一類含擾動因子的積分和結(jié)構(gòu)的極限研究

杜厚維,陳忠　(長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

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一類含擾動因子的積分和結(jié)構(gòu)的極限研究

杜厚維,陳忠(長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

[摘要]針對一類因含擾動項而不滿足積分和標準形式的極限問題, 對擾動項有界和無界的情況進行了歸納。無界擾動的情況下，當擾動項趨于無窮的速度快慢不同時，擾動項對整個結(jié)果的影響也不同。首先利用夾逼原理對擾動項進行放縮，將擾動項放縮成與求和對象i無關(guān)的結(jié)構(gòu)，從而把求和的部分湊成積分和因子與一個跟求和對象i無關(guān)因式的乘積，再將與求和對象i無關(guān)的因式置于求和符號外, 然后基于乘積的極限運算法則和定積分定義求解經(jīng)處理后的極限問題。對擾動項趨于無窮的速度與nα進行比較，分別給出了α<1和α>1 這2種情況下的結(jié)果，該結(jié)果為處理該類問題的一般性結(jié)論。最后通過算例說明該方法的有效性。

[關(guān)鍵詞]極限; 夾逼定理; 積分和; 定積分

記:

1夾逼定理

引理1[1~5](夾逼定理) 若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足：

1) ?n0∈N，當n>n0時，有yn≤xn≤zn;

2主要結(jié)論

定理1函數(shù)f(x)，g(n,i)滿足：

1)f(x)在區(qū)間[0,1]可積，且f(x)≥0(或f(x)≤0);

2)?α<1,c1,c2>0,s.t.-c1nα≤g(n,i)≤c2nα，i=1,2,…,n。

則：

證明以f(x)≥0為例證明。由第2個條件知：

由f(x)≥0有：

又f(x)在區(qū)間[0,1]可積，則：

由引理2知：

定理2函數(shù)f(x)，g(n,i)滿足：

1)f(x)在區(qū)間[0,1]可積，且f(x)≥0;

2)?α>1,c>0,g(n,i)≥cnα(或g(n,i)≤-cnα),i=1,2,…,n。

則：

證明以g(n,i)≤cnα為例證明。由第2個條件知：

由f(x)≥0有：

又f(x)在區(qū)間[0,1]可積，則:

由引理2知：

3算例

解令f(x)=xex;g(n,i)=n2i≥n2,i=1,2,…,n。由定理2知：

4結(jié)語

對含擾動項不滿足積分和標準形式的求極限問題，當擾動項有界時，為定理1的特例，當擾動項無界時，定理1、定理2給出了無界擾動的普遍性結(jié)論，計算實例說明了該方法的有效性。

[參考文獻]

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[2]陳紀修,於崇華,金路.數(shù)學分析[M].第2版.北京：高等教育出版社，2004.

[3]蒲和平.大學生數(shù)學競賽教程[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2014.

[4]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法究[M].第2版.北京：高等教育出版社,2006.

[5]毛京中.高等數(shù)學學習指導[M].北京:北京理工大學出版社,2001.

[編輯]張濤

[引著格式]杜厚維,陳忠.一類含擾動因子的積分和結(jié)構(gòu)的極限研究[J].長江大學學報(自科版)，2015,12(34)：5~7.

[中圖分類號]O171.2

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-1409(2015)34-0005-03

[作者簡介]杜厚維(1978-)，男，碩士，講師，現(xiàn)主要從事應(yīng)用泛函分析方面的教學與研究工作；E-mail:116889973@qq.com。

[基金項目]國家自然科學基金項目(11201039，61273179)。

[收稿日期]2015-08-28