人民幣匯率的均值回復(fù)檢驗(yàn)及Hurst指數(shù)計(jì)算

甄宗政

摘要：布雷頓森林體系的瓦解使得全球貨幣匯率進(jìn)入浮動(dòng)匯率階段，貨幣匯率不再是固定不變的，而是有市場(chǎng)因素決定，匯率風(fēng)險(xiǎn)逐漸進(jìn)入人們的視線。而外匯期權(quán)作為應(yīng)對(duì)匯率波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的一種金融衍生工具，被很多企業(yè)和公司所認(rèn)知。但是人民幣匯率期權(quán)發(fā)展時(shí)間較晚，國(guó)內(nèi)外對(duì)此研究并不是很完善，本文考慮到人民幣匯率形成機(jī)制中的均值回復(fù)情況，利用回歸分析法進(jìn)行均值回復(fù)檢驗(yàn)，并在此基礎(chǔ)上借鑒已有文章利用R語言編程計(jì)算出人民幣對(duì)美元匯率的Hurst指數(shù)。以期能夠?yàn)槿嗣駧磐鈪R期權(quán)的定價(jià)提供一些借鑒意義。

關(guān)鍵詞：均值回復(fù)檢驗(yàn)；Hurst指數(shù)；人民幣匯率；R語言

中圖分類號(hào)：F832.6 文獻(xiàn)識(shí)別碼：A 文章編號(hào)：1001-828X（2016）001-000-02

一、研究背景及意義

隨著世界經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，金融市場(chǎng)也在不斷創(chuàng)新。20世紀(jì)70年代布雷頓森林體系瓦解之后，人們漸漸注意到匯率風(fēng)險(xiǎn)的重要性。尤其是在全球化不斷加深的今天，跨國(guó)公司和跨國(guó)交易已經(jīng)成為世界經(jīng)濟(jì)體中日益普遍的存在。為了規(guī)避匯率風(fēng)險(xiǎn)，外匯期權(quán)便應(yīng)運(yùn)而生，為進(jìn)行兩種貨幣交易的經(jīng)濟(jì)主體提供了一種良好的規(guī)避匯率風(fēng)險(xiǎn)的工具。

中國(guó)作為當(dāng)今世界第三大經(jīng)濟(jì)體，經(jīng)濟(jì)的持續(xù)高速發(fā)展和境外投資的加速使得人民幣對(duì)其他貨幣的交易日益頻繁，尤其是近期人民幣納入一籃子貨幣之后，極大的促進(jìn)人民幣金融衍生產(chǎn)品的快速發(fā)展。人民幣外匯期權(quán)具有規(guī)避人民幣匯率波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)和完善人民幣匯率形成機(jī)制的重要作用。[1]而要想對(duì)人民幣外匯期權(quán)正確定價(jià)，就必須要充分的認(rèn)識(shí)人民幣匯率的波動(dòng)情況。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合人民幣自身特點(diǎn)，對(duì)基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的人民幣匯率進(jìn)行均值回復(fù)檢驗(yàn)，并利用R語言編程計(jì)算出模型中的Hurst指數(shù)。

二、基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的人民幣外匯期權(quán)定價(jià)模型[2][3][4]

1.基本假設(shè)

（1）兩個(gè)國(guó)家貨幣匯率波動(dòng)服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

μ表示對(duì)數(shù)外匯價(jià)格的期望率

（2） rd、rf分別表示國(guó)內(nèi)和國(guó)外的無風(fēng)險(xiǎn)利率，且為已知常數(shù)；

（3） σ為波動(dòng)率，是常數(shù)

（4）不存在交易費(fèi)用和稅收

（5）市場(chǎng)是中性的，不存在套利機(jī)會(huì)。

（6）此處考慮的外匯期權(quán)為外匯現(xiàn)貨歐式期權(quán)，且為交易所交易的外匯期權(quán)品種。

2.引入分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的人民幣外匯期權(quán)定價(jià)模型

假設(shè)兩種貨幣之間的匯率滿足方程（2-1），（2-2），

（2-1）

（2-2）

進(jìn)一步結(jié)合分?jǐn)?shù)ITO引理、Hida空間轉(zhuǎn)換、Wick積分等進(jìn)行推導(dǎo)可得歐式看漲外匯期權(quán)的價(jià)格，如公式（2-3）所示。

（2-3）

通過上述公式，我們可以看出影響外匯期權(quán)定價(jià)的幾個(gè)重要參數(shù)為即時(shí)匯率S、執(zhí)行價(jià)格K、到期時(shí)間T、國(guó)內(nèi)無風(fēng)險(xiǎn)利率rd、匯率的預(yù)期收益率μ、匯率的波動(dòng)率σ、Hurst指數(shù)。其中前4個(gè)參數(shù)均為在外匯期權(quán)合同簽訂時(shí)就非常明確的確定了的。而其他的參數(shù)雖然在理論上都是固定的值，但是我們無法從現(xiàn)實(shí)中直接得到，只能根據(jù)人民幣匯率的波動(dòng)情況進(jìn)行計(jì)算的出的，如何是的計(jì)算出的參數(shù)數(shù)值更加的貼近于實(shí)際數(shù)值就顯得尤為重要。匯率的預(yù)期收益率μ和匯率的波動(dòng)率σ都已經(jīng)有了較為成熟的計(jì)算方法，本文希望通過檢驗(yàn)和計(jì)算得到更加真實(shí)的Hurst指數(shù)，以便為人民幣外匯期權(quán)的定價(jià)提供一定的參考。

三、人民幣匯率的均值回復(fù)檢驗(yàn)

均值回復(fù)通俗的講就是金融資產(chǎn)的價(jià)格往往圍繞其價(jià)格的平均值進(jìn)行波動(dòng)，這一現(xiàn)象普遍的存在于股票、匯率、利率等金融資產(chǎn)當(dāng)中。2005年，人民幣匯率不再盯住單一的美元，而是參照一籃子貨幣，根據(jù)市場(chǎng)供求關(guān)系，形成更富有彈性的浮動(dòng)匯率機(jī)制[5]。下面運(yùn)用回歸分析法對(duì)人民幣匯率是否具有均值回復(fù)現(xiàn)象進(jìn)行檢驗(yàn)。

1988年，F(xiàn)ama和French[6]共同研究了用回歸分析法檢驗(yàn)多期對(duì)數(shù)收益序列的自回歸性質(zhì)。他們通過建立線性回歸模型來判斷資產(chǎn)的價(jià)格是隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的還是被暫時(shí)成分所影響亦或者兩者同時(shí)影響資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)，即具有均值回復(fù)趨勢(shì)。下面是對(duì)該方法的簡(jiǎn)單介紹，具體內(nèi)容請(qǐng)參考原文獻(xiàn)。

假設(shè)t時(shí)刻匯率的自然對(duì)數(shù)為p（t），可分解為隨機(jī)運(yùn)動(dòng)成分q（t）和暫時(shí)成分z（t），即可以用公式（3-1）表示。

p（t）=q（t）+z（t）（3-1）

q（t）=q（t-1）+μ+η（t）（3-2）

公式（3-2）中，μ表示預(yù)期漂移項(xiàng)，η（t）表示白噪聲。

用R（t， t+T ）表示從時(shí)刻t到時(shí)刻t+T之間匯率的對(duì)數(shù)收益率，如公式（3-3）所示。

R（t， t+T ）= p（t+T ）- p（t）（3-3）

接下來在收益期T相同的情況下，以R（t， t+T ）為因變量，以R（t-T， t ）為自變量，做一元線性回歸，計(jì)算回歸方程的斜率。根據(jù)Fama和French的分析，如果資產(chǎn)價(jià)格具有均值回復(fù)過程，那么R（t， t+T ）對(duì)R（t-T， t ）的斜率會(huì)形成U型，斜率會(huì)隨著T的增大而減少，一直減少到接近-0.5，然后逐漸增加并回到0.通過對(duì)2005年匯改之后到2015年1月份人民幣對(duì)美元的月度數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，我們能夠得到在不同收益期T下自回歸方程的斜率。并利用Excel將得到的斜率數(shù)據(jù)繪制成圖3-1，我們可以直觀的看出，利用人民幣對(duì)美元匯率的月度數(shù)據(jù)計(jì)算得到的回歸方程的斜率軌跡呈現(xiàn)出U型。所以可以證明人民幣匯率的波動(dòng)具有均值回復(fù)性質(zhì)。

四、Hurst指數(shù)及R/S估計(jì)

Hurst指數(shù)具有發(fā)現(xiàn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)中存在的超長(zhǎng)周期性，所以在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)中，Hurst指數(shù)的估計(jì)是最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。一般認(rèn)為，如果時(shí)間序列數(shù)據(jù)服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，那么Hurst指數(shù)為0.5；若該指數(shù)不等于0.5，那么我們認(rèn)為該時(shí)間序列數(shù)據(jù)服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。在此情況下，若Hurst指數(shù)介于0.5到1之間，我們認(rèn)為時(shí)間序列數(shù)據(jù)遵循有偏隨機(jī)游走過程；當(dāng)0

計(jì)算思路如下：

1.對(duì)已有的時(shí)間序列進(jìn)行如下處理，形成一個(gè)新的對(duì)數(shù)序列Ri，以消除時(shí)間序列的短期自相關(guān)性。

2.將處理后的時(shí)間序列Ri劃分為A個(gè)長(zhǎng)度為H的子區(qū)間Im，并計(jì)算出每個(gè)子區(qū)間的均值Xm、標(biāo)準(zhǔn)差SIm、組內(nèi)極差RIm。

3.每一個(gè)RIm均由對(duì)應(yīng)的SIm進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，則R/S定義為：。

4.不斷增加H的長(zhǎng)度，并重復(fù)1-3步驟，直到，以log（A）為解釋變量，log（R/S）為被解釋變量，通過Hurst推出的關(guān)系我們可以得到如下線性回歸方程：

log（R/S）=log（c）+Hlog（A）+ε（4-1）

Hurst推出的關(guān)系為：

我們?nèi)≡谥袊?guó)人民銀行得到的從2009年1月5日到2015年1月5日的人民幣對(duì)美元匯率日中間價(jià)進(jìn)行分析，利用上述方法，先將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)一階差分處理，消除短期自相關(guān)性，再將處理之后得到的數(shù)據(jù)帶入模型，我們得到人民幣對(duì)美元匯率的Hurst指數(shù)為0.446414，這個(gè)數(shù)據(jù)小于0.5，表明序列是反持續(xù)性的（粉紅噪聲）即均值回復(fù)過程。這與第三節(jié)中進(jìn)行的均值回復(fù)檢驗(yàn)得到的結(jié)果是相符的。

參考文獻(xiàn)：

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