基于單元教學(xué)，創(chuàng)新正比例函數(shù)教學(xué)

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)　謝建兵

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基于單元教學(xué)，創(chuàng)新正比例函數(shù)教學(xué)

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)謝建兵

一次函數(shù)起始課教學(xué)一直是教學(xué)研討的熱點(diǎn)，不少教材上一次函數(shù)的起始課常常是從正比例函數(shù)的概念開始，重復(fù)著前一小節(jié)變量與函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，沒有能在進(jìn)入一次函數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)給學(xué)生以整體觀，傳遞函數(shù)研究的基本套路.最近筆者有機(jī)會(huì)執(zhí)教正比例函數(shù)公開課，本著“用教材教”的理念，我們打破教材上的限制，重新設(shè)計(jì)了從列出一次函數(shù)關(guān)系式出發(fā)，然后開始系統(tǒng)研究特殊的一次函數(shù)即正比例函數(shù)，讓學(xué)生既“先見森林”，又重點(diǎn)“聚焦樹林”，取得了較好的教學(xué)效果.本文先呈現(xiàn)該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，再給出跟進(jìn)解讀，供研討.

一、正比例函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）情境導(dǎo)入

寫出下列變化中的函數(shù)關(guān)系式.

（1）汽車速度為60千米/小時(shí)，汽車行駛距離s（千米）與行駛時(shí)間t（小時(shí)）之間的變化情況.

（2）每個(gè)練習(xí)本的厚度為0.5cm.一些練習(xí)本摞在一起的總厚度h（cm）隨這些練習(xí)本的本數(shù)n的變化而變化.

（3）若設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x（x>0），周長(zhǎng)為y，那么有y=4x，正方形的周長(zhǎng)隨邊長(zhǎng)的變化而變化.

（4）某城市的市內(nèi)電話的月收費(fèi)額y（單位：元）包括月租費(fèi)22元和撥打電話xmin的計(jì)時(shí)費(fèi)（按0.1元/min收取）.

預(yù)設(shè)互動(dòng)：當(dāng)學(xué)生得出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式之后，追問上述函數(shù)解析式有什么共同點(diǎn)，主要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)關(guān)系式的角度觀察，前3個(gè)都是單項(xiàng)式，而第4個(gè)是0.1x+ 22，是一次二項(xiàng)式.它們的次數(shù)都是一次式，于是給出一次函數(shù)的定義.

定義（板書）：一般地，形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx，此時(shí)我們稱y是x的正比例函數(shù).

安排跟進(jìn)練習(xí)，如下所示.

（1）下列關(guān)系式.

①y=3x；②y=-x2；③y=x2；④y=5x-2；⑤y=x+2；⑥y=；⑦y=x2+1；⑧y=-x+1.

正比例函數(shù)有______________，一次函數(shù)有____________.（填寫序號(hào)即可）

（2）若關(guān)于x的函數(shù)y=（2-m）x是正比例函數(shù)，則m的取值范圍為__________.

設(shè)計(jì)意圖：如果學(xué)生回答出錯(cuò)，則引導(dǎo)他們“回到定義”糾錯(cuò).

（二）研究正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)

過渡：在上一節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們知道，函數(shù)有不同的形式（可以提問學(xué)生回答出圖像、表格、關(guān)系式），接下來我們就從函數(shù)關(guān)系式出發(fā)，研究它的圖形與性質(zhì).

例1在同一平面直角坐標(biāo)系下畫出正比例函數(shù)y= 2x和y=-2x的圖像.

設(shè)計(jì)意圖：在上一節(jié)中學(xué)生就會(huì)“列表、描點(diǎn)、連線”畫圖，讓學(xué)生用上述方法畫圖后，歸納總結(jié)出正比例函數(shù)圖像的特點(diǎn)及變化規(guī)律，讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，經(jīng)歷規(guī)律發(fā)現(xiàn)的整個(gè)過程.

預(yù)設(shè)追問1：兩個(gè)圖像有哪些共同點(diǎn)？

預(yù)設(shè)答案：都是經(jīng)過原點(diǎn)的直線.

預(yù)設(shè)追問2：有哪些不同點(diǎn)？

安排跟進(jìn)練習(xí)，如下所示.

在同一坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖像，并對(duì)它們進(jìn)行比較.

（1）y=x；（2）y=-x.

預(yù)設(shè)講評(píng)：投影學(xué)生可能的作圖.啟發(fā)學(xué)生比較兩個(gè)函數(shù)圖像可以看出：兩個(gè)圖像都是經(jīng)過原點(diǎn)的直線.函數(shù)y=x的圖像從左向右上升，經(jīng)過第一、三象限，即隨x的增大y也增大；函數(shù)y=-x的圖像從左向右下降，經(jīng)過第二、四象限，即隨x的增大y反而減小.

總結(jié)歸納正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（板書）：正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖像是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線.當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過第二、四象限，從左向a右下降，即隨x的增大y反而減小.

提醒學(xué)生：由于正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖像是一條直線，所以可以稱它為直線y=kx.

（三）典例講評(píng)

8月21日，由中國(guó)無機(jī)鹽工業(yè)協(xié)會(huì)和海西州人民政府聯(lián)合舉辦，IFA國(guó)際肥料協(xié)會(huì)、國(guó)際鹽湖學(xué)會(huì)支持，格爾木市人民政府、中國(guó)無機(jī)鹽工業(yè)協(xié)會(huì)鉀鹽鉀肥分會(huì)、中國(guó)國(guó)際貿(mào)易促進(jìn)會(huì)化工行業(yè)分會(huì)共同承辦的2018鉀鹽鉀肥大會(huì)暨格爾木鹽湖論壇在格爾木市會(huì)展中心開幕。

例2經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)（1，k）的直線是哪個(gè)函數(shù)的圖像？

預(yù)設(shè)追問：畫正比例函數(shù)的圖像時(shí)，怎樣畫最簡(jiǎn)單？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生利用總結(jié)的正比例函數(shù)圖像的特征與解析式的關(guān)系，完成由圖像到關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想的意義，并掌握正比例函數(shù)圖像的簡(jiǎn)單畫法及原理.最后引導(dǎo)學(xué)生確認(rèn)：經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)（1，k）的直線是函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像.也就是畫正比例函數(shù)圖像時(shí)，只需在原點(diǎn)外再確定一個(gè)點(diǎn)，即找出一組滿足函數(shù)關(guān)系式的對(duì)應(yīng)數(shù)值即可，如（1，k）.同時(shí)注意關(guān)聯(lián)幾何公理：兩點(diǎn)可以確定一條直線.

跟進(jìn)練習(xí)：如果讓你用最簡(jiǎn)單的方法畫出下列函數(shù)的圖像：（1）y=3x，（2）y=-3x，你會(huì)怎樣畫呢？

預(yù)設(shè)互動(dòng)：安排學(xué)生回答，比如除原點(diǎn)外，分別找出適合兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式的一個(gè)點(diǎn)來.

例3已知變量x、y滿足y=kx，且當(dāng)x=3時(shí)，y=24.求y 與x之間的比例系數(shù)，并寫出函數(shù)解析式.

預(yù)設(shè)互動(dòng)：這道習(xí)題并不復(fù)雜，大多數(shù)學(xué)生都能順利解答，重要的是給出如下的一些不同呈現(xiàn)方式.

變式1：已知正比例函數(shù)y=kx，當(dāng)自變量x=3時(shí)，函數(shù)值y=24.求k的值.

變式2：已知直線y=kx，經(jīng)過點(diǎn)A（3，24）、B（1，b）.求b的值.

變式3：已知經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l經(jīng)過點(diǎn)A（3，6），若點(diǎn)B（1，b）也在直線l上，求BO的長(zhǎng).

變式4：平面直角坐標(biāo)系下有點(diǎn)A（3，6）、B（1，2）、C（-2，-4），試判斷這三個(gè)點(diǎn)是否在同一直線上，并說明理由.

（四）小結(jié)與反饋

師生共同小結(jié)本課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，并跟進(jìn)檢測(cè)聽課效果，設(shè)計(jì)一組問題.

聽課反饋題（共5小題，每小題20分）.

（1）正比例函數(shù)y=（m-2）x的圖像經(jīng)過第一、三象限，則m的取值范圍是（）.

A.m=2 B.m＞2 C.m＜2 D.m≥2

（2）正比例函數(shù)y=（k-3）x，y隨著x的增大而減小，則k的取值范圍是______.

（3）函數(shù)y=-4x的圖像在第_______象限內(nèi)，經(jīng)過點(diǎn)（0，____）與點(diǎn)（1，____），y隨x的增大而______.

（4）若直線y=kx經(jīng)過點(diǎn)A（-2，-10）、B（1，b），求b的值.

（5）求證：在同一平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2）、O（0，0）、C（-2，-4）在同一直線上.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

1.踐行“單元教學(xué)”，讓學(xué)生知道正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例

我們知道，近兩年來，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）發(fā)表了很多研究著名特級(jí)教師李庾南老師數(shù)學(xué)教學(xué)思想的文章，特別是相關(guān)的課例文章往往踐行著李庾南老師倡導(dǎo)的“單元教學(xué)”，即整合教材內(nèi)容，重新劃定課時(shí)，給筆者啟發(fā)良多.上文中的教學(xué)設(shè)計(jì)正是在單元教學(xué)的構(gòu)思下設(shè)計(jì)而成的，即教材上是先組織學(xué)生研究正比例函數(shù)，再學(xué)習(xí)一次函數(shù)，然而我們?cè)陂_課階段就先通過4個(gè)情境列出一次函數(shù)，其中前3個(gè)是正比例函數(shù)，接著先給出一次函數(shù)的定義，并約定當(dāng)b=0（即一次二項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)為0）時(shí)，稱為正比例函數(shù)，讓學(xué)生知道正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例.這里也是傳遞一種研究方法，即碰到一類廣泛的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，常常退回最簡(jiǎn)單的情形，或選擇先研究它的特例，再成果擴(kuò)大、一般化去研究更一般的數(shù)學(xué)對(duì)象.

2.傳遞“基本套路”，在正比例函數(shù)研究中積累函數(shù)研究方法

除了上面我們提到的先研究特例，再研究一般化的數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路，我們?cè)诮M織學(xué)生研究正比例函數(shù)時(shí)，也傳遞了很多重要的“基本套路”（章建躍博士語），比如研究函數(shù)通常是先定義，再歸納和驗(yàn)證圖像與性質(zhì)，最后運(yùn)用圖像和性質(zhì)來解決問題.特別是，當(dāng)學(xué)生有了函數(shù)圖像與性質(zhì)的初步認(rèn)識(shí)之后，將函數(shù)問題的呈現(xiàn)方式豐富和變式，使得學(xué)生在面對(duì)不同形式的函數(shù)習(xí)題時(shí)，能運(yùn)用函數(shù)眼光，從形的角度認(rèn)識(shí)函數(shù).事實(shí)上，從“數(shù)形結(jié)合”這個(gè)角度讓學(xué)生研究函數(shù)才是初中函數(shù)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練的重點(diǎn)與難點(diǎn).

三、結(jié)束語

函數(shù)起始課教學(xué)十分重要，雖然正比例函數(shù)非常簡(jiǎn)單，好像沒有什么新知識(shí)、難內(nèi)容，然而對(duì)于初學(xué)函數(shù)的學(xué)生來說，能否將簡(jiǎn)單的內(nèi)容或概念認(rèn)識(shí)得更深，則全部在于教師的課前預(yù)設(shè)與深思，我們關(guān)于一次函數(shù)起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)還是初步的、不成熟的，期待打磨與指正.

參考文獻(xiàn)：

1.陳乘風(fēng).依靠基本套路，踐行單元教學(xué)——以“矩形、菱形”第1課時(shí)教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（2）.

2.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

3.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.仇錦華.從數(shù)學(xué)整體觀看單元教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（11）.