突破領(lǐng)域樊籬 還原數(shù)學(xué)本真

韋建華

摘 要：教師是課堂教學(xué)中的主導(dǎo)者，將學(xué)生向什么方向引導(dǎo)，取決于教師自身對教學(xué)文本內(nèi)容的理解和創(chuàng)新。許多數(shù)學(xué)知識問題本身蘊含著探求未知世界、追求科學(xué)真理的功能。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的領(lǐng)悟理解與解題運用都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價值的重要方面，隨著社會的發(fā)展與進(jìn)步，厚此薄彼的現(xiàn)象一定會成為歷史。

關(guān)鍵詞：質(zhì)疑；突破；引導(dǎo)

社會需要進(jìn)步與發(fā)展，發(fā)展需要融合與創(chuàng)新。為此，我們的教育教學(xué)課程也在進(jìn)行著一輪又一輪的改革，我們的課堂教學(xué)模式不斷推陳出新。知識的力量來源于知識的獲得和應(yīng)用過程，根據(jù)現(xiàn)代建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，在這個過程中教師的主導(dǎo)作用在于“導(dǎo)”。教學(xué)模式改革能更新我們的引導(dǎo)方式，然而引導(dǎo)什么，將學(xué)生向什么方向引導(dǎo)，取決于我們教師自身對文本的理解和創(chuàng)新。筆者結(jié)合自身初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的兩個案例談?wù)勛约簩?shù)學(xué)單元教學(xué)“突破”的看法與感悟。

一、突破章節(jié)領(lǐng)域的樊籬舉例——相似三角形章節(jié)教學(xué)中的典型圖形“A型”與“X型”教學(xué)

如圖1和圖2，點D在AB上，點E、F在AC上。當(dāng)∠ADE=∠B或等價于這一條件時，△ADE∽△ABC，為平行性相似；當(dāng)∠AFD=∠B或等價于這一條件時，△AFD∽△ABC，為不平行性相似。這就是相似三角形中的A型和X型。

A型和X型兩個幾何模型在初中幾何學(xué)習(xí)實踐中運用非常廣泛，這里不一一贅述。我想談一個我們平時教學(xué)中都會碰到的典型問題。如圖3，當(dāng)DE∥BC時圖中有幾對相似三角形？如圖4，當(dāng)∠AED=∠ABC時，圖中有幾對相似三角形？問題理解：（1）共性——這兩個問題都是“A型”中包含“X型”；（2）區(qū)別——其中一個是平行的相似，另一個是不平行的相似；（3）意義——以上問題看似兩個問題，實質(zhì)是一類問題的有機(jī)組合，是我們相似形單元教學(xué)的核心問題之一。這兩個問題在我們單元教學(xué)時都會進(jìn)行講解，而且還會多次重復(fù)，但收效并不明顯。有經(jīng)驗的老師會將這兩個問題一起對比著進(jìn)行講解，但似乎仍有令人費解之處。下面我將我的講解方法與大家探討。

第一層次，從相似三角形判定條件出發(fā)講清原因。設(shè)計問題導(dǎo)學(xué)1：當(dāng)DE∥BC時，如圖3，可得幾對三角形相似？學(xué)生會回答：△ADE∽△ABC和△DOE∽△COB。但是，學(xué)生還會說△ADC與△AEB、△BOD與△COE分別相似。特別是△BOD與△COE，學(xué)生會由△DOE∽△COB得出，再由且∠DOE=∠EOC得出△BOD∽△COE。此時老師要介入引導(dǎo)，師生共同質(zhì)疑是否為△BOD與△COE相似的兩邊成比例的對應(yīng)條件，等等。從而得出正確結(jié)論：當(dāng)DE∥BC時，只有△ADE∽△ABC和△DOE∽△COB兩對三角形相似。設(shè)計問題導(dǎo)學(xué)2：當(dāng)∠AED=∠ACB時，如圖4，可得幾對三角形相似？學(xué)生開始會回答只有△AED∽△ABC，接著，有學(xué)生會想到△AEB∽△ADC（由△AED∽△ABC？圯，又因為∠A=∠A得出△AEB∽△ADC）。還有嗎？老師繼續(xù)引導(dǎo)。學(xué)生進(jìn)一步思考，能夠得到△DOB∽△EOC，接著探究又能得出△DOE∽△BOC。還有嗎？學(xué)生意猶未盡，但是在有學(xué)生提出△BDE與△CED等時，學(xué)生是比較容易從角不一定對應(yīng)相等來反駁的。在分析不存在更多相似三角形之后，總結(jié)：如圖4，當(dāng)∠AED=∠ACB時，有△AED∽△ABC、△AEB∽△ADC、△ DOB∽△EOC、△DOE∽△BOC四對相似三角形。這樣雖然講清道理了，但學(xué)生就掌握了嗎？是否只有知識理解的厚度，缺乏幾何認(rèn)知規(guī)律的一致性引導(dǎo)，而不利于學(xué)生的理解記憶呢？——不平行的反而相似三角形對數(shù)增加了，為什么？

第二層次，深度探究，從圖形特征闡述內(nèi)在區(qū)別。一般來說特殊圖形往往具備更多的特殊性質(zhì)。平行在學(xué)生心中印象很深，學(xué)生大多會認(rèn)為這個條件更具備特殊性，理應(yīng)有更多的相似三角形。上述問題似乎與這一經(jīng)驗不符，不平行的反而相似三角形對數(shù)增加了。開始我也不解其因，特殊圖形應(yīng)該具備更為特殊的性質(zhì)，作為教師如果不能將這個問題想清楚，就不能引導(dǎo)學(xué)生在直覺感性上接受。在之前圓的教學(xué)中，新蘇科版教材增添了圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)性質(zhì)定理——蘇科版數(shù)學(xué)2013版八年級第59頁。由此，可知圓的內(nèi)接四邊形外角等于相鄰內(nèi)角的對角。反過來，如果一個四邊形的外角等于內(nèi)對角，這個四邊形就是圓的內(nèi)接四邊形，這個結(jié)論學(xué)生是能夠理解的。圖4中的四邊形BCED不就是圓的內(nèi)接四邊形嗎？于是我有感而發(fā)，提出了問題導(dǎo)學(xué)3：四邊形BCED有什么特殊之處？并進(jìn)一步解釋，由∠AED=∠ACB能得到四點B、C、E、D在同一個圓上。既然如此，“四點共圓”顯然要比“平行”條件更特殊，四對相似三角形存在的內(nèi)在合理性不言而喻。

以往在對待上述問題時只是就題講題，而且要多次重復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生最終也只有厚度理解，而缺乏直覺感性認(rèn)識，容易遺忘，教學(xué)效果欠佳。突破章節(jié)領(lǐng)域的樊籬，追本溯源多角度鏈接導(dǎo)學(xué)，能推動我們的教學(xué)整體聯(lián)動，使我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)煥發(fā)活力，從而更大程度上提升教學(xué)質(zhì)量。

二、突破數(shù)形領(lǐng)域的樊籬舉例——關(guān)于“一次函數(shù)圖象是一條直線”教學(xué)

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的三大特殊函數(shù)之一，而且是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個重要函數(shù)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中具有重要的基礎(chǔ)作用。一次函數(shù)圖象的許多重要性質(zhì)以及它的應(yīng)用都是建立在圖象是直線的基礎(chǔ)之上，而且今后在學(xué)習(xí)曲線函數(shù)圖象時，還要通過直線函數(shù)來反證曲線的合理性。作為教學(xué)多年的教師，深知一次函數(shù)圖象的基礎(chǔ)地位，如果不將一次函數(shù)圖象是直線這一現(xiàn)象給學(xué)生講清楚，我實過不了自己這一關(guān)。于是，在做好課前知識鋪墊、準(zhǔn)備后，基于數(shù)學(xué)研究的一般方法——操作演示、觀察猜想、驗證證明，有了下面的教學(xué)實踐。

事先學(xué)生先通過列表、描點，觀察猜想一次函數(shù)圖象是一條直線。如果不加深究，我們可以再讓學(xué)生畫幾個一次函數(shù)的圖象，列表、描點、連線，再用幾個滿足函數(shù)表達(dá)式的特殊值為坐標(biāo)的點驗證在所畫直線上。但是我們知道列舉不能作為說明命題正確性的真正理由，與說明命題錯誤不同。于是我提出了問題，為什么一次函數(shù)的圖象是一條直線？生答：通過畫圖觀察可知，通過驗證可知。師導(dǎo)：特例不能代替全部呀，我們有沒有推理說明的方法呢？下面我運用由特殊（角平分線性質(zhì)）到一般（相似三角形邊對應(yīng)成比例）的方法進(jìn)行了深度講解和剖析。

我在黑板上已畫好的平面直角坐標(biāo)系中，用尺規(guī)畫出了一三象限的角平分線，然后問：這條直線上的點的坐標(biāo)有何特征？生答：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以縱坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)。師導(dǎo)：這條直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系是什么？生答：y=x。師導(dǎo)：滿足函數(shù)y=x的點（x，y）是否在這條直線上？生答：在。師導(dǎo)：y=x是什么函數(shù)？生答：正比例函數(shù)，一次函數(shù)。師導(dǎo)：好，下面我將這條直線向下平移一個單位，經(jīng)過點（0，-1）。師導(dǎo)：下面這條直線的函數(shù)表達(dá)式你能否得出？學(xué)生猜想：y=x-1。師導(dǎo)：能證明嗎？我們?nèi)我猱嬕粭l垂直于x軸的直線m，如圖所示交這兩條直線于點B、C，BC與OA相等嗎？為什么？生答：相等，因為四邊形OABC是平行四邊形。師導(dǎo)：因為點C在直線y=x上，令任意點C的坐標(biāo)為（x，x），則點B的坐標(biāo)為（x，x-1），所以點B的縱坐標(biāo)y=x-1。由于可以是任意位置，如圖虛線位置有同樣的結(jié)論，所以這條直線表達(dá)式為y=x-1。反之，滿足函數(shù)y=x-1坐標(biāo)（x，y）的點也在這條直線上。這也就證明了一個非正比例的一次函數(shù)y=x-1的圖象也是直線，它是由y=x的圖像平移得到的。同樣可證函數(shù)y=x+b的圖象是一條直線。

下面進(jìn)一步引導(dǎo)到一般情形。師導(dǎo)：那么是否任意正比例函數(shù)圖象都是直線呢？師導(dǎo)：如圖點A的坐標(biāo)為（1，2），畫直線OA，作AB⊥x軸，垂足為點B，則=2，你能說出直線OA上的任意點C的坐標(biāo)特征嗎？生答：縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值是2。師導(dǎo)：為什么？生答：如圖點C（x，y）為直線上任意一點，作CD⊥x軸，垂足為點D，則能得出△CDO∽△ABO，再由相似三角形邊對應(yīng)成比例，可以得到=2，即=2。師導(dǎo)：很好，根據(jù)前面我們介紹的相似三角形的知識，實際上就說明了這條直線的函數(shù)表達(dá)式是y=2x。反之，滿足函數(shù)y=2x坐標(biāo)（x，y）的點也在這條直線上。由此可知正比例函數(shù)y=2x的圖象是一條直線。以此類推，任意正比例函數(shù)y=kx的圖象都是一條直線。師導(dǎo)：那么函數(shù)y=2x-1呢？y=2x+b呢？生答：再運用平移的方法可以得到它們的函數(shù)圖象，比如：向下平移一個單位，令任意點G的坐標(biāo)為（x，2x），則點F坐標(biāo)為（x，2x-1），于是得到直線EF上點的橫縱坐標(biāo)變量函數(shù)關(guān)系為y=2x-1，直線EF是一次函數(shù)的圖象。師導(dǎo)：很好，以此類推，可以說明函數(shù)y=2x+b的圖象是一條直線。用同樣的方法可以說明任意一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線。

通過以上探索，先說明正比例函數(shù)圖象是一條直線，然后通過平移得出一般的一次函數(shù)圖象也是一條直線，同時闡明了一次函數(shù)圖象之間平行的關(guān)系特征。在說明函數(shù)問題的過程中結(jié)合圖形的平移、平行四邊形、相似三角形、坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識，蘊含了由特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)科學(xué)研究方法，突破了數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何章節(jié)單一領(lǐng)域范疇。筆者上完，整個課堂感覺酣暢淋漓。師生共同感受到了數(shù)學(xué)探究、創(chuàng)新的快樂。“代數(shù)、幾何原本屬于數(shù)學(xué)不同的領(lǐng)域范疇，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！保ā獢?shù)學(xué)家華羅庚語。）。

數(shù)學(xué)是人類文明和智慧的結(jié)晶，書本上的每一個知識點都是數(shù)學(xué)先輩們畢生的心血，經(jīng)歷了上百年甚至數(shù)千年的磨礪。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的領(lǐng)悟理解與解題運用都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價值的重要方面，隨著社會的發(fā)展與進(jìn)步，厚此薄彼的現(xiàn)象一定會成為歷史。

編輯 王團(tuán)蘭