部分預(yù)應(yīng)力混凝土受彎構(gòu)件開裂截面應(yīng)力計(jì)算

魏 煒

（長安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安 710064）

允許開裂的部分預(yù)應(yīng)力混凝土B類受彎構(gòu)件，在使用階段的受力情況，與全預(yù)應(yīng)力混凝土及部分預(yù)應(yīng)力混凝土A類構(gòu)件的計(jì)算不同點(diǎn)在于截面可能已開裂。開裂截面的中性軸位置和幾何特性，不僅取決于混凝土截面尺寸，而且還取決于橫向彎矩的大小和預(yù)加力的大小及其作用位置、預(yù)應(yīng)力鋼筋和普通鋼筋數(shù)量的多少，這使計(jì)算比較復(fù)雜。

部分預(yù)應(yīng)力混凝土受彎構(gòu)件截面開裂后的應(yīng)力狀態(tài)，與鋼筋混凝土大偏心受壓構(gòu)件很相似。但應(yīng)該注意到，當(dāng)外力為零時(shí)，鋼筋混凝土大偏心受壓構(gòu)件截面上各應(yīng)力均等于零（稱為“零應(yīng)力”狀態(tài)），且僅有單一的偏心壓力作用。而作用在預(yù)應(yīng)力混凝土受彎構(gòu)件上的荷載，是在2個(gè)階段作用上去的，預(yù)加力階段預(yù)應(yīng)力鋼筋的張拉回縮力Np及其對混凝土產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力（實(shí)際上是2種材料的內(nèi)部相互作用，并不能簡單地視為外荷載）；使用階段結(jié)構(gòu)恒載和活載的效應(yīng)——使用荷載彎矩M；預(yù)應(yīng)力鋼筋的回縮力及其對混凝土產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力與使用荷載產(chǎn)生的彎矩M不具有同時(shí)性，更不是比例加載，所以不能簡單地將這些作用力合成為一個(gè)偏心壓力，像鋼筋混凝土偏壓受壓構(gòu)件一樣計(jì)算截面上的應(yīng)力。為了能夠借用鋼筋混凝土大偏心受壓構(gòu)件的計(jì)算方法，新舊《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》等［1-4］實(shí)際上均引入了一個(gè)“虛擬荷載”，“虛擬荷載”施加時(shí)在截面上的應(yīng)力效應(yīng)采用未開裂截面的幾何特性計(jì)算，卸掉時(shí)在截面上的應(yīng)力效應(yīng)卻采用開裂截面特性計(jì)算，該方法較難理解；文獻(xiàn)［3］也是采用“虛擬荷載”的方法，但為了避免解一元三次方程，采用了反復(fù)試算的方式求近似解；文獻(xiàn)［5］-文獻(xiàn)［10］也均采用“虛擬荷載”的方法，在理論上仍在重復(fù)前人的成果。

1 開裂截面應(yīng)力計(jì)算

1.1 基本假定

預(yù)應(yīng)力混凝土受彎構(gòu)件開裂截面的應(yīng)力計(jì)算，是屬于正常使用極限狀態(tài)的設(shè)計(jì)計(jì)算，仍按彈性理論進(jìn)行，其基本假定如下：

1）受彎構(gòu)件截面開裂后的變形仍符合平截面假定；鋼筋和受壓混凝土仍處于彈性階段；2）不計(jì)截面受拉區(qū)混凝土的拉應(yīng)力；

3）不考慮裂縫與裂縫之間未開裂截面對計(jì)算的影響。

1.2 預(yù)加力效應(yīng)

在配有非預(yù)應(yīng)力鋼筋的預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件中，由于混凝土的收縮和徐變，使非預(yù)應(yīng)力鋼筋產(chǎn)生與預(yù)加力相反的內(nèi)力。為簡化計(jì)算，非預(yù)應(yīng)力鋼筋的應(yīng)力均近似取為混凝土收縮和徐變引起的預(yù)應(yīng)力損失值。在截面全部預(yù)應(yīng)力鋼筋和普通鋼筋的合力作用下（見圖1），預(yù)壓區(qū)、預(yù)拉區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋合力Np中心處混凝土的壓應(yīng)變分別為

圖1 預(yù)加力效應(yīng)Fig.1 Preloaded effect

式中：A為截面面積；r為截面回轉(zhuǎn)半徑；Ec為混凝土彈性模量；yp為預(yù)拉區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋合力中心至截面重心的距離；預(yù)壓區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋合力中心至截面重心的距離σcon-σl＋σl4（對先張構(gòu)件），σp0=σpe=σcon-σl（對后張構(gòu)件），σpe為預(yù)拉區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋的有效預(yù)應(yīng)力，Ap為預(yù)拉區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋的總面積（對先張構(gòu)件）（對后張構(gòu)件）為預(yù)壓區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋的有效預(yù)應(yīng)力為預(yù)壓區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋的總面積；ep為合力Np至截面重心的距離，其大小為

此時(shí)，預(yù)拉區(qū)和預(yù)壓區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋中的拉應(yīng)變分別為

式中：Ep為預(yù)應(yīng)力鋼筋彈性模量。

則預(yù)拉區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋與其重心處混凝土的應(yīng)變差為

則預(yù)壓區(qū)預(yù)應(yīng)力鋼筋與其重心處混凝土的應(yīng)變差為

在截面全部普通鋼筋的合力Nl6作用下（見圖1），預(yù)壓區(qū)、預(yù)拉區(qū)普通鋼筋合力中心處混凝土的拉應(yīng)變分別為

此時(shí)，預(yù)拉區(qū)和預(yù)壓區(qū)普通鋼筋中的拉應(yīng)變分別為

式中Es為普通鋼筋彈性模量。

則預(yù)拉區(qū)普通鋼筋與其重心處混凝土的應(yīng)變差為

則預(yù)壓區(qū)普通鋼筋與其重心處混凝土的應(yīng)變差為

在以上計(jì)算中，對先張法施工的預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件，采用換算截面參數(shù)；對后張法施工的預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件，采用凈截面參數(shù)。

1.3 開裂截面應(yīng)力計(jì)算

圖2所示為具有一般性的預(yù)應(yīng)力混凝土受彎構(gòu)件工字形截面開裂應(yīng)力計(jì)算圖式。

圖2 開裂截面應(yīng)力計(jì)算圖式Fig.2 Computation of stress of cracked section

受拉區(qū)混凝土因開裂退出了工作，受壓區(qū)混凝土應(yīng)力、應(yīng)變呈線性分布，受壓區(qū)高度為x，σc為受壓區(qū)邊緣混凝土壓應(yīng)力。為計(jì)算簡便，先將受壓區(qū)擴(kuò)張成矩形（×x），其上的合力為（壓力），其作用點(diǎn)距截面中性軸，再扣除腹板兩側(cè)2個(gè)矩形的作用，其上的合力為（拉力），其合力作用點(diǎn)距截面中性軸

水平方向（構(gòu)件軸線方向）上力的平衡方程為

將具體表達(dá)式代入后，可得

進(jìn)一步可導(dǎo)出

對中性軸取矩建立力矩平衡方程式∑Mz=M：

將具體表達(dá)式代入，可得

由式（3′）、式（4′）相等可得

式（5）與文獻(xiàn)［2］中所給出的結(jié)果相同，但以上導(dǎo)出過程力學(xué)概念運(yùn)用明確，且易理解，無需引入“虛擬荷載”。由式（5）求得x后，再由式（3′）或式（4′）即可確定σc的大小，普通鋼筋中的應(yīng)力由下式求得（拉應(yīng)力為正）：

預(yù)應(yīng)力鋼筋中的應(yīng)力為

2 結(jié) 語

預(yù)加力導(dǎo)致預(yù)應(yīng)力鋼筋與相鄰混凝土產(chǎn)生應(yīng)變差；若鋼筋與混凝土之間黏結(jié)可靠，這一應(yīng)變差就始終保持不變，采用這一基本方法或原理使預(yù)應(yīng)力混凝土受彎構(gòu)件開裂截面的應(yīng)力計(jì)算公式的推演變得非常簡單易行。其過程具有概念清晰、易于理解的特點(diǎn)；所提出的方法對加筋混凝土偏心受壓構(gòu)件具有普遍適應(yīng)性。

［1］ JTJ 023—85，公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.

［2］ 葉見曙.結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理［M］.第2版.北京：人民交通出版社，2010.

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