淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

汪文舉

摘 要：作為組成數(shù)學(xué)思想方法重要部分，數(shù)形結(jié)合是數(shù)與形相通性的反映，相互間能在一定條件下進(jìn)行轉(zhuǎn)化。高中數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合形式主要體現(xiàn)在：針對形的相關(guān)屬性利用精確的數(shù)來闡明；針對數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系利用直觀的幾何來闡明。通俗來說數(shù)形結(jié)合就是以形助數(shù)和以數(shù)解形。為此，本文就高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行了探析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)方法

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）02-085-02

數(shù)學(xué)作為高中教育體系的基礎(chǔ)課程，以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象。近年來我國不斷推廣實(shí)施素質(zhì)教育和新課改，高中教育不僅限于單純的知識傳授，更重視對其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)將教學(xué)質(zhì)量提高視為首要的關(guān)注焦點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)并非單一固定的，它呈多樣化發(fā)展趨勢，而數(shù)形結(jié)合僅是其重要的教學(xué)方法之一。

一、函數(shù)教學(xué)中數(shù)變形的應(yīng)用

數(shù)形之間的關(guān)系相互對應(yīng)，針對抽象的數(shù)量問題，學(xué)生無法有效把握，而形的特點(diǎn)形象直觀，能夠清晰地將思維具體表達(dá)出來，對解決問題可起到定性的作用，實(shí)踐教學(xué)時教師不妨將目的和手段分別明確為形和數(shù)，找出對應(yīng)數(shù)的形，通過圖形解決相應(yīng)的數(shù)字問題。

例1：函數(shù)f（x）已知滿足f（x+1）=f（x-1），而f（x）=x?時x [-1，1]的條件，那么方程式f（x）=1gx的解為（D）。

A、7；B、5；C、10；D、9

探討：函數(shù)f（x）的周期和值域分別為2和[0，1]，而f（x）=1gx，故x [0，10]，將兩個函數(shù)圖形畫出來，其相互交叉的點(diǎn)則為解，詳細(xì)可見下方函數(shù)圖形。

如果解題過程中遇到三角、指數(shù)、根式等復(fù)雜函數(shù)方程解個數(shù)的討論，以兩個熟悉的函數(shù)表達(dá)式來替代方程式兩邊的代數(shù)式，并將兩個函數(shù)圖形在同一坐標(biāo)系上畫出來，其相互交叉的點(diǎn)便是方程式解的個數(shù)，這種解題方法是最基本也是最簡易的。

例2：方程x?-4|x|+5-m=0的實(shí)數(shù)解恰有不同的4個，能否求出實(shí)數(shù)m取值的范圍？本題最終求得為5>m>1。

探討：假設(shè)函數(shù)y1=x?-4|x|+5且函數(shù)y2=m，那么函數(shù)y1和函數(shù)y2相互交叉的橫坐標(biāo)點(diǎn)即方程x?-4|x|+5=m的實(shí)數(shù)解，而與這兩個函數(shù)圖形相互對應(yīng)的交點(diǎn)共有4個，也就是說方程x?-4|x|+5=m的實(shí)數(shù)解共計不同的4個，如下圖兩個函數(shù)圖形在同一直角坐標(biāo)系中，可見5>m>1為實(shí)數(shù)m最終求出的取值范圍。

函數(shù)圖形的升降與函數(shù)單調(diào)性呈正相關(guān)；函數(shù)圖形的對稱性又與奇偶性相互聯(lián)系；函數(shù)圖形最高和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)則可解決最值即值域的問題。

二、幾何教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何教學(xué)一直是重難點(diǎn)，特別是其中解析幾何教學(xué)，但從數(shù)形結(jié)合角度來看，坐標(biāo)圖形與解析幾何之間有著極為密切的聯(lián)系，實(shí)際上坐標(biāo)法在解析幾何研究中，就是將代數(shù)語言視作基礎(chǔ)，通過幾何元素的運(yùn)用來進(jìn)行分析，達(dá)到解決其問題的目的。

例3：針對判定同一平面內(nèi)兩條直線位置間的關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行教學(xué)。已知在同一平面內(nèi)兩條直線AB和PQ，其中Q（0，-1），A（2，3），P（1，0），B（-1，0），嘗試對兩條直線PQ和AB位置關(guān)系進(jìn)行判定。

而本題中，數(shù)形結(jié)合畫圖解答法相比直線方程解答法更加便捷快速，其基本不會出現(xiàn)較大誤差。教師要在已知兩條直線坐標(biāo)的條件下，引導(dǎo)學(xué)生將坐標(biāo)圖畫出來，對兩條直線進(jìn)行直觀的觀察，然后再對其中屬于平行的位置關(guān)系作出判斷。但要注意必須確保答案的準(zhǔn)確性，為此教師還應(yīng)該教會學(xué)生如何驗(yàn)證答案。一般可采取斜率關(guān)系計算式： ， ，由于KAB與KPQ相等，故兩條直線AB和PQ相互平行。

但其中需要注意一點(diǎn)，判斷兩條直線位置關(guān)系教學(xué)中，教師必須堅持嚴(yán)謹(jǐn)無誤的教學(xué)原則，囑咐學(xué)生解答同類題目時多加驗(yàn)證，充分體現(xiàn)出數(shù)與形相互補(bǔ)充的作用。雖然此題可采取方程解答法，卻相對較為復(fù)雜，若有多種解法，則以簡便小誤差的數(shù)形結(jié)合解答法為首選，特別是數(shù)學(xué)考試過程中更應(yīng)如此。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形互變的應(yīng)用

數(shù)學(xué)中“數(shù)形互變”主要是指數(shù)與形的相互變換，而非單一的“形變數(shù)”或“數(shù)變形”，其不但要由嚴(yán)密的“數(shù)”聯(lián)系直觀的“形”，更要由直觀的“形”變?yōu)閲?yán)密的“數(shù)”。也就是說解決這類問題必須同時立足于已知和結(jié)論，找出其內(nèi)在數(shù)形互變的關(guān)系并進(jìn)行認(rèn)真分析，通?？磾?shù)思形、見形想數(shù)是最基本的方法，即結(jié)合形化數(shù)和數(shù)變形。

例4：直線 ：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m R），圓C：（x-1）?+（y-1）?=25，為已知條件。①針對m不同的取值，可得直線互不相同，那么圓截得的這些直線中弦長有無大小值之分？若有該如何求出最值與其相應(yīng)直線方程？②判斷兩者之間的位置關(guān)系？

探討：關(guān)于兩者間位置關(guān)系判斷的方法共計三種。1）方程組解答法，對判別式0與△大小的判斷；2）比較半徑r與圓心到直線 距離的大小關(guān)系；3）

（下轉(zhuǎn)第87頁）