǎn)是符號(hào)確定時(shí)，就會(huì)在相關(guān)的教學(xué)環(huán)節(jié)增設(shè)一些確定符號(hào)的訓(xùn)練活動(dòng)，使學(xué)生在運(yùn)算前認(rèn)真觀察，明辨運(yùn)算類型，然后引導(dǎo)學(xué)生確定符號(hào)之后再轉(zhuǎn)化為“算術(shù)數(shù)”（小學(xué)階段的數(shù)）進(jìn)行運(yùn)算.

又如，八年級(jí)等腰三角形第1課時(shí)證明“等邊對(duì)等角”，難點(diǎn)并不是應(yīng)用這種性質(zhì)解題或推理，也不是用多種方法（包括不同的添加輔助線的方法）證明該定理，而是引導(dǎo)學(xué)生明辨“等邊對(duì)等角”的題設(shè)與結(jié)論，并能在此基礎(chǔ)上畫(huà)出草圖，寫(xiě)出已知、求證，即將文字命題轉(zhuǎn)化為圖形、符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行證明.

再如，九年級(jí)學(xué)習(xí)圓周角定理時(shí)，難點(diǎn)是圓周角定理的證明，該定理的證明關(guān)鍵還不是畫(huà)好圖形再分類證明，應(yīng)該是學(xué)生如何想到要分不同的情況來(lái)證明，這將涉及學(xué)生對(duì)圖形不同位置關(guān)系的全面思考，再分類畫(huà)圖后從不同角度來(lái)證明.

二、預(yù)設(shè)教學(xué)活動(dòng)，通過(guò)追問(wèn)互動(dòng)化解教學(xué)難點(diǎn)

如上所述，在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，辨析教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)之后，就需要對(duì)教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行充分預(yù)設(shè)，通過(guò)有針對(duì)性的教學(xué)活動(dòng)化解教學(xué)難點(diǎn).李教授在文1中指出“概念教學(xué)的難點(diǎn)是對(duì)概念的深刻理解，定理教學(xué)的難點(diǎn)是對(duì)定理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，解題教學(xué)的難點(diǎn)是對(duì)解題思路的探尋.”

比如，在七年級(jí)數(shù)軸這一概念的學(xué)習(xí)，較低層次的是讓學(xué)生會(huì)在數(shù)軸上確定數(shù)、對(duì)應(yīng)某數(shù)的位置，稍高的層次是會(huì)利用數(shù)軸比較數(shù)的大小，發(fā)揮數(shù)軸的工具作用，而真正的難點(diǎn)或較高層次的數(shù)軸理解則是需要學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)發(fā)展他們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，進(jìn)一步感受初中數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)的重要不同就是數(shù)形之間的對(duì)應(yīng).于是在數(shù)軸教學(xué)時(shí)，為了突破這一難點(diǎn)，就可以從常量的數(shù)軸練習(xí)逐漸過(guò)渡到變量的數(shù)a與數(shù)軸上位置的變化，發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、對(duì)應(yīng)的思想等.

又如，八年級(jí)函數(shù)的教學(xué)，首先需要定位函數(shù)的難點(diǎn)是多個(gè)層次或角度的對(duì)應(yīng)意識(shí).較低層次的對(duì)應(yīng)是自變量取一個(gè)值，相應(yīng)的函數(shù)值唯一對(duì)應(yīng)，即“單值對(duì)應(yīng)”；第二層次的對(duì)應(yīng)是函數(shù)解析式與函數(shù)圖像的對(duì)應(yīng)；第三層次的對(duì)應(yīng)是結(jié)合函數(shù)圖像研究函數(shù)增減性；第四層次的對(duì)應(yīng)則是函數(shù)在自變量某一區(qū)間的變化趨勢(shì)與函數(shù)值的跟進(jìn)變化或?qū)?yīng).

再如，九年級(jí)銳角三角函數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)在于這種類型的函數(shù)與之前所學(xué)的三種初等函數(shù)相比，形式上差別太大，學(xué)生難以建立函數(shù)概念，且由于知識(shí)局限，初中階段并不展開(kāi)對(duì)這種函數(shù)的圖像與性質(zhì)的全面分析，所以學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)也是一種函數(shù)顯得很不適應(yīng)，根據(jù)筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不少高層次學(xué)生也只是熟悉一些特殊角度的三角函數(shù)值，而對(duì)于同角三角函數(shù)的關(guān)系的深入理解卻較少.這些教學(xué)難點(diǎn)的突破也常常是很多初任教師放手不管，理解很功利：中考也不考，留到高中再學(xué)吧.筆者以為，對(duì)于這類教學(xué)難點(diǎn)，教師為了完善學(xué)生的知識(shí)體系，還是應(yīng)該通過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題設(shè)計(jì)，比如，從特例出發(fā)，不斷一般化，從而提示銳角三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，哪怕只是看到圖像的一部分或局部，也是為學(xué)生將來(lái)進(jìn)入高中全面研究三角函數(shù)有所準(zhǔn)備的.

三、研發(fā)一題一課，在熱身練習(xí)后漸次生成拓展

如李教授在文1中所指出的“解題教學(xué)的難點(diǎn)是對(duì)解題思路的探尋”.而當(dāng)前各類習(xí)題課、復(fù)習(xí)課中老師們都會(huì)引用一些綜合題、較難題，但對(duì)這些題的解決都顯得倉(cāng)促，教師牽引成份太大，有重要價(jià)值的教學(xué)難點(diǎn)沒(méi)有能讓學(xué)生來(lái)思考和突破思路.近一年來(lái)，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）刊載了大量的關(guān)于中考綜合題“一題一課”的課例文章，就給我們提供了很豐富的解題研究視角，值得關(guān)注和實(shí)踐跟進(jìn).

筆者近年來(lái)在畢業(yè)年級(jí)任教的經(jīng)歷表明，如果只是對(duì)一道中考綜合題就題講題，就算是把思路給學(xué)生說(shuō)清楚，也達(dá)不到多大的效果，常常是只有幾個(gè)學(xué)生真正聽(tīng)懂，而且這幾個(gè)學(xué)生本來(lái)就會(huì)；而不懂的學(xué)生還是沒(méi)聽(tīng)懂.所以筆者也堅(jiān)持將一道綜合題通過(guò)認(rèn)真構(gòu)思，提供一些引例、高度相關(guān)的簡(jiǎn)單題例，通過(guò)對(duì)這些簡(jiǎn)單題例的變式改編、拓展生長(zhǎng)，過(guò)渡到綜合難題上，并通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖穯?wèn)、點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)解題思路，在解決問(wèn)題的同時(shí)給他們一種自主發(fā)現(xiàn)的愉悅、快感及自信.

事實(shí)上，不少優(yōu)秀的中考綜合題本身就是很好的漸次生長(zhǎng)，比如下面這道考題：

考題（2010年江蘇南通，第28題）已知拋物線y= ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2）的直線l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；

（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)直線AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1，P（m，n）是拋物線y=ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形CODP的面積.

賞析：該題在第（2）問(wèn)用一個(gè)特殊值要求學(xué)生證明點(diǎn)A到原點(diǎn)和到直線y=-2的距離相等，實(shí)現(xiàn)直線l與⊙A的位置關(guān)系是相切的證明.但這里隱含著拋物線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)（該拋物線的焦點(diǎn)）和直線y=-2（該拋物線的準(zhǔn)線）的深層結(jié)構(gòu).所以不少學(xué)生在最后一問(wèn)就難以找到轉(zhuǎn)化的思路，一種典型的錯(cuò)解是把問(wèn)題思考成軸對(duì)稱性質(zhì)“光線反射模型”或“將軍飲馬”模式，造成思路方向出錯(cuò).而在解題教學(xué)時(shí)，需要在第（2）問(wèn)增加鋪墊，挖掘信息，使得學(xué)生在第（2）問(wèn)上做足準(zhǔn)備工作，為最后一問(wèn)的一條重要輔助線PH垂直于直線y=-2交拋物線于點(diǎn)P而服務(wù).這樣增加鋪墊的教學(xué)設(shè)計(jì)也是“設(shè)法幫助學(xué)生自己去攻克難點(diǎn)，讓學(xué)生在經(jīng)歷難點(diǎn)的過(guò)程中，獲得能力提升和智慧發(fā)展，從而使教學(xué)難點(diǎn)的價(jià)值最大化”.

四、開(kāi)展聽(tīng)課檢測(cè)，重視講評(píng)難點(diǎn)之后的效果反饋

《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）近一年來(lái)還有很多課例文章推薦所謂的“聽(tīng)課檢測(cè)”，這本不是什么新鮮的提法，筆者記得上個(gè)世紀(jì)末，剛參加工作時(shí)教學(xué)常規(guī)環(huán)節(jié)中就有要注意“當(dāng)堂檢測(cè)”“即時(shí)反饋”的要求，然而隨著課改的一套新理念、新模式的強(qiáng)勢(shì)干預(yù)，使得本來(lái)是一種夯實(shí)雙基的有效手段退居幕后，如今不少一線教師又重新認(rèn)識(shí)到當(dāng)堂檢測(cè)的重要性，并積極踐行.筆者對(duì)聽(tīng)課檢測(cè)也十分贊同，并在自己的教學(xué)實(shí)踐中一直施行，因?yàn)槿鄙俾?tīng)課檢測(cè)，往往看不到真實(shí)的教學(xué)效果，特別是對(duì)綜合題的難點(diǎn)突破，學(xué)生是否真正理解、思路能否真正貫通，往往需要通過(guò)檢測(cè)來(lái)反饋.這里特別要注意的是聽(tīng)課檢測(cè)題的編擬，既不能用原題直接檢測(cè)，又不能用一些所謂的其他地區(qū)的中考題、無(wú)相關(guān)性的變式題來(lái)考查，而應(yīng)該基于所講評(píng)的綜合題，在不破壞問(wèn)題深層結(jié)構(gòu)的前提下經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的改編后用來(lái)檢測(cè)，這樣才能有效反饋學(xué)生是否真正掌握.

五、結(jié)束語(yǔ)

教學(xué)難點(diǎn)是一個(gè)教學(xué)研究中一個(gè)永恒的話題，受到文1的影響，本文有感而發(fā)，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，闡釋一些個(gè)性化感想，既不一定準(zhǔn)確，也不一定正確，敬請(qǐng)大家批評(píng)，更歡迎有好的課例或試題設(shè)計(jì)，帶給我們突破難點(diǎn)的“直觀表達(dá)”.

1.李祎.另眼看難點(diǎn)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（7）.

2.孫莉.思路生成貴在自然，一題一課追求簡(jiǎn)約——一道考題的思路突破與習(xí)題課設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

3.吳忠妙.一道考題的思路、難點(diǎn)與教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

4.楊衛(wèi)東.客從何處來(lái)：一道幾何把關(guān)題的命制歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.H