橢圓曲線y2= px(x2- 64)的整數(shù)點(diǎn)

趙晶晶

（滇西科技師范學(xué)院 后勤管理處，云南 臨滄 677000）

橢圓曲線y2= px(x2- 64)的整數(shù)點(diǎn)

趙晶晶

（滇西科技師范學(xué)院 后勤管理處，云南 臨滄 677000）

設(shè)p為奇素?cái)?shù)，主要利用同余和奇偶數(shù)的性質(zhì)證明了橢圓曲線y2=px(x2-64)當(dāng)p=17時(shí)有正整數(shù)點(diǎn)(x, y)=(9,51)，(17,255)；p≠17時(shí)至多有一組正整數(shù)點(diǎn)。

橢圓曲線；同余；正整數(shù)點(diǎn)

橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)是數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何學(xué)中基本而又重要的問(wèn)題。關(guān)于橢圓曲線y2=ax(x2-b)的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題，目前主要結(jié)論為：2007年，文[1]對(duì)b=1的情形進(jìn)行了研究；2008年，文[2]對(duì)b=1的情形進(jìn)行了研究；2012年，文[3]對(duì)b=1的情形進(jìn)行了研究；2015年，文[4]對(duì)b=4的情形進(jìn)行了研究。關(guān)于b=64的情形目前還未有相關(guān)結(jié)果，本文利用初等方法對(duì)p為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線y2=px(x2-64)的正整數(shù)點(diǎn)的情況進(jìn)行了研究，得出了如下結(jié)論：

定理如果p為奇素?cái)?shù)，則橢圓曲線

當(dāng)p=17時(shí)有正整數(shù)點(diǎn)（x,y)=（9,51)，（17,255)；p≠17時(shí)至多有一組正整數(shù)點(diǎn)。

1 相關(guān)引理

引理1[5]不定方程

分別有兩組正整數(shù)解

外，最多只有一組正整數(shù)解(x,y)，且滿足x2=x或11102x02-1，這里ε=x0+y0D 是Pell方程x2-Dy2=1的基本解。

引理2[6]設(shè)D1,D2是適合D1＞1的正整數(shù)，方程

至多有一組解。

證明設(shè)(x,y)，x,y∈Z+是橢圓曲線(2)的正整數(shù)點(diǎn)，因?yàn)閜是奇素?cái)?shù)，故由(1)知p|y，設(shè)y=pz，z∈Z+，將其代入(1)，得

2 定理證明

因?yàn)間cd(x,x2-64)=gcd(x,64)=1或2或4或8或16或32或64，故(2)可分解為以下7種可能的情形：解得pa2=2，c=0。這與“c∈Z+”矛盾，故該情形橢圓曲線(1)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)。

2.4 情形IV的討論

2.4.1 當(dāng)m=1，n=p時(shí)

由引理1知方程(11)至多有一組正整數(shù)解(a,c)，所以方程(2)至多有一組正整數(shù)解(x,z)，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點(diǎn)。

2.4.2 當(dāng)n=1，m=p時(shí)，

由引理2知方程(13)至多有一組正整數(shù)解(a,c)，因此方程(2)至多有一組正整數(shù)解(x,z)，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點(diǎn)。

2.5 情形V的討論

2.5.1 當(dāng)m=1，n=p時(shí)

由引理2知方程(15)至多有一組正整數(shù)解(a,c)，因此方程(2)至多有一組正整數(shù)解(x,z)，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點(diǎn)。

2.5.2 當(dāng)n=1，m=p時(shí)

由(17)式知c為奇數(shù)，所以c2≡1(mod8)。因?yàn)閎為偶數(shù)，而gcd(a,b)=1，所以a為奇數(shù)，則a4≡1(mod8)。又p為奇素?cái)?shù)，則p2≡1(mod8)，故4p2a4≡4(mod8)。所以(17)式為

顯然不成立，故該情形橢圓曲線(1)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)。

2.6 情形VI的討論

2.6.1 當(dāng)m=1，n=p時(shí)

(19)式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，則(19)式不成立，故該情形橢圓曲線(1)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)。

2.6.2 當(dāng)n=1，m=p時(shí)

由引理2知方程(21)至多有一組正整數(shù)解(a,c)，因此方程(2)至多有一組正整數(shù)解(x,z)，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點(diǎn)。

2.7 情形VII的討論

2.7.1 當(dāng)m=1，n=p時(shí)

由引理2知方程(22)至多有一組正整數(shù)解(a,b)，因此方程(2)至多有一組正整數(shù)解(x,z)，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點(diǎn)。

2.7.2 當(dāng)n=1，m=p時(shí)

這與“a，b∈Z+”矛盾，因此橢圓曲線(1)至多有一組正整數(shù)點(diǎn)。

綜上定理得證。

[1] 祝輝林,陳建華.兩個(gè)丟番圖方程y2=nx(x2±1)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,50(5):1071-1074.

[2] 樂(lè)茂華.橢圓曲線y2=px(x2±1)的正整數(shù)點(diǎn)[J].湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,29(3):1-2.

[3] 趙院娥.橢圓曲線y2=2px(x2-1)的正整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)[J].西安石油大學(xué)學(xué)報(bào),2012,27(2):106-107+110.

[4] 萬(wàn)飛.橢圓曲線y2=nx(x2-4)的整數(shù)點(diǎn)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,33(3):271-272.

[5] 孫琦,袁平之.關(guān)于不定方程x4-Dy2=1的一個(gè)注記[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1997,34(3):265-267.

[6] Bennett M A, Walsh G. the Diophantine equations b2X4-dY2=1[J]. Proc Amer Math Soc, 1999, 127(12): 3481-3491.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

The Positive Integral Points on the Elliptic Curve y2=px(x2-64)

ZHAO Jing-jing
(Department of Logistics Management, Dianxi Science and Technology Normal University, Lincang 677000, China)

Letpbe odd prime. Using some properties of congruence, odd number and even number, it was proved that if p=17, then the elliptic curve in title has just one positive integer point (9,51), (17,255); if p≠17, then the elliptic curve in title has at most one pair positive integer point.

elliptic curve; congruence; positive integer point

O156.1

A

1009-9115(2016)02-0017-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.005

云南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（2014Y462）

2016-01-12

趙晶晶（1986-），女，彝族，云南臨滄人，碩士研究生，助教，研究方向?yàn)閿?shù)論及計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)。