關(guān)于8p3階群的一個(gè)注記

陳松良，蔣啟燕

（1. 貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550018；2. 貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001）

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究

關(guān)于8p3階群的一個(gè)注記

陳松良1，蔣啟燕2

（1. 貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550018；2. 貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001）

設(shè)p為奇素?cái)?shù)（p≠3, 7），G是8p3階群。利用有限群的局部分析方法，證明了當(dāng)G的Sylow2-子群為8階初等交換群E8時(shí)G恰有21個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。結(jié)合其他文獻(xiàn)的分類結(jié)果，獲得了8p3階群G的同構(gòu)分類的完整結(jié)果。

有限群；同構(gòu)分類；群的構(gòu)造

1 引言

設(shè)p是奇素?cái)?shù)（p≠3，7），文獻(xiàn)[1]早在1995年就給出了階為8p3的群的分類結(jié)果，但沒有發(fā)表詳細(xì)證明過程；2005年文獻(xiàn)[2]重新討論并確定了Sylow 2-子群為交換群的8p3階群的構(gòu)造。但[1]與[2]的結(jié)論是不一致的，孰是孰非？值得澄清。文[3-6]應(yīng)用不同于[2]的又便于操作和理解的方法，分別確定了Sylow 2-子群為8階循環(huán)群C8，8階二面體群D8，8階四元數(shù)群Q8，型為(4, 2)的8階交換群C4×C2的8p3階群的構(gòu)造。本文將繼續(xù)應(yīng)用不同于[2]的方法，確定Sylow 2-子群為8階初等交換群E8的8p3階群的構(gòu)造，從而重新確定了階為8p3的群的完全分類。我們的結(jié)果與文獻(xiàn)[1]是一致的，我們有下面的定理：

定理1 如果G是Sylow 2-子群為8階初等交換群E8的8p3階群，其中p是一個(gè)奇素?cái)?shù)（p≠3，7），那么G恰有21個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

定理2如果G是8p3階群，其中p是一個(gè)奇素?cái)?shù)（p≠3，7），那么：

1）當(dāng)p≡1(mod 8)時(shí)，G恰有245個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；

2）當(dāng)p≡5(mod 8)時(shí)，G恰有199個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；

3）當(dāng)p≡3或7(mod 8)時(shí)，G恰有145個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

定理3如果G是Sylow 2-子群為可換群的8p3階群，其中p是一個(gè)奇素?cái)?shù)（p≠3，7），那么：

1）當(dāng)p≡1(mod 8)時(shí)，G恰有182個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；

2）當(dāng)p≡5(mod 8)時(shí)，G恰有136個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；

3）當(dāng)p≡3或7(mod 8)時(shí)，G恰有82個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

2 若干引理

引理1 如果G是Sylow 2-子群為8階循環(huán)群C8的8p3階群，其中p是一個(gè)奇素?cái)?shù)（p≠3，7），那么：

1）當(dāng)p≡1(mod 8)時(shí)，G恰有87個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；

2）當(dāng)p≡5(mod 8)時(shí)，G恰有41個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；

3）當(dāng)p≡3或7(mod 8)時(shí)，G恰有21個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明見文獻(xiàn)[3]。

引理2如果G是Sylow 2-子群為8階二面體群D8的8p3階群，其中p是一個(gè)奇素?cái)?shù)（p≠3, 7），那么G恰有40個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明見文獻(xiàn)[4]。

引理3如果G是Sylow 2-子群為8階四元數(shù)群Q8的8p3階群，其中p是一個(gè)奇素?cái)?shù)（p≠3, 7），那么G恰有23個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明見文獻(xiàn)[5]。

引理4如果G是Sylow 2-子群是型為(22, 2)的8階交換群C4×C2的8p3階群，其中p是一個(gè)奇素?cái)?shù)（p≠3，7），那么：

1）當(dāng)p≡1(mod 4)時(shí)，G恰有74個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；

2）當(dāng)p≡3(mod 4)時(shí)，G恰有40個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明見文獻(xiàn)[6]。

3 定理的證明

首先，給出定理1的證明。在下文中，總假定p是奇素?cái)?shù)（p≠3, 7），G是8p3階群，其Sylow 2-子群為8階初等交換群

其中

由Sylow定理易知，G的Sylow p-子群是正規(guī)子群，從而G是P與E8的半直積。為敘述方便，我們用|G|,|g|分別表示群G和元素g的階，且對元素g，h，記

由文獻(xiàn)[7]知p3階群有5種不同構(gòu)的類型：

1）循環(huán)群

其中

2）型為(p2, p)的交換群

3）初等交換群

4）指數(shù)是p2的非交換群P4=〈a, b〉，其中

5）指數(shù)是p的非交換群P5=〈a, b, c〉，其中

由于定理1的證明較長，我們分為5個(gè)引理來描述，而且為了簡化記號，我們將E8簡記為E。

引理5設(shè)p是奇素?cái)?shù)（p≠3，7），G的Sylow 2-子群為E而Sylow p-子群為循環(huán)群P1，那么G恰有2個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明因?yàn)镻1的自同構(gòu)群Aut(P1)是階為p2(p－1)的循環(huán)群，而E/CE(P1)同構(gòu)于Aut(P1)的一個(gè)子群，所以：

1）如果CE(P1)＝E，則G是P1與D的直積；

2）如果CE(P1)≠E，那么CE(P1)必是4階子群，不妨設(shè)

那么x誘導(dǎo)P1的一個(gè)2階自同構(gòu)，于是G有如下構(gòu)造：

引理5證畢。

引理6設(shè)p是奇素?cái)?shù)（p≠3，7），G的Sylow 2-子群為E而Sylow p-子群為型為(p2, p)的交換群P2，那么G恰有5個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明類似于文獻(xiàn)[8]，易證得G是超可解群。再由[9]之定理8.4.6，不妨設(shè)〈a〉，〈b〉都是E-不變的。由此得E/CE(a)，E/CE(b)分別同構(gòu)于Aut(〈a〉)與Aut(〈b〉)的某個(gè)子群，所以G有如下構(gòu)造：

1）當(dāng)CE(a)＝CE(b)＝E，顯然G是P2與E的直積。2）當(dāng)CE(a)＝E，CE(b)＝〈x, y〉時(shí)，G有如下構(gòu)造：

3）當(dāng)CE(a)＝〈x, y〉，CE(b)＝E時(shí)，G有如下構(gòu)造：

4）當(dāng)CE(a)，CE(b)是相同的4階子群時(shí)，不妨設(shè)

則G有構(gòu)造：

5）當(dāng)CE(a)，CE(b)是不同的4階子群時(shí)，不妨設(shè)

則G有如下構(gòu)造：

綜上所述知，引理6成立。

引理7設(shè)p是奇素?cái)?shù)（p≠3，7），G的Sylow 2-子群為E而Sylow p-子群為p3階初等交換群P3，那么G恰有8個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明由[9]之定理8.3.3，不難證明G是超可解的，再由[9]之定理8.4.6，我們不妨設(shè)〈a〉，〈b〉，〈c〉都是E-不變的。

1）當(dāng)CE(a)＝CE(b)＝CE(c)＝E時(shí)，G是P3與E的直積。

2）當(dāng)CE(a)，CE(b)，CE(c)中只有一個(gè)不是E時(shí)，不妨設(shè)

CE(c)≠E，

則CE(c)必是E的4階子群，不妨設(shè)

CE(c)＝〈x, y〉，

于是G有如下構(gòu)造：

3）當(dāng)CE(a)，CE(b)，CE(c)中只有一個(gè)是E時(shí)，不妨設(shè)

CE(a)＝E，

則

（1）當(dāng)CE(b)＝CE(c)時(shí)，不妨設(shè)CE(b)＝CE(c)＝〈x, y〉，

G有如下構(gòu)造：

（2）當(dāng)CE(b)≠CE(c)時(shí)，不妨設(shè)

G有如下構(gòu)造：

4）當(dāng)CE(a)，CE(b)，CE(c)都不是E時(shí)，則

（1）當(dāng)CE(a)＝CE(b)＝CE(c)時(shí)，不妨設(shè)其為〈x, y〉，

于是G有如下構(gòu)造：

其中

（2）當(dāng)CE(a)，CE(b)，CE(c)中恰有2個(gè)相同時(shí)，不妨設(shè)

于是G有如下構(gòu)造：

其中

（3）當(dāng)CE(a)，CE(b)，CE(c)彼此不同時(shí)，若

則不妨設(shè)

CE(a)＝〈x, y〉，CE(b)＝〈x, z〉，CE(c)＝〈x, yz〉，于是G有如下構(gòu)造：（4）當(dāng)CE(a)，CE(b)，CE(c)彼此不同時(shí)，若CE(a)∩CE(b)∩CE(c)＝Φ，

則不妨設(shè)

于是G有如下構(gòu)造：

綜上所述知，引理7成立。

引理8設(shè)p是奇素?cái)?shù)（p≠3，7），G的Sylow 2-子群為E而Sylow p-子群為指數(shù)是p2的p3階非交換群P4，那么G恰有2個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明因?yàn)镻4的中心C(P4)＝〈ap〉是p階群，而又不難證明〈ap,b〉是P4的唯一的p2階初等交換子群，從而它是P4的特征子群，于是它又必是G的正規(guī)子群。由此可見，G必是超可解群。類似于文獻(xiàn)[8]，由[9]之定理8.4.6知，可設(shè)〈a〉，〈b〉都是E-不變的。

1）當(dāng)CE(a)＝CE(b)＝E時(shí)，顯然G是P4與E的直積。

2）當(dāng)CE(a)＝〈x, y〉時(shí)，必有az＝a-1。將z作用在[a,b]＝ap的兩邊，易得bz＝b，于是CE(b)＝E，故G有如下構(gòu)造：

證畢。

引理9設(shè)p是奇素?cái)?shù)（p≠3，7），G的Sylow 2-子群為E而Sylow p-子群為指數(shù)是p的p3階非交換群P5，那么G恰有4個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明因?yàn)?/p>

所以〈c〉是G的正規(guī)子群，從而P5/〈c〉是E-不變的。如果E在P5上的作用是平凡的，則G是P5與E的直積。如果E在P5上的作用是非平凡的，則由[9]之定理8.3.3，不難證明G是超可解的，再根據(jù)[9]之定理8.4.6，我們不妨設(shè)〈a〉，〈b〉都是E-不變的，于是CE(a)與CE(b)中至少有一個(gè)是4階初等交換子群。注意到a，b在P5中是對稱的，因此G有如下幾種不同構(gòu)的類型：

1）當(dāng)CE(a)＝E，CE(b)＝〈x, y〉時(shí)，必有

再將z分別作用在

的兩邊得

于是G有如下構(gòu)造：

2）當(dāng)CE(a)＝CE(b)＝〈x, y〉時(shí)，必有

于是cz＝c，G有如下構(gòu)造：3）當(dāng)CE(a)＝〈x, y〉，CE(b)＝〈x, z〉時(shí)，必有

G有如下構(gòu)造：

綜上所述知，引理9成立。

由引理5至引理9，易知定理1成立。由定理1及引理1至引理4，即得定理2。由定理1，引理1與引理4，可得定理3。

注：當(dāng)p＝3，7時(shí)，8p3階群的構(gòu)造已確定，見文獻(xiàn)[10-12]。

[1] 肖文俊,譚忠.階為23p3的群的構(gòu)造[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1995,34(5):845-846.

[2] 蔡瓊.23p3階群的構(gòu)造[J].數(shù)學(xué)雜志,2005,25(4):449-452.

[3] 陳松良,歐陽建新,莫貴圈.論Sylow 2-子群是循環(huán)群的8p3階群的完全分類[J].貴州師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014,30(12):1-5.

[4] 陳松良,歐陽建新,李驚雷.論Sylow 2-子群是D8的8p3階群的完全分類[J].周口師范學(xué)院學(xué)報(bào),2015, 32(5):1-5.

[5] 陳松良,蔣啟燕.論Sylow 2-子群是Q8的8p3階群的構(gòu)造[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2015,32(1):16-19.

[6] 陳松良,蔣啟燕,崔忠偉.一類有可換Sylow 2-子群的8p3階群的完全分類[J].井岡山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,36(4): 1-6.

[7] 張遠(yuǎn)達(dá).有限群構(gòu)造[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

[8] 陳松良,李驚雷,歐陽建新.論p3q階群的構(gòu)造[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2013,48(2):27-31.

[9] H Kurzweil, B Stellmacher. The Theory of Finite Groups[M]. Springer-Verlag, New York, Inc. 2004.

[10] 陳松良.2744階群的構(gòu)造[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(中文版),2013,56(6): 993-1008.

[11] 陳松良.關(guān)于216階群的完全分類[J/OL].數(shù)學(xué)雜志,http:// www.cnki.net/kcms/detail/10.13548/j.sxzz2014.0113001.ht ml.

[12] 陳松良,歐陽建新,李驚雷.論60階群的構(gòu)造[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012,34(2):22-24.

（責(zé)任編輯、校對：趙光峰）

A Note on the Groups of Order 8p3

CHEN Song-liang1, JIANG Qi-yan2
(1. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal College, Guiyang 550018, China; 2. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang 550001, China)

Let p be an odd prime and G be groups of order 8p3, we have shown that G has 21 nonisomorphic structures if its Sylow 2-subgroup is elementary Abelian 2-group E8by means of local analysis of finite groups. With the help of the references published, we have gained the perfect results on the isomorphic classification of G with order 8p3.

finite group; isomorphic classification; structure of group

O152.1

A

1009-9115(2016)02-0001-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.001

貴州省科學(xué)技術(shù)基金（黔科合J字[2014]2142號）

2016-01-09

陳松良（1964-），男，湖南雙峰人，博士，教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)。