例析牛頓第二定律中的突變類問題

周鵬

解決牛頓第二定律的相關(guān)問題的關(guān)鍵在于要理解并掌握牛頓第二定律的“四同一相對(duì)”的特點(diǎn)，即“同時(shí)、同體、同向、同一單位制和相對(duì)于慣性系”.其中“同時(shí)”是指當(dāng)合外力改變時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的加速度一定是同時(shí)改變.因?yàn)橥饬梢酝蛔?，所以加速度也存在突變問題.

而對(duì)于變化類問題，必須先搞清楚有哪些量瞬時(shí)不變，所謂“以不變應(yīng)萬變”.在我們當(dāng)前的知識(shí)背景下，不會(huì)突變的物理量有：“速度”和“兩端均連有質(zhì)點(diǎn)的彈簧的彈力”（這主要是因?yàn)樵凇巴蛔儭钡那疤嵯?，變化的時(shí)間△t可以認(rèn)為等于0，從而有△v=a△t=0；彈簧的彈力跟形變量成正比，而形變量改變時(shí)，與彈簧相連的質(zhì)點(diǎn)必須產(chǎn)生相應(yīng)的位移，也需要時(shí)間）.而對(duì)于我們常見的輕繩或輕桿而言，一般都是處理成剛體模型，即忽略它們?cè)瓉淼囊稽c(diǎn)點(diǎn)微小的形變，所以它們恢復(fù)形變則可以認(rèn)為不需要時(shí)間，也就是說輕繩或輕桿中的彈力可以突變.當(dāng)然，如果將輕彈簧從中間位置剪斷，由于剪斷處沒有質(zhì)量，則原來形變的彈簧將產(chǎn)生無限大的加速度，使形變瞬間恢復(fù)，所以，一旦彈簧的一端沒有質(zhì)點(diǎn)相連，其彈力也認(rèn)為可以瞬間減為零.在了解了哪些物理量不能突變后，接下來的處理過程就跟正常用牛頓定律解題時(shí)一樣了，先進(jìn)行突變前后的受力分析，找到突變后瞬時(shí)的合外力，即可利用牛頓第二定律求得瞬時(shí)加速度.下面以幾個(gè)典型例題加以說明.

例1 如圖1所示，物體甲、乙質(zhì)量均為m，彈簧和懸線的質(zhì)量可以忽略不計(jì).當(dāng)懸線被燒斷的瞬間，甲、乙的加速度數(shù)值應(yīng)是下列哪一種情況

（）

A.甲是0，乙是g

B.甲是g，乙是g

C.甲是0，乙是0

D.甲是g/2，乙是g

解析 這是一道最基本的突圖1變類問題.懸線被燒斷前，彈簧的彈力F彈=2mg，與總重力平衡.懸線被燒斷瞬時(shí)，兩物體所受重力不變，彈簧的彈力不能突變，而懸線的拉力立即變?yōu)榱?，所以，由牛頓第二定律可知：a乙=mg/m=g，向下；a甲=（F彈-mg）/m =g，向上.即選項(xiàng)B正確.

例2 如圖2所示，用兩根橡皮繩懸掛一質(zhì)量為m的小球，BO水平，AO與豎直方向成θ角，現(xiàn)將BO剪斷，剪斷瞬間，小球的加速度是多少？若AO為輕繩，小球的加速度又是多少？

解析 本題最初是上海市的一道高考題，解題的關(guān)鍵在于橡皮繩形變明顯，形變需要時(shí)間，所以剪斷BO的瞬間可認(rèn)為其形變量和彈力均不發(fā)生變化；輕繩形變極小，形變發(fā)生變化幾乎不需時(shí)間，所以剪斷BO的瞬間其形變量或彈力均會(huì)發(fā)生明顯變化.

（1）若AO為橡皮繩，剪斷BO前，小球受力情況如圖2所示.

由平衡條件可得：mg與FA的合力F跟F等值反向，即F=FB=mgtanθ，方向水平向右.

剪斷BO瞬間，F(xiàn)B消失，而mg不變，F(xiàn)A亦不能突變，即mg和FA的大小、方向都沒有變化，故小球在剪斷BO瞬時(shí)所受的合外力與剪斷BO前完全相同.所以由牛頓第二定律得：a=F/m=gtanθ，方向水平向右.這也就意味著小球在一個(gè)極短的時(shí)間內(nèi)將先沿水平方向加速運(yùn)動(dòng)，然后因FA減小而逐漸向下偏.

（2）若AO為輕繩，則在剪斷BO的瞬時(shí)，不僅FB消失，并且FA的大小也要瞬間發(fā)生變化，此時(shí)我們就無法再根據(jù)剪斷前的受力尋找剪斷后的合力，所以應(yīng)改變思路，在剪斷后小球的運(yùn)動(dòng)情況上找突破口.

因?yàn)榧魯郆O后，小球沿圓弧左右擺動(dòng)，A點(diǎn)為圓心，O點(diǎn)是擺動(dòng)的最高點(diǎn)，所以可知剪斷BO后，小球的瞬時(shí)加速度沿O點(diǎn)的切線方向向下.

剪斷OB瞬時(shí)，在最高點(diǎn)O，小球的重力沿AO方向的分力mgcos0與此時(shí)刻的FA相互平衡（此時(shí)無速度，不需要向心力，所以沿AO方向小球受力平衡），重力沿O點(diǎn)切線方向的分力mgsinθ就成了小球的合外力.

由牛頓第二定律可得：a=F合/m=gsinθ，方向沿O點(diǎn)切線方向向右下方.

可見，這里需要注意的是：瞬時(shí)性問題的處理思路一般有兩個(gè)方向：若除突變因素本身外無其他力發(fā)生突變，可根據(jù)原來的穩(wěn)定狀態(tài)分析瞬間狀態(tài)；若除突變因素本身外還有其他力發(fā)生突變，只能通過后來的運(yùn)動(dòng)過程推測(cè)瞬間狀態(tài).

在以上兩例中，質(zhì)點(diǎn)的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況都比較明確，相對(duì)而言也容易處理，在有些情況下，物體的受力情況并不明確，還需要先進(jìn)行假設(shè)和討論.

例3 如圖3所示，木塊A、B用輕彈簧相連，放在用細(xì)繩懸掛的木箱C內(nèi)，都處于靜止?fàn)顟B(tài)，它們的質(zhì)量分別為m、2m和3m.當(dāng)剪斷細(xì)繩的瞬間，求各物體的加速度大小及其方向？

解析從系統(tǒng)的自由端開始分析.對(duì)木塊A，在細(xì)繩剪斷前受重力和彈簧的彈力而平衡，在細(xì)繩剪斷后瞬間重力不變，而彈簧的彈力又不能突變，所以仍受力平衡，從而aA=0.

本題的難點(diǎn)在于木塊B、C在細(xì)繩剪斷后的受力和運(yùn)動(dòng)情況分析，因?yàn)橹庇^上較難判斷B、C在細(xì)繩剪斷后是否會(huì)分開.所以，在這里要先作一個(gè)假設(shè)，假設(shè)B、C在細(xì)繩剪斷后會(huì)分開，即剪斷后FBC=0.（當(dāng)然，也可以假設(shè)不會(huì)分開，即剪斷后FBC>0）

由假設(shè)可知，剪斷后FC合=mc9= mcac，得ac=g，方向豎直向下；

FB合=mBG+F彈=mAg+mBg=3mg=2maB，得aB=1.5g，方向豎直向下；

而B、C分開的條件是ac>aB，這與上述結(jié)果矛盾，所以以上假設(shè)不成立.也就是說，細(xì)繩剪斷后，B、C不會(huì)分開，而是作為一個(gè)整體一起向下加速運(yùn)動(dòng).

則對(duì)B、C整體，受總重力mBg+mc9=5mg和彈簧的壓力F彈=mAg=mg，即FBc合=6mg，由牛頓第二定律得，加速度：aB=aC=FBC合/5m=1.2g.

這個(gè)結(jié)果才是合理的，因?yàn)锽、C間存在彈力，所以木塊B的加速度1.2g應(yīng)當(dāng)比B單獨(dú)運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度1.5g要小，而木塊C的加速度1.2g應(yīng)當(dāng)比C單獨(dú)運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度g要大.