四參數(shù)Logistic模型潛在特質(zhì)參數(shù)的Warm加權(quán)極大似然估計(jì)*

孟祥斌 陶 劍, 陳莎莉

(1東北師范大學(xué)教育學(xué)部; 2東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;3中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心東北師范大學(xué)分中心, 長春 130024)

1 引言

近30年來, 隨著統(tǒng)計(jì)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展, 項(xiàng)目反應(yīng)理論(Item Response Theory, IRT)的研究和應(yīng)用取得了長足的進(jìn)步。時(shí)至今日, 它已取代經(jīng)典測量理論成為測量學(xué)研究的核心內(nèi)容, 并在考試測評的諸多領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。

在IRT中, 單維二值評分模型的理論和技術(shù)最為成熟, 應(yīng)用也最為廣泛。二值記分模型通常假設(shè)被試的潛在特質(zhì)參數(shù)與反應(yīng)的正確概率之間滿足Logistic函數(shù)或者Probit函數(shù)關(guān)系。這兩類模型在一定程度上是等價(jià)的, 但Logistic模型因其參數(shù)估計(jì)容易計(jì)算而廣受青睞, 成為IRT領(lǐng)域最為重要的一族模型。根據(jù)項(xiàng)目參數(shù)個(gè)數(shù)的不同, 常用的Logistic模型分為單參數(shù)、兩參數(shù)和三參數(shù)(1PL, 2PL和3PL)模型。模型包含的參數(shù)越多, 模型所描述的現(xiàn)象就越廣泛, 但參數(shù)估計(jì)對算法的要求也會(huì)越高。近年來, 隨著IRT理論體系的日趨完善, 測量學(xué)者們開始努力嘗試四參數(shù)Logistic (4-Parameter Logistic, 4PL)模型的理論與應(yīng)用研究。

四參數(shù)模型的構(gòu)想最早是由Barton和Lord在1981年提出的, 目的是為了考慮高能力被試作答失誤的可能, 他們建議在3PL模型的基礎(chǔ)上加入一個(gè)小于1的項(xiàng)目特征曲線上漸近線參數(shù)。最初該參數(shù)被限定為公共參數(shù), 與項(xiàng)目無關(guān)。隨后一些研究發(fā)現(xiàn)(Linacre, 2004; Rupp, 2003; Tavares, de Andrade,& Pereira, 2004; Waller &Reise, 2009)不同項(xiàng)目特征曲線的上漸近線是存在差異的, 上漸近線參數(shù)被定義為項(xiàng)目參數(shù)更加科學(xué)。于是, 4PL模型的表達(dá)式為,

長期以來, 4PL模型的發(fā)展速度都非常緩慢,一直沒有引起測量學(xué)界的廣泛關(guān)注。主要原因是4PL模型的參數(shù)估計(jì)沒有被很好解決, 難以滿足測試的實(shí)際需要, 進(jìn)而導(dǎo)致4PL模型的實(shí)際價(jià)值也沒有得到充分驗(yàn)證。近些年, 關(guān)于4PL模型的理論與應(yīng)用研究相繼取得一些突破性的研究成果, 例如,Linacre (2004)和Rupp (2003)對上漸近線參數(shù)的價(jià)值進(jìn)行了深入的討論, 并給出了參數(shù)估計(jì)的計(jì)算方法。Loken和Rulison (2010)給出了4PL模型參數(shù)貝葉斯估計(jì)的Markov chain Monte Carlo (MCMC)算法, 有效解決了4PL模型項(xiàng)目參數(shù)的標(biāo)定, 這對4PL模型的使用具有重要意義。Rulison和Loken (2009)驗(yàn)證了, 在計(jì)算機(jī)自適應(yīng)測試(computerized adaptive testing, 簡稱CAT)中, 使用4PL模型能夠提高被試潛在特質(zhì)參數(shù)估計(jì)的精度。隨后, Green(2011), Liao,Ho, Yen和Cheng (2012)、Yen, Ho, Liao, Chen和Kuo(2012)相繼從多方面對4PL模型在CAT環(huán)境中的應(yīng)用進(jìn)行了更為深入的研究, 所得結(jié)果均表明4PL模型要優(yōu)于傳統(tǒng)的3PL模型。Magis(2013)對4PL模型信息函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)研究, 并給出一種信息函數(shù)最大值點(diǎn)的求解方法。此外, 在其它領(lǐng)域,4PL模型也有諸多成功地實(shí)踐, 如有興趣可查看以下文獻(xiàn)(Osgood, McMorris, &Potenza, 2002; Waller&Reise,2009; Tavares et al., 2004)。綜上所述, 無論是從方法論的角度, 還是基于實(shí)用性的目的, 4PL模型均具有極大的潛力和較高的應(yīng)用價(jià)值?？梢灶A(yù)見, 隨著4PL模型理論體系的日趨完善, 它必將成為未來主流的IRT模型之一, 在心理和教育測量的諸多領(lǐng)域發(fā)揮著不可替代的作用。

潛在特質(zhì)參數(shù)的估計(jì)是IRT的主要內(nèi)容之一,常用的方法有以下3種：(1)極大似然估計(jì)(maximum likelihoodestimate, MLE); (2)后驗(yàn)期望估計(jì)(expected a posteriori estimate, EAPE); (3)最大后驗(yàn)概率估計(jì)(maximum a posterioriestimate, MAPE)。在實(shí)際應(yīng)用中, MLE和EAPE是最常用的兩種估計(jì)方法, 它們具備優(yōu)良的大樣本性質(zhì)。但是, 如果測試項(xiàng)目較少,將導(dǎo)致MLE和EAPE的效能降低, 難以保證估計(jì)的無偏性和準(zhǔn)確性。潛在特質(zhì)參數(shù)估計(jì)的無偏性對項(xiàng)目反應(yīng)模型的應(yīng)用非常重要, 如果參數(shù)估計(jì)的偏差較大, 將給進(jìn)一步更為深入的測評帶來嚴(yán)重誤差(Warm, 1989;Penfield& Bergeron, 2005; Magis, 2014)。針對MLE和EAPE的這一不足, Warm在1989年提出一種3PL模型潛在特質(zhì)參數(shù)的加權(quán)極大似然法,降低了估計(jì)的偏差。隨后, Wang和Wang (2001)以及Penfield和Bergeron (2005)分別在CAT和線性測試環(huán)境下, 把Warm的加權(quán)極大似然估計(jì)(weighted maximum likelihoodestimator, WMLE)推廣到廣義局部評分模型(generalized partial credit model, GPCM),并驗(yàn)證了WMLE的優(yōu)越性。

借鑒已有研究經(jīng)驗(yàn), 本文以4PL模型為研究對象, 對其潛在特質(zhì)參數(shù)的WMLE進(jìn)行研究。首先,根據(jù)4PL模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn), 給出加權(quán)函數(shù)的構(gòu)造公式。然后, 對加權(quán)極大似然方程的求解過程進(jìn)行推導(dǎo)。最后, 通過計(jì)算機(jī)模擬在不同測試條件下對4PL模型潛在參數(shù)的WMLE、MLE和EAPE的性質(zhì)進(jìn)行比較, 以驗(yàn)證WMLE的優(yōu)越性。希望通過本文的研究, 能夠?yàn)?PL模型的應(yīng)用提供科學(xué)而有效的參數(shù)估計(jì)技術(shù)。

2 方法

這部分首先對4PL模型潛在特質(zhì)參數(shù)的MLE進(jìn)行簡要介紹; 然后, 引出4PL模型潛在特質(zhì)參數(shù)的WMLE并對相關(guān)計(jì)算過程進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo); 最后, 簡要給出4PL模型下潛在特質(zhì)參數(shù)EAPE的計(jì)算公式。

2.1 極大似然估計(jì)(MLE)

對方程(2)兩端取自然對數(shù)得到對數(shù)似然函數(shù),

因?yàn)樵摲匠虨榉蔷€性方程, 通常使用Newton-Raphson(N-R)迭代算法對其進(jìn)行求解。

2.2 加權(quán)極大似然估計(jì)(WMLE)

令

l

表示加權(quán)似然函數(shù), 根據(jù)加權(quán)似然的定義有

對方程(12)兩端取自然對數(shù)得對數(shù)加權(quán)似然函數(shù)為,

為了糾正估計(jì)的偏差, 根據(jù)Warm在1989年提出的加權(quán)理論,

f

(

θ

)必須且只需滿足以下等式條件,

不難發(fā)現(xiàn), 根據(jù)方程(15)推導(dǎo)出

f

(

θ

)是非常困難的, 而且滿足條件的

f

(

θ

)也不唯一, 但這并不會(huì)阻礙WMLE的求解。由方程(14)可知, 只要能夠推導(dǎo)出

B

′(

θ

),加權(quán)似然方程(14)隨之確定, 整個(gè)過程

f

(

θ

)是不必知道的。因此, 本研究首先要解決的問題是對4PL模型下的

B

′進(jìn)行推導(dǎo), 然后再給出求解加權(quán)似然方程的N-R迭代算法。

可以證明, 對于4PL模型有以下等式成立,

詳細(xì)證明過程請參見附錄。

根據(jù)方程(1)、(8)和(9)可得方程(16)的具體形式為，

再根據(jù)信息函數(shù)

I

(

θ

)的定義有,

最后, 將方程(17)和(18)代入方程(15),

對方程(19)和方程(4)進(jìn)行求和, 即可得到4PL模型的Warm加權(quán)似然方程(14)，由于該方程過于繁瑣, 這里就不給出它的具體形式了。

本研究采用N-R算法對4PL模型能力參數(shù)的Warm加權(quán)似然方程進(jìn)行求解。根據(jù)定義, 4PL模型下方程(14)的N-R迭代公式如下,

其中,

2.3 后驗(yàn)期望估計(jì)(EAPE)

EAPE與MLE相比, 優(yōu)勢是對于極端的反應(yīng)數(shù)據(jù)表現(xiàn)比較穩(wěn)定且容易計(jì)算, 不足是EAPE的偏差較大, 容易受到錯(cuò)誤先驗(yàn)信息的影響。一般來說,當(dāng)測試的項(xiàng)目數(shù)較少時(shí), 建議使用EAPE, 在項(xiàng)目數(shù)較多時(shí), MLE更受青睞。

在IRT中,

θ

的先驗(yàn)分布通常選取為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 其密度函數(shù)記為

φ

(

θ

).根據(jù)定義, 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)先驗(yàn)下的EAPE的計(jì)算公式如下,

表示

θ

的后驗(yàn)概率密度函數(shù)。

將方程(27)代入方程(26), 整理得

3 模擬研究

為了探明WMLE的具體表現(xiàn), 本次模擬通過設(shè)定不同的考試條件, 對WMLE、MLE和EAPE的偏度(bias)和返真性能進(jìn)行比較研究, 并對相關(guān)影響因素進(jìn)行分析。

3.1 模擬設(shè)計(jì)

不失一般性, 在這次模擬中,

θ

的真值取定為從?3.0到3.0以0.5為步長的間隔點(diǎn), 共計(jì)13個(gè)不同的能力值。測驗(yàn)長度

n

和項(xiàng)目區(qū)分度參數(shù)

a

是

θ

估計(jì)的主要影響因素, 為了考查它們的影響,

n

取定3個(gè)水平, 15, 30和50,

a

也取定3個(gè)水平, 0.5, 1.0和2.0, 交叉組合共生成9種測試條件. 每種測試條件下, 除

a

以外, 其它項(xiàng)目參數(shù)真值的選取方式如下:

按照以上設(shè)計(jì)選取參數(shù)真值后, 以4PL模型為真實(shí)模型, 為每個(gè)

θ

值隨機(jī)抽取測試反應(yīng)向量1000組。然后, 計(jì)算每組反應(yīng)數(shù)據(jù)對應(yīng)的WMLE(

θ

)、MLE(

θ

)和EAPE(

θ

). 需要強(qiáng)調(diào)的是, 如果隨機(jī)抽取了全是0或全是1的反應(yīng)向量, 應(yīng)予以刪除, 進(jìn)行重新抽取。這樣做的目的是為了使似然方程有解,即MLE(

θ

)存在。

最后, 為了比較3種估計(jì)方法的偏差和返真性能, 需要計(jì)算以下3種指標(biāo)：平均偏差(mean error, ME)、絕對平均偏差(absolutemean error, ABME)和均方根誤差(rootmean squared error, RMSE ),

3.2 模擬結(jié)果

3.2.1 WMLE、MLE和EAPE的偏差比較

圖1和圖2展示了9種測驗(yàn)條件下WMLE ()

θ

,MLE()

θ

和EAPE()

θ

的ME和ABME隨

θ

的變化曲線。經(jīng)仔細(xì)觀察, 可以發(fā)現(xiàn)以下現(xiàn)象：(1)如圖1所示, WMLE()

θ

和EAPE(

θ

)的ME具有相同的變化趨勢, 當(dāng)

θ

小于0.0(測試中心)時(shí),它們的ME趨于正的, 即估計(jì)值比真值偏大; 當(dāng)

θ

大于0.0時(shí), 它們的ME趨于負(fù)的, 即估計(jì)值比真值偏小。MLE()

θ

的ME表現(xiàn)出恰恰相反的變化趨勢,0.0左側(cè)的

θ

值對應(yīng)的ME趨于負(fù)的, 0.0右側(cè)的

θ

值對應(yīng)的ME趨于正的。3種估計(jì)ME的變化趨勢與已有研究相吻合(Warm, 1989; Penfield & Bergeron,2005), 符合它們偏差的變化特點(diǎn)。(2)如圖2所示, 每種測試條件下, WMLE()

θ

的ABME都是3種估計(jì)中最小的, 其次是MLE(

θ

),EAPE()

θ

的ABME最大。這說明WMLE()

θ

的偏差最小(無偏性最佳), MLE()

θ

的偏差其次(無偏性居中), EAPE()

θ

的偏差最大(無偏性最差)。

(4)隨著

m

或

a

的增加, 3種估計(jì)的ABME均表現(xiàn)出減小的趨勢, 并且它們的差異也隨之減小。例如, 當(dāng)

a

=2.0,

m

=50時(shí), 3種估計(jì)的ABME均是9種測試條件下最小的, 并且3種估計(jì)ABME的差異也是最小的。此外,

m

和

a

對MLE(

θ

)和EAPE (

θ

)的ABME影響非常顯著, 而對WMLE(

θ

)的ABME影響微乎其微。甚至在

m

和

a

均較小的情況下, 例如, 當(dāng)

a

=0.5,

m

=15時(shí), WMLE(

θ

)也沒有表現(xiàn)出較大的偏差。這說明, 相比于其它兩種估計(jì)方法,WMLE的無偏性受實(shí)際情況影響較小, 保持了很高的穩(wěn)定性。

3.2.2 WMLE、MLE和EAPE的返真性能比較

圖3展示的是, 9種測試條件下, 3種估計(jì)的RMSE隨

θ

的變化曲線. 經(jīng)仔細(xì)觀察, 可以發(fā)現(xiàn)：

(2)WMLE(

θ

)的RMSE隨

θ

的變化比較穩(wěn)定,即使對于極大或極小的

θ

值, 它的RMSE也沒有出現(xiàn)很大幅度的增加, 當(dāng)

m

較大時(shí), 它的RMSE曲線要更加平穩(wěn)。這說明對于大多數(shù)

θ

值, WMLE(

θ

)都表現(xiàn)出優(yōu)良的返真性能, 這對4PL模型的實(shí)際應(yīng)用非常有意義。EAPE(

θ

)的RMSE隨

θ

的變化也較為穩(wěn)定, 只是在

m

=15的條件下, 它的RMSE變化較為顯著。相比之下, MLE()

θ

的RMSE隨

θ

的變化最為劇烈, 隨著

θ

遠(yuǎn)離0.0, MLE()

θ

的RMSE明顯增大, 返真性能明顯降低。

圖1 九種測試條件下, WMLE、MLE和EAPE的ME變化曲線

圖2 九種測試條件下, WMLE、MLE和EAPE的ABME變化曲線

圖3 九種測試條件下, WMLE、MLE和EAPE的RMSE變化曲線

(3)隨著

m

的增大, WMLE()

θ

、MLE()

θ

和EAPE()

θ

的RMSE均表現(xiàn)出顯著減小的趨勢, 而且它們之間的差異也隨之減小。隨著

a

的增加,EAPE()

θ

和WMLE()

θ

的RMSE表現(xiàn)為減小的趨勢,但MLE()

θ

的RMSE的變化跟

θ

的取值范圍有關(guān)。當(dāng)

θ

在測試中心附近時(shí), MLE()

θ

的RMSE隨的增加而減小, 否則, 隨

a

的增加而增大。線性測試的特點(diǎn)、

a

對測試信息量的影響以及MLE的大樣本性質(zhì),是導(dǎo)致這一現(xiàn)象的原因。根據(jù)MLE的大樣本性質(zhì)可知, MLE()

θ

的精度完全由測試的信息量決定,在線性測試中,

a

越大, 距離測試中心較近的

θ

值的測試信息量越大, 而距離測試中心較遠(yuǎn)的

θ

值的測試信息量越小。所以, 隨著

a

的不同, MLE()

θ

的RMSE表現(xiàn)出上述變化趨勢是符合MLE的性質(zhì)的。(4)與偏差的表現(xiàn)類似, 隨著測試情況的變化,WMLE()

θ

的返真性能表現(xiàn)出較高的穩(wěn)定性, 受測試條件的影響很小, 另外兩種估計(jì)方法的返真性能的穩(wěn)定性相對較差, 易受考試實(shí)際情況影響。從實(shí)際應(yīng)用的角度看, 方法性質(zhì)的穩(wěn)定性很重要, 性質(zhì)穩(wěn)定的方法意味著更加安全, 所以應(yīng)更受青睞。

4 結(jié)論與展望

本文基于Warm的加權(quán)極大似然估計(jì)理論提出了適用于4PL模型潛在特質(zhì)參數(shù)的WMLE。理論上, WMLE能夠保持較高的精度并降低潛在特質(zhì)參數(shù)估計(jì)的偏差, 這對IRT模型的應(yīng)用具有重要的意義。模擬研究的結(jié)果表明：與MLE和EAPE相比,WMLE表現(xiàn)出更加優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。首先, WMLE的偏差要明顯小于MLE和EAPE; 其次, WMLE具有良好的返真性能, 保證估計(jì)具有較高的精度; 最后, WMLE的性質(zhì)(偏差和返真性能)對測試長度和項(xiàng)目區(qū)分度的變化表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性, 即使在測試長度較短或項(xiàng)目區(qū)分度較低的情況下, WMLE的性質(zhì)依然良好。相比之下, MLE和EAPE的穩(wěn)定性就要差一些, 測試長度對MLE有很大的決定作用,而項(xiàng)目區(qū)分度對EAPE的影響比較顯著。因此, 當(dāng)測試的項(xiàng)目不多時(shí), 不宜選用MLE, 當(dāng)測試項(xiàng)目的區(qū)分度不高時(shí), 需謹(jǐn)慎考慮選用EAPE。

在形式上, WMLE與MAPE完全一樣, 但WMLE并不要求權(quán)函數(shù)

f

(

θ

)是概率密度函數(shù), 所以WMLE與MAPE在理論上存在本質(zhì)的不同。近年來, Magis等一批學(xué)者對WMLE與MAPE的關(guān)系進(jìn)行了深入研究, 取得了一些重要結(jié)果。Warm (1989)證明了2PL模型的WMLE與Jeffreys先驗(yàn)下的MAPE (簡稱JMAPE)存在等價(jià)關(guān)系, 這一結(jié)論具有較高的學(xué)術(shù)價(jià)值, 也引起了人們的關(guān)注。Magis (2015)證明：在GPCM下這種等價(jià)關(guān)系依然成立。不過, Magis和Raiche (2012)的研究表明, 3PL模型的WMLE與JMAPE的等價(jià)關(guān)系不成立, 同水平

θ

的WMLE值要比JMAPE值稍大一些。3PL模型的WMLE是否與其它先驗(yàn)下的MAPE存在等價(jià)關(guān)系, Magis的研究并未提及。4PL模型潛在特質(zhì)參數(shù)的WMLE與MAPE是何關(guān)系, 能否與某種先驗(yàn)下的MAPE等價(jià),是值得我們進(jìn)一步深入研究的問題。因?yàn)樵搯栴}比較復(fù)雜, 僅僅通過模擬比較難以得到一般性的結(jié)論,所以本文沒有對WMLE與MAPE的性質(zhì)進(jìn)行比較。

此外, 本次模擬研究是在線性測試的環(huán)境下進(jìn)行的, 所得結(jié)論不能簡單的推廣到CAT。根據(jù)CAT的設(shè)計(jì)原理, 每個(gè)被試所作答的試卷都是為其“量身定做”的, 保證了測試中心與被試潛在特質(zhì)水平的距離最小。由圖3可知, 當(dāng)被試的潛在特質(zhì)水平與測試中心非常接近時(shí), EAPE表現(xiàn)出最好的返真性能?？梢? 在CAT的環(huán)境下, 4PL模型的WMLE未必能具有與本研究類似的優(yōu)良性, 很有可能EAPE具有最佳效果。但這僅僅是一種預(yù)想, 具體情況有待被進(jìn)一步深入研究。

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附錄

定理

：對于4PL模型(1), 有以下等式成立,

證明

：根據(jù)方程(6)和(7)有,