研究試題特征，把握復(fù)習方向

□浙江省杭州市江干區(qū)教育發(fā)展研究院 易良斌

筅新卷首

研究試題特征，把握復(fù)習方向

□浙江省杭州市江干區(qū)教育發(fā)展研究院 易良斌

各地中考數(shù)學(xué)試題主要考察十大核心概念。試題回歸四基，緊扣教材，體現(xiàn)探索圖形的形成過程，關(guān)注研究函數(shù)問題的基本方法，指向?qū)W科綜合學(xué)習。把握這些特征，有助于把握中考命題規(guī)律，有效復(fù)習備考。

中考試題 試題特征 復(fù)習建議

中考數(shù)學(xué)試題命題改革應(yīng)有利于切實減輕中學(xué)生過重的學(xué)業(yè)負擔，有利于引導(dǎo)學(xué)校深入實施素質(zhì)教育，推進課程教學(xué)改革，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，促進學(xué)生健康成長和全面和諧、富有個性的發(fā)展。

一、中考數(shù)學(xué)考試的基本理念、主要內(nèi)容與要求

基本理念：體現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》所確立的課程評價理念，從知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面進行評價，注重整體性、綜合性與實踐性，突出對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面考查。

內(nèi)容與要求：課程標準中“課程內(nèi)容”部分規(guī)定的“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”、“綜合與實踐”四個領(lǐng)域的內(nèi)容。主要考查的方面包括：基礎(chǔ)知識，基本技能，基本思想，基本活動經(jīng)驗；數(shù)學(xué)思考，發(fā)現(xiàn)、提出并分析、解決問題的能力；創(chuàng)新意識和科學(xué)的態(tài)度等。關(guān)注并體現(xiàn)的方面包括：數(shù)感，符號意識，空間觀念，幾何直觀，數(shù)據(jù)分析觀念，運算能力，推理能力，模型思想，應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等。設(shè)計一定的結(jié)合實際情境的問題、開放性問題、探究性問題、對學(xué)生學(xué)習過程考查的問題等，以體現(xiàn)對學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)能力的考查。注重通用通法，淡化特殊的解題技巧，適當控制運算量。

二、中考數(shù)學(xué)試題的一般特點

1.緊扣《課標》：一般不允許超出《課標》要求。

2.源于教材：為體現(xiàn)試題素材的公平性，一般題目盡量來源于教材。

3.覆蓋面廣：一般教材“章”的覆蓋率要達到100％，重點內(nèi)容重點考查。

4.聯(lián)系實際：一般有30％～40％的聯(lián)系當前熱點的實際應(yīng)用題，著重考查學(xué)生解決實際問題的能力。

5.突出方法：一般注重數(shù)學(xué)思想方法的考查，重點考查數(shù)形結(jié)合、方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)建模、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的考查。

6.體現(xiàn)探究：一般圍繞初中數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容設(shè)置形式多樣的探究性問題，著重考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

7.難易適度：一般要求得分率為75％～85％。

8.梯度呈現(xiàn)：一般設(shè)置有基礎(chǔ)題、中檔題和壓軸題，由易到難，梯級呈現(xiàn)，以便區(qū)分不同層次的學(xué)生。

三、中考數(shù)學(xué)特色試題分析

近幾年的中考試題立足基礎(chǔ)，突出重點，能力立意，考查學(xué)生對基本數(shù)學(xué)知識、方法的理解與掌握情況，考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想的狀況，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)學(xué)習潛能，從而檢測學(xué)生已有的和潛在的后續(xù)學(xué)習能力，體現(xiàn)考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)的考試目標，達到有利于引導(dǎo)和促進數(shù)學(xué)教學(xué)全面落實《數(shù)學(xué)課程標準》所設(shè)立的課程目標，有利于更新教師的課堂教學(xué)觀念，改進教師的教學(xué)行為，有利于改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習方式。

1.試題回歸四基，緊扣教材。

【例1】（2015廣西南寧）如圖1-1，為美化校園環(huán)境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設(shè)通道寬為a米。

（1）用含a的式子表示花圃的面積；

（3）已知某園林公司修建通道、花圃的造價y（1元）、y2（元）與修建面積x（m2）之間的函數(shù)關(guān)系如圖1-2所示，如果學(xué)校決定由該公司承建此項目，并要求修建的通道的寬度不少于2米且不超過10米，那么通道寬為多少時，修建的通道和花圃的總造價最低，最低總造價為多少元？

分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的長和寬后利用其矩形面積公式列出式子即可；

（3）根據(jù)圖象，設(shè)出通道和花圃的解析式，用待定系數(shù)法求解，再根據(jù)實際問題寫出自變量的取值范圍即可。

【評析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是表示出花圃的長和寬。試題源于教材、高于教材。

2.試題體現(xiàn)探索圖形的形成過程。

【例2】（2015湖南岳陽）已知直線m∥n，點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點。

（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當點A與點C重合時（如圖①所示），連接PB，請直接寫出線段PA 與PB的數(shù)量關(guān)系：。

（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k.求證：PA·PB=k·AB。

分析：（1）根據(jù)三角形CBD是直角三角形，而且點P為線段CD的中點，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，可得PA=PB，據(jù)此解答即可。

（2）首先過C作CE⊥n于點E，連接PE，然后分別判斷出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△PAC∽△PBE，即可判斷出PA=PB仍然成立。

（3）首先延長AP交直線n于點F，作AE⊥BD于點E，然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△AEF∽△BPF，即可判斷出AF·BP=AE·BF，再個AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA·PB=2k.AB，所以PA·PB=k·AB，據(jù)此解答即可。

【評析】此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力；考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握；考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握。

3.試題關(guān)注研究函數(shù)問題的基本方法。

【例3】（2014浙江杭州）復(fù)習課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx2-（4k+1）x-k+1（k是實數(shù)）。

教師：請獨立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論（性質(zhì)）寫到黑板上。

學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論.教師作為活動一員，又補充一些結(jié)論，并從中選擇如下四條：

（1）存在函數(shù)，其圖象經(jīng)過（1，0）點；

（2）函數(shù)圖象與坐標軸總有三個不同的交點；

（3）當x＞1時，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減?。?/p>

（4）若函數(shù)有最大值，則最大值必為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值必為負數(shù)。

【評析】試題的四條結(jié)論，分別涉及方程思想求解析式、圖象與坐標軸交點問題、函數(shù)單調(diào)性討論、函數(shù)最值等問題，覆蓋到函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，問題設(shè)計立足基礎(chǔ)，考查考生對基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用，也在一定程度上考查了考生的知識遷移能力和靈活應(yīng)用能力。問題看似相互獨立，實則可上下聯(lián)系，體現(xiàn)人文關(guān)懷，有利于學(xué)生充分發(fā)揮自己真實的數(shù)學(xué)水平，作為壓軸題，這樣的設(shè)計可謂高明。

4.試題指向?qū)W科綜合學(xué)習。

【例4】（2015湖北荊州）如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點E是AB上一點，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點，拋物線y=ax2+bx+c過點D，B，C三點。

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：ED是⊙P的切線；

（3）若將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，E點的對應(yīng)點E′會落在拋物線y=ax2+bx+c上嗎？請說明理由；

（4）若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由。

【評析】試題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；掌握平行四邊形的性質(zhì)點、平移的規(guī)律；會證明圓的切線。

四、中考數(shù)學(xué)復(fù)習教學(xué)建議

1.重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。從關(guān)注學(xué)生的主體性著手，重視學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和邏輯思維能力，從而促進知識的動態(tài)生成和學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度。學(xué)生只有具備敏銳的數(shù)學(xué)眼光，才能識別出題目中的有效信息。與此同時，細致耐心的做題態(tài)度也是不可或缺的。學(xué)生在平時的學(xué)習中要有意識地注重細節(jié)，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習習慣。

2.加強知識聯(lián)系與應(yīng)用的教學(xué)。概念是數(shù)學(xué)知識體系的基本單位，學(xué)生在學(xué)習時，對相似的概念和性質(zhì)容易混淆，對概念、公式、定理掌握不到位是影響學(xué)生解題的癥結(jié)所在。因此，在概念教學(xué)中，要對各個概念、公式和定理進行串聯(lián)、總結(jié)，將新學(xué)知識與其他知識發(fā)生多向聯(lián)系，用圖示等多種方式表征數(shù)學(xué)，采用開放性問題等，幫助學(xué)生厘清相關(guān)知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而做到對概念、定理和公式的透徹理解和靈活運用。

3.重視綜合實踐活動教學(xué)?！熬C合與實踐”是以問題為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習活動。綜合與實踐活動是以長作業(yè)的形式出現(xiàn)，將課堂內(nèi)的數(shù)學(xué)活動延伸到課堂外，讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、查閱資料、獨立思考、合作交流、推理論證等多種形式的活動。為此，教師在教學(xué)中要結(jié)合具體的課程內(nèi)容，精心設(shè)計一些能利用這些知識進行的探索活動，這些活動每位學(xué)生都能參與，不同的學(xué)生可以通過解決問題的過程，獲得不同的體驗。通過學(xué)生動腦、動手、動口，構(gòu)建學(xué)生自主探索、全過程參與獲取知識的平臺，使學(xué)生有經(jīng)歷觀察、猜測、計算、推理等活動的過程。本著“積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”的重要目標，既重在實踐，又重在綜合，注重數(shù)學(xué)與生活實際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的理性精神和人文價值。