基于Matlab的兩類曲面積分計(jì)算

林 鑫，高發(fā)玲

（青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院基礎(chǔ)部，山東 青島 266100）

基于Matlab的兩類曲面積分計(jì)算

林 鑫，高發(fā)玲

（青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院基礎(chǔ)部，山東 青島 266100）

兩類曲面積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，利用MATLAB軟件在繪圖和數(shù)值計(jì)算上的優(yōu)勢(shì)，可以達(dá)到簡(jiǎn)化積分運(yùn)算，提高教學(xué)效率的目的。本文以定義法和參數(shù)方程法為依據(jù)給出程序，闡述了Matlab程序在曲面積分計(jì)算中的作用。

曲面積分；Matlab；參數(shù)方程

《高等數(shù)學(xué)》是理工類專業(yè)學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)課程，既為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程和鉆研現(xiàn)代科技知識(shí)提供了必備的數(shù)學(xué)工具，也是對(duì)學(xué)生抽象思維，邏輯分析等能力的一種培養(yǎng)和鍛煉。曲面積分的計(jì)算一直都是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，圖形復(fù)雜，計(jì)算繁瑣，單純運(yùn)用傳統(tǒng)板書教學(xué)講解很難達(dá)到形象與直觀的效果，而Matlab具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算與圖形繪制功能，能夠快捷有效地解決上述種種問題。通過Matlab與教學(xué)過程的相融，可以開闊學(xué)生的思維，提高學(xué)生對(duì)科技軟件的認(rèn)知以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。本文以兩類曲面積分的計(jì)算為例，探討Matlab在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

在Matlab程序中，int是處理積分計(jì)算的常用語言命令之一。例如，int(f,u,a,b)可以用來計(jì)算一元函數(shù)定積分，也可以用來計(jì)算曲線積分。其中，f表示被積函數(shù)，u是積分變量，a是積分下限，b是積分上限。a，b可以是實(shí)數(shù)或函數(shù)式或無窮大。當(dāng)被積函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，可以省略變量u；當(dāng)被積函數(shù)為多元函數(shù)，那要特別指明u為積分變量。當(dāng)求解一元不定積分時(shí)，則可以省略積分限。對(duì)于二重積分與三重積分的計(jì)算，可以通過兩次或者三次調(diào)用int函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。積分限的確定則需要依據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的形狀來考慮，一般選取直角坐標(biāo)形式，如果被積函數(shù)為f(x2+y2)型或者積分區(qū)域?yàn)閳A扇形等類似區(qū)域，則選取極坐標(biāo)形式引入?yún)?shù)方程。對(duì)于曲面積分，Matlab中沒有現(xiàn)成的函數(shù)命令可供調(diào)用，不妨將它轉(zhuǎn)化成二重積分，通過重復(fù)調(diào)用int來計(jì)算。

1 第一類曲面積分的計(jì)算

第一類曲面積分的計(jì)算起源于對(duì)密度不均勻的空間曲面總質(zhì)量的求解。若空間上某曲面Σ的密度函數(shù)為f( x, y, z)，則該曲面的質(zhì)量可以用如下曲面積分表示：

若曲面Σ為z=z( x, y)，則積分(1)可以轉(zhuǎn)化為xoy平面上的二重積分[1,p217]：

被平面z=0和z=2所截得之間部分，下側(cè)為正[1,p228]。

解首先，畫出拋物面與平面z=2的圖形，得到兩面交線以及交線在坐標(biāo)面xoy上的投影曲線，并觀察積分區(qū)域，見圖1。具體程序如下：

3 結(jié)語

通過Matlab與曲面積分教學(xué)過程的相融，使得原本抽象的概念逐漸形象化，原本復(fù)雜的運(yùn)算逐漸簡(jiǎn)單化，這大大降低了教與學(xué)的難度，提高了學(xué)生對(duì)于問題的理解能力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)曲面積分的信心，也鍛煉了學(xué)生對(duì)于Matlab程序的編寫能力。

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第六版(下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2] 馬莉.MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模[M].北京:清華大學(xué)出版社, 2010:116-117.

[3] 仇海全,潘花.MATLAB在重積分計(jì)算中的應(yīng)用[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版,2012,29(4):50-54.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

The Computation of Surface Integral Based on Matlab

LIN Xin, GAO Fa-ling
(Fundamental Courses Department of Qindao College, Qingdao Technological University, Qingdao 266100, China)

The first and the second type surface integral are difficult to understand in calculus, however, it can be simplified by use of the powerful functions of mathematical graphics and numerical computing with MATLAB. Based on the Definition and the parametric equation, the program is given to show its efficiency in this paper.

surface integral; Matlab; parametric equation

O172.2

A

1009-9115(2016)02-0024-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.007

山東省科技項(xiàng)目（J15LI57）

2015-11-19

林鑫（1982-），女，山東青島人，碩士，講師，研究方向?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)及數(shù)學(xué)建模。