非線性趨勢KPSS檢驗(yàn)、模型誤設(shè)與檢驗(yàn)流程構(gòu)建

江海峰，汪忠志

(安徽工業(yè)大學(xué) a.商學(xué)院；b.數(shù)理學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

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江海峰a，汪忠志b

(安徽工業(yè)大學(xué) a.商學(xué)院；b.數(shù)理學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

摘要：利用理論推導(dǎo)和蒙特卡洛模擬方法，研究非線性趨勢數(shù)據(jù)生成模型中KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布規(guī)律，并總結(jié)出KPSS檢驗(yàn)流程。 理論研究表明，在原假設(shè)和備擇假設(shè)成立時(shí)，相關(guān)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在大樣本下都收斂到維納過程的泛函，且KPSS檢驗(yàn)不能有效區(qū)分趨勢類型，模擬研究也得出類似結(jié)論。實(shí)證研究顯示，通過使用KPSS檢驗(yàn)流程，可以精確確定數(shù)據(jù)生成過程。

關(guān)鍵詞：KPSS檢驗(yàn)；單位根；蒙特卡洛模擬；模型誤設(shè)

一、引 言

自Phillips首次從理論上證明單位根導(dǎo)致偽回歸以來，單位根檢驗(yàn)日益受到重視[1]。根據(jù)假設(shè)設(shè)定形式，假設(shè)檢驗(yàn)分為兩類：以存在單位根為原假設(shè)的檢驗(yàn)(本文稱為第一類檢驗(yàn))，主要有ADF、PP、DF-GLS、NRS和NP檢驗(yàn)；以序列平穩(wěn)為原假設(shè)的檢驗(yàn)，其中以Kwaitkowski等人的KPSS檢驗(yàn)最為常用[2]。后者的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ腿缦拢?/p>

yt=dt+ξt+εt

ξt=ξt-1+ut

(1)

t=1,2,…,T

(2)

k=1,2

相對于第一類檢驗(yàn)，KPSS檢驗(yàn)研究相對滯后，總體來說，主要集中在以下三個(gè)方面：

一是拓展研究。例如Hobijn等人考慮d0t=0時(shí)KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布，并證實(shí)無論在哪種假設(shè)下，只要數(shù)據(jù)生成過程含d2t而估計(jì)模型含d1t，或者數(shù)據(jù)生成過程含d1t而估計(jì)模型含d0t時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都具有一致性[3]。Hadri和Horváth等人將結(jié)構(gòu)突變引入模型，并考察一個(gè)突變點(diǎn)時(shí)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布和檢驗(yàn)效果[4-5]。Matteo等人針對d1t=c提出KPSS秩檢驗(yàn)量，而封福育將ESTAR模型與KPSS檢驗(yàn)相結(jié)合，考察購買力平價(jià)的非線性檢驗(yàn)[6-7]。

三是誤設(shè)研究。Carrion-i-Silvestre指出：當(dāng)模型存在水平突變但突變點(diǎn)被誤設(shè)時(shí)，KPSS檢驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)水平扭曲，扭曲程度取決于突變幅度[11]。Hadri等人則從模擬角度證實(shí)：當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，如果數(shù)據(jù)生成d1t，而誤用d2t估計(jì)，檢驗(yàn)水平并未發(fā)生扭曲，但會(huì)過渡拒絕原假設(shè)[4]。這表明KPSS檢驗(yàn)同時(shí)受到數(shù)據(jù)生成過程和估計(jì)模型選擇的影響，一旦兩者不匹配，就會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論。

顯然，以上研究既豐富了KPSS檢驗(yàn)理論，為降低水平扭曲程度和提高檢驗(yàn)精度作出了貢獻(xiàn)，又提示在實(shí)證分析中要正確設(shè)定KPSS檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｓ纱瞬浑y發(fā)現(xiàn)，上述研究視角與第一類檢驗(yàn)完全一致，但在研究內(nèi)容上，和第一類檢驗(yàn)相比仍有幾個(gè)方面值得進(jìn)一步完善。

第一，Schmidt和Phillips考慮一般趨勢下單位根LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，揭示第一類單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布隨趨勢遞增的變化規(guī)律，但對含一般趨勢的KPSS檢驗(yàn)尚沒有文獻(xiàn)討論[12]。

第二，第一類檢驗(yàn)隱含數(shù)據(jù)生成具有二次趨勢的單位根檢驗(yàn)*對應(yīng)數(shù)據(jù)生成和估計(jì)模型都含有線性趨勢單位根過程，由于檢驗(yàn)量服從正態(tài)分布，因此很少被關(guān)注。，但在KPSS檢驗(yàn)中，已有研究最高趨勢僅為線性趨勢，對具有非線性二次趨勢宏觀經(jīng)濟(jì)序列而言，這顯然不能滿足實(shí)證分析的需要。

第三，Hobijn等人考慮數(shù)據(jù)生成為d2t(d1t)而估計(jì)模型為d1t(d0t)時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的一致性，但對反向檢驗(yàn)?zāi)Ｊ綑z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)沒有研究[3]；Hadri等人也僅從模擬角度考查原假設(shè)成立時(shí)，生成模型為d1t而檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閐2t這一特定反向KPSS檢驗(yàn)?zāi)Ｊ絒4]。顯然，為全面考察KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)，理論和實(shí)證分析還要研究其它類型反向檢驗(yàn)結(jié)論及其解釋。

第四，由于單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布同時(shí)受到數(shù)據(jù)生成過程與模型設(shè)置形式影響，所以單位根檢驗(yàn)過程也是數(shù)據(jù)生成識(shí)別過程，研究表明：KPSS檢驗(yàn)本身難以區(qū)分模型誤設(shè)，故檢驗(yàn)必須遵循一定的邏輯順序。為此有必要為KPSS檢驗(yàn)構(gòu)建一個(gè)類似第一類檢驗(yàn)的DJSR流程*該流程由Dolado等人提出，用于確定第一類檢驗(yàn)中數(shù)據(jù)生成過程。，但沒有文獻(xiàn)對此進(jìn)行研究[13]。

鑒于此，首先，本文研究一般趨勢生成模型KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布與一致性；其次，為滿足實(shí)證分析需要，給出二次趨勢模型KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量常見臨界值，在此基礎(chǔ)上著重討論模型誤設(shè)時(shí)不同趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布與性質(zhì)，導(dǎo)出識(shí)別趨勢類型的趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布與常見臨界值；再根據(jù)模型誤設(shè)檢驗(yàn)結(jié)論構(gòu)建KPSS檢驗(yàn)流程；最后，使用該流程進(jìn)行實(shí)證分析。本文揭示了KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布隨趨勢遞增而變化的規(guī)律，完整地導(dǎo)出模型誤設(shè)理論，并系統(tǒng)地提出KPSS檢驗(yàn)流程，實(shí)證研究介紹了如何使用該檢驗(yàn)流程完成檢驗(yàn)，因而本文具有較強(qiáng)的理論價(jià)值和實(shí)踐指導(dǎo)意義。

二、非線性趨勢模型KPSS檢驗(yàn)

(一)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布

設(shè)數(shù)據(jù)生成過程為：

yt=β0+β1t+β2t2+…+βm-1tm-1+ξt+εt

ξt=ξt-1+ut

t=1,2,…,T

(3)

yt=β0+β1t+β2t2+…+βm-1tm-1+εt

(4)

構(gòu)造如下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

dW(r)

(5)

另一方面有：

(6)

據(jù)此得到：

(二)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的一致性

接下來討論該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在備擇假設(shè)成立時(shí)的性質(zhì)，定理2給出了結(jié)論。

(7)

所以有：

利用此結(jié)論得到：

三、二次趨勢KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

宏觀經(jīng)濟(jì)序列往往會(huì)呈現(xiàn)出非線性趨勢，但很少超過二次趨勢，因此需要單獨(dú)考察m=3時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量臨界值與模型誤設(shè)時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)。

(一)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布與臨界值

表1　部分樣本下η3常見臨界值模擬結(jié)果

(二)模型誤設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)

定理2表明η3具有一致性，從而具有較高的檢驗(yàn)功效，但這僅當(dāng)m都為3且模型正確設(shè)定時(shí)的結(jié)論。如果真實(shí)模型中m分別為1、2、4以及零均值平穩(wěn)模型和單位根過程，而估計(jì)模型都為二次趨勢平穩(wěn)過程，則檢驗(yàn)結(jié)論如何呢？為便于說明和不失一般性，假設(shè)εt和ut均為無關(guān)獨(dú)立同分布過程。

考察m為1、2和零均值的檢驗(yàn)結(jié)論，即假設(shè)數(shù)據(jù)生成過程分別為：

yt=β0+β1t+β2t2+εt

(8)

t=1,2,…,T

yt=β0+β1t+β2t2+ξt+εt

(9)

ξt=ξt-1+ut

t=1,2,…,T

其中式(8)對應(yīng)趨勢平穩(wěn)過程，式(9)對應(yīng)單位根過程。當(dāng)考察零均值模型時(shí)有β0=β1=β2=0，當(dāng)m為1時(shí)有β0≠0,β1=β2=0，當(dāng)m為2時(shí)有β1≠0,β2=0。估計(jì)模型為：

yt=b0+b1t+b2t2+vt

(10)

則有定理3成立。

(11)

故

(12)

從而有：

推論1表明：如果數(shù)據(jù)生成是非零均值平穩(wěn)過程，而誤用線性趨勢模型進(jìn)行KPSS檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量η2分布與數(shù)據(jù)生成和估計(jì)都與線性趨勢模型結(jié)果完全相同，這從理論上解釋了Hadri等人的模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果。顯然，定理3及其推論拓展了Hobijn等人的反向檢驗(yàn)結(jié)論。

再考察m為4時(shí)的結(jié)果，即假設(shè)數(shù)據(jù)生成過程分別為：

yt=c0+c1t+c2t2+c3t3+εt

(13)

yt=c0+c1t+c2t2+c3t3+ξt+εt

(14)

ξt=ξt-1+ut

其中c3≠0，式(13)對應(yīng)趨勢平穩(wěn)過程，式(14)對應(yīng)單位根過程，而估計(jì)模型仍為式(10)，則有如下定理4成立。

因此有：

從而得到：

若數(shù)據(jù)生成為式(14)，由于t3在數(shù)據(jù)生成過程中起支配作用，單位根成分ξt作用被湮沒，相關(guān)結(jié)論與式(13)相同，故定理4成立。定理4拓展了Hobijn等人的結(jié)論。

(三)蒙特卡羅模擬分析

表2　不同數(shù)據(jù)生成模型下的模擬結(jié)果　(單位：%)

四、趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布與KPSS檢驗(yàn)流程

(一)趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布

定理3表明，即使數(shù)據(jù)生成中m為1、2或者均值為零，當(dāng)原假設(shè)和備擇假設(shè)分別成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量η3的性質(zhì)與m為3時(shí)完全相同。因此，當(dāng)以式(10)估計(jì)并執(zhí)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果接受原假設(shè)，此時(shí)還需進(jìn)一步判斷m值，當(dāng)備擇假設(shè)成立時(shí)亦是如此，這實(shí)際上就是檢驗(yàn)式(8)、(9)中趨勢項(xiàng)參數(shù)βi=0,i=0,1,2是否成立，推論1和推論2也類似表明需要對模型中趨勢類型進(jìn)行識(shí)別。鑒于實(shí)際經(jīng)濟(jì)序列趨勢很少超過二次，本文不討論m為4時(shí)的參數(shù)檢驗(yàn)。當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，式(8)中βi=0檢驗(yàn)可以使用普通t檢驗(yàn)，本文不作介紹，但對備擇假設(shè)成立的式(9)而言，相關(guān)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布收斂到維納過程的泛函，需要使用模擬方法得到臨界值。下面分析備擇假設(shè)成立時(shí)趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布。

先建立假設(shè)H0:β2=0，此時(shí)數(shù)據(jù)為一次趨勢附帶單位根過程，根據(jù)式(11)有：

此分布中含未知量σu，不能直接用于檢驗(yàn)。根據(jù)式(12)并結(jié)合原假設(shè)H0:β2=0成立有：

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t2不含未知成分，可以檢驗(yàn)假設(shè)H0:β2=0。對于檢驗(yàn)H0:β1=0和H0:β0=0，對應(yīng)數(shù)據(jù)分別為非零均值和零均值并附帶單位根過程，相應(yīng)估計(jì)模型為式(10)中分別剔除b2和b1的結(jié)果。根據(jù)以上推導(dǎo)過程類似得到：

為在實(shí)證分析中應(yīng)用上述檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，需要給出相應(yīng)的臨界值，限于篇幅，表3僅給出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t2常見臨界值的模擬結(jié)果。

表3　檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t2不同樣本下的臨界值模擬結(jié)果

(二)KPSS檢驗(yàn)流程

為得到正確的檢驗(yàn)結(jié)論，防止模型誤設(shè)，根據(jù)模型誤設(shè)檢驗(yàn)結(jié)論和趨勢項(xiàng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布結(jié)果，總結(jié)KPSS檢驗(yàn)流程如下：

步驟一：以式(10)為基礎(chǔ)進(jìn)行KPSS檢驗(yàn)，如果接受原假設(shè)，進(jìn)入步驟二，否則進(jìn)入步驟三；

步驟二：分別估計(jì)二次趨勢、一次趨勢和非零均值的模型，并分別對模型中的二次趨勢項(xiàng)、一次趨勢項(xiàng)和非零均值項(xiàng)使用普通t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，確定模型最終趨勢類型；

步驟三：在式(9)中利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t2檢驗(yàn)假設(shè)H0:β2=0，如果拒絕原假設(shè)，表明模型為二次趨勢并附帶單位根過程，否則進(jìn)入步驟四；

步驟四：在式(9)中令β2=0，重新估計(jì)一次趨勢模型，利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t1檢驗(yàn)假設(shè)H0:β1=0，如果拒絕原假設(shè)，表明模型為一次趨勢并附帶單位根過程，否則進(jìn)入步驟五；

步驟五：在式(9)中令β1=β2=0，再次估計(jì)非零均值模型，利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t0檢驗(yàn)假設(shè)H0:β0=0，如果拒絕原假設(shè)，表明模型為非零均值并附帶單位根過程，否則為零均值附帶單位根過程。

五、實(shí)證研究

表4　6個(gè)序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

顯然，使用本文KPSS檢驗(yàn)流程也得到了與第一類檢驗(yàn)相同的結(jié)論，與第一類檢驗(yàn)DJSR流程相比，不需要計(jì)算聯(lián)合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，因而更為簡便。

六、結(jié) 論

通過以上研究，本文得到以下結(jié)論。

一般趨勢KPSS檢驗(yàn)理論研究表明：若數(shù)據(jù)生成為m階趨勢平穩(wěn)過程時(shí)，KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量收斂到m階布朗橋過程的泛函。當(dāng)數(shù)據(jù)生成是m階趨勢單位根過程時(shí)，KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有一致性，該研究推廣了已有結(jié)論。

二次趨勢模型KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量臨界值模擬表明：該臨界值對樣本變化呈現(xiàn)出穩(wěn)定態(tài)勢，因此可用于呈現(xiàn)二次趨勢變量的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，該結(jié)果拓寬了實(shí)證分析范圍。

模型誤設(shè)理論研究表明：使用KPSS檢驗(yàn)必須同時(shí)確定模型中趨勢類型，該分析解釋了Hadri等人的模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)一步完善了KPSS檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼`設(shè)檢驗(yàn)理論。

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(責(zé)任編輯：李勤)

汪忠志，男，安徽安慶人，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：金融數(shù)學(xué)，信息論。

【統(tǒng)計(jì)理論與方法】

KPSS Test for Nonlinear Trend, Model Misspecification and Construction of Test Process

JIANG Hai-fenga， WANG Zhong-zhib

(a. School of Business; b. School of Mathematics and Physics, Anhui University of Technology, Ma'anshan 243032, China)

Abstract:Based on the theoretical deduction and Monte Carlo simulation, this paper studies the distribution of KPSS and trend test statistics for data generation process with nonlinear trend, and the KPSS test process is also summarized. The theoretical research shows that these test statistics converge in large samples to the function of Wiener process under the null hypothesis and alternative hypothesis, and that the KPSS test can not effectively distinguish the trend type. Similar conclusions are drawn from simulation results . Empirical research indicates that the data generation process can be accurately determined through the use of the KPSS test procedure.

Key words:KPSS test; unit root; Monte Carlo simulation; model misspecification

中圖分類號(hào)：O211.6∶F224.0

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-3116(2015)12-0009-08

作者簡介：江海峰，男，安徽巢湖人，管理學(xué)博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟(jì)理論及應(yīng)用；

基金項(xiàng)目：國家社會(huì)科學(xué) 《基于Bootstrap方法下單位根檢驗(yàn)研究》(13BJY011)；安徽省高校優(yōu)秀青年人才計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目

收稿日期：2015-04-30