復(fù)Swift-Hohenberg方程在一些Banach空間X^α中解的漸近行為

徐長(zhǎng)俊

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鹽城機(jī)電分院，江蘇 鹽城 224005）

復(fù)Swift-Hohenberg方程在一些Banach空間X^α中解的漸近行為

徐長(zhǎng)俊

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鹽城機(jī)電分院，江蘇 鹽城 224005）

研究復(fù)Swift-Hohenberg方程在一些Banach空間X^α中解的漸近行為時(shí)，不僅僅對(duì)整體解的存在性進(jìn)行證明，同時(shí)也是對(duì)整體吸引子A的存在性進(jìn)行證明。并結(jié)合本文的主要觀點(diǎn)，對(duì)指數(shù)吸引子M的存在性證明，將A有限的分形維數(shù)得到。在空間中擠壓性質(zhì)結(jié)合中，本文的框架不成立，在M構(gòu)造中，注重Banach空間的相關(guān)X^α中解應(yīng)用。

Swift-Hohenberg方程；Banach空間；X^α解；漸近行為

1 引言

基于一種Swift-Hohenberg方程中的解分析，往往存在長(zhǎng)時(shí)間的行為，在對(duì)解的漸近行為預(yù)測(cè)的過(guò)程中，更加注重整體吸引子的研究[1]?；谝环NSwift- Hohenberg方程中的加權(quán)Sobolev空間整體中的一種吸引子的存在性研究中，更是注重整體吸引子分形維數(shù)之間差異的變換，不同的整體吸引子往往存在一定的缺點(diǎn)，在軌道速度吸引的過(guò)程中，其擾動(dòng)敏感性相對(duì)較強(qiáng)[2]。1-維RSHE慣性流形之間存在性證明的過(guò)程中，基于一種所謂的普間隙性質(zhì)，注重慣性流形之間存在性的角度[3]。通過(guò)對(duì)Swift-Hohenberg方程的工作情況進(jìn)行分析，空間維數(shù)基本上小于2，在三次Swift-Hohenberg方程方程中，如式(1)所示。

對(duì)于NR中的有界開(kāi)集Ω往往存在一定的光滑邊界，而系數(shù)主要是一種復(fù)數(shù)，也即是

實(shí)數(shù)用δ表示。對(duì)于未知函數(shù)而言，

主要是一種復(fù)標(biāo)量，基于變量之間的一種含義，在結(jié)合具體物理背景的過(guò)程中，結(jié)合邊界條件的相關(guān)初始條件，如式(2)和式(3)所示。

Γ的外法線方向也即是n。在Banach空間X^α中解的漸近行為研究中，主要是結(jié)合空間

通過(guò)對(duì)X^α解的相關(guān)局部存在性進(jìn)行分析中，將其在右半軸進(jìn)行延伸，將整體吸引子的一種存在性進(jìn)行得到。最后基于X^α中指數(shù)吸引子的存在性進(jìn)行證明和分析，并結(jié)合Hilbert空間的形式，對(duì)X^α解的一種局部存在關(guān)系進(jìn)行分析，基于唯一性的主要特點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)的驗(yàn)證，對(duì)X^α的存在性進(jìn)行證明，將整體吸引子的存在性進(jìn)行得到，最后基于指數(shù)吸引子的全面存在，將整體吸引子分形維數(shù)的一種上界估計(jì)得出。

2 解的局部唯一性和存在性分析

解的局部唯一性證明的過(guò)程中，往往需要結(jié)合存在性進(jìn)行全面的證明。對(duì)于1＜p＜∞，假設(shè)ppX=L=L(Ω)在某種程度上主要是Ω的一種復(fù)pL空間，其中的范數(shù)，將其記為：

其中δ∈R，將其在Ω內(nèi)的一種廣義復(fù)中的Sobolev空間進(jìn)行記載，這種范數(shù)，也即是，有著一定的特別性[4]?；贐anach空間中Y的一種范數(shù)，也即是為。

線性算子的定義為：

其中基于分?jǐn)?shù)次冪的一種形式，存在空間賦予的有圖范數(shù)基于Xα依舊賦予相關(guān)的范數(shù)，為，設(shè)為：

基于抽象的cauchy初值問(wèn)題的理論，如式(4)所示

基于嵌入結(jié)果，如式(5)所示

基于Xα中的有界子集F主要是Lipschitz連續(xù)性的一種狀態(tài)，基于這一事實(shí)，結(jié)合Xα的有界子集U，如式(6)所示。

將其進(jìn)行進(jìn)一步的總結(jié)，也即是一種簡(jiǎn)單化的形式，通過(guò)一種簡(jiǎn)單的定理，得到一定唯一解的過(guò)程。

定理1對(duì)于任意的u0∈Xa,其中max的范圍為

存在唯一解Xα，也就是(,0) u=u t u定義，最大存在區(qū)間[0,Tmax]，則有，Tmax=+∞，基于一種Tmax＜+∞，也即是：

3 解的整體存在性和整體吸引子的存在性分析

Xa解在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，基于一種整體存在性的原則，結(jié)合解在空間中的相關(guān)應(yīng)用，做好整體吸引子存在性的分析[5]。

引理1假如參數(shù)β，γ，μ的一些實(shí)部為正，同時(shí)u0∈H，u作為已終結(jié)也即是：

主要是一種正常數(shù)。

引理2基于引理1的一種假設(shè)，假設(shè)u0∈H2，在假設(shè)的過(guò)程中，并假設(shè)u0∈H3，則

對(duì)于任意的初值，u0∈Xα，在一個(gè)整體Xα解u(t,u0)，將Xα上的相應(yīng)部分，進(jìn)行定義：

定義的證明過(guò)程中，做出相關(guān)的假設(shè)，假設(shè)Banach空間中存在X，同時(shí)A: D(A)→X作為X的一種扇形和正算子，在假設(shè)F：Xα→X作為Xα中有界子集中的一種Lipschitz連續(xù)性的一種函數(shù)。

定理2假設(shè)參數(shù)β，γ，μ實(shí)部為正同時(shí)，p≤2，基于X=LP且p＞2，在合適α選擇的過(guò)程中，XαaH3，在0∈Xα的過(guò)程中，其中Y=H3，基于同樣的方法，將會(huì)使得Xα解的整體存在，并使得整體吸引子存在。

4 x^α內(nèi)的指數(shù)吸引子分析

指數(shù)吸引子存在性證明的過(guò)程中，首先將指數(shù)吸引子的定義給出，結(jié)合一個(gè)緊中的連通子集，

同時(shí)，T一個(gè)緊的連通整體吸引力為A[6]。

定義一個(gè)緊集M主要是(T(t), x)中的一個(gè)指數(shù)吸引子，基于A?M?X ，同時(shí)T( t) M?M,?t≥0；對(duì)于M的分形維數(shù)而言，有著有限性的特點(diǎn)，也即是dimfM＜+∞；對(duì)于M而言，指數(shù)速度在對(duì)X所有軌道中進(jìn)行吸引過(guò)程中，存在一點(diǎn)C0，同時(shí)C1＞0，并使得

Hausdorff半距也即是X內(nèi)中的distx[7]。

由于M有著一個(gè)緊的吸收集，基于x的拓?fù)湎拢瑢?duì)于A而言，往往存在一定的分形維數(shù)。在指數(shù)吸引子存在性證明的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)Xα進(jìn)行假設(shè)，并在構(gòu)造過(guò)程中，產(chǎn)生Xα的緊不變集x[8]。

假設(shè)推導(dǎo)的過(guò)程中，

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)本文對(duì)復(fù)Swift-Hohenberg方程在一些Banach空間X^α中解的漸近行為的研究，在結(jié)合定理和引理的應(yīng)用中，表明解的局部存在唯一性和存在性，同時(shí)解的整體同樣也存在一定的存在性，基于整體吸引子也有著存在性的特點(diǎn)[9]。本文的研究主要結(jié)合前人的學(xué)術(shù)角度，并作出了相關(guān)的證明，為現(xiàn)代化高數(shù)微分方程的研究提供了相關(guān)的理論基礎(chǔ)和現(xiàn)實(shí)意義。

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[2] 韓英豪,程艷麗.在RN上的具有線性記憶項(xiàng)的非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的吸引子的Hausdorff維數(shù)和分形維數(shù)估計(jì)[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,34(2):129-136.

[3] 馬超.具強(qiáng)阻尼和臨界指數(shù)隨機(jī)plate方程的吸引子[D].西南交通大學(xué),2014:11-15

[4] 任怡靜.關(guān)于無(wú)界區(qū)域上具有記憶項(xiàng)的半線性耗散波動(dòng)方程的整體吸引子[D].遼寧師范大學(xué),2012:8-12

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[9] 徐長(zhǎng)俊.一些Banach空間內(nèi)復(fù)Swift-Hohenberg方程的指數(shù)吸引子[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2015,37(5):6-8.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

The Asymptotic Behavior of the Complex Swift-Hohenberg Equation in Banach Space X^α Solution

XU Chang-jun
(Jiangsu Union Technical Institute, Yancheng College of Mechatronic Technology, Yancheng 224005, China)

This paper studies the asymptotic behavior of complex Swift-Hohenberg equation in Banach space X^α of the solution. Not only the existence of global solutions was proved, but also the the existence of global attractor of the A. Combined with the main point of this paper, the exponential attractors for the proof of the existence of M and the fractal dimension A of the limited, were obtained. Extrusion in the space character of the combination, the frame of this paper is established in M structure, which is the solution to Banach spatial correlation X^α.

Swift-Hohenberg equation; Banach space; X^α solution; asymptotic behavior

O175

A

1009-9115(2016)02-0014-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.004

2015-07-28

徐長(zhǎng)俊（1978-），男，江蘇鹽城人，碩士研究生，講師，研究方向?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)及教學(xué)。