巧用數(shù)形結(jié)合思想 妙解初中數(shù)學(xué)問題

蘇曉陽

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想之一，也是最基本的一種數(shù)學(xué)思維方式。數(shù)形結(jié)合思想對于提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式具有重要作用。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時，要將代數(shù)語言準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為幾何圖形，才能保證結(jié)果的正確性。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；有效應(yīng)用

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）02-065-02

所謂的數(shù)形結(jié)合就是將數(shù)學(xué)問題中的“數(shù)”與“形”有效的結(jié)合在一起來解決問題，也是能夠?qū)⒊橄笾R形象化的一種重要的數(shù)學(xué)思想。而數(shù)形結(jié)合思想作為四大基本思想之一，對提高學(xué)生的問題解題能力有著事半功倍的效果。

一、數(shù)與代數(shù)中的數(shù)形結(jié)合

這部分內(nèi)容與原教學(xué)大綱比，數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容有很大改變和加強(qiáng)。它重視滲透和揭示基本的數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系及其相關(guān)學(xué)科的聯(lián)系，在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)里，我認(rèn)為，應(yīng)該抓住實(shí)數(shù)與樹軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的關(guān)系，有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，借助數(shù)軸處理好相反數(shù)和絕對值的意義，有理數(shù)大小的比較，有理數(shù)的分類，有理數(shù)的加法運(yùn)算，不等式的解集在數(shù)軸上的表示等。教師要賦予這些系統(tǒng)內(nèi)容新的活力，采用符合課標(biāo)理念的教法，在吃透新課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷試驗(yàn)、探索的過程，體驗(yàn)如何用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用的能力，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原動力。

例1 圖形隱含條件：

例：在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。

解：∵b<0，c<0，b>c，a>b，|c|>|a|∴a-b>0，b-c>0，a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=（a-b）-（b-c）-2（a+c）=-a-2b-c。

二、“空間與圖形”中的數(shù)形結(jié)合

新課程中的幾何內(nèi)容做了較大的刪改，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，降低了論證過程形式化的要求和證明的難度。我想，這無疑給了教師充分脫脂的空間。教師要把握好數(shù)學(xué)思想方法在整個教學(xué)發(fā)展中的地位，對于“數(shù)形結(jié)合”，教師要善于挖掘教材和生活中的素材，從形到數(shù)，揭示“形”中“數(shù)”的本質(zhì)。

例2如圖1，是連接在一起的兩個正方形， 大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，問： 若只許剪兩刀， 應(yīng)如何裁剪， 使之能拼成一個新的大正方形？

圖1 圖2

解析：對這一問題， 學(xué)生往往采取實(shí)驗(yàn)的方法， 這里裁一刀， 那里試一剪， 但卻極少有人能在短時間內(nèi)拼湊好. 如果對題目認(rèn)真加以分析， 我們不難發(fā)現(xiàn)， 從已知到結(jié)論，圖形雖然變了， 但其中卻還有沒變的東西：面積. 若設(shè)小正方形的面積為1則其邊長就是1.這樣一來， 我們僅需沿著圖中長為 的線段去考慮裁剪即可，而圖中這樣的線段沒有幾條， 于是很快就能找到答案（ 如圖2）。

問題之所以能很快解決，關(guān)鍵是我們從問題“變”中看到了“不變”，從“形”的表面找到了“數(shù)”這一實(shí)質(zhì)。一個似乎是純幾何的問題，在“數(shù)”的引導(dǎo)下獲得了最好的解決方式，這種由表及里，形中有數(shù)的思想方法，正是數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

三、“統(tǒng)計(jì)與概率”中的數(shù)形結(jié)合

新課標(biāo)中的統(tǒng)計(jì)與概率，在內(nèi)部編排和內(nèi)容要求上卻有所加強(qiáng)，真正讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過程，發(fā)現(xiàn)并提出問題，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ占驼頂?shù)據(jù)，運(yùn)用合適的統(tǒng)計(jì)表統(tǒng)計(jì)圖來展示數(shù)據(jù)做出決策。

例3：在一個不透明的袋子里裝有除數(shù)字以外其它均相同的4個小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4.一人先從袋中隨機(jī)摸出一個小球，另一人再從袋中剩下的3個小球中隨機(jī)摸出一個小球，用樹狀圖列出挑選的概率。

從樹狀圖可以看出所有可能結(jié)果共有12種，且每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同，符合條件的結(jié)果有8種，∴P（和為奇數(shù)）

四、應(yīng)用題中的數(shù)形結(jié)合

甲、乙兩地相距23千米，A從甲地到乙地，在乙地停留20分鐘后，又從乙地回到甲地；B從乙地到甲地，在甲地停留30分鐘后，又從甲地返回到乙地，若A、B同時從甲、乙兩地出發(fā)，經(jīng)過5小時后，在他們各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小時，求兩人的速度。

分析：這是一道已知條件十分復(fù)雜的應(yīng)用題，將數(shù)與形結(jié)合，借助圖形來分析，就直觀、清楚多了。A、B所走的路程可用下圖表示：從圖中可清楚地看到，A、B兩人從出發(fā)到最后相遇正好共走完了甲、乙兩地間距離的3倍，即等量關(guān)系為：A走的路程 + B走的路程 =23×3。如果設(shè)B每小時走X千米，則A每小時走X+3千米，由于兩人途中都停留了一段時間，A實(shí)際走 小時，B實(shí)際走 小時，由此就不難列出方程： ，

得出 ， （下轉(zhuǎn)第68頁）