巧用牛頓第二定律速解連接體問題

劉小蘭

連接體是指所研究問題中涉及的多個(gè)物體或者上下疊放，或者前后擠靠，或者通過細(xì)繩、細(xì)桿或輕彈簧連在一起，或由間接的場力（萬有引力、電場力、磁力等）作用在一起的物體系統(tǒng).

在高中階段，連接體問題的求解，常采用整體法與隔離法相結(jié)合的辦法，即當(dāng)連接體內(nèi)各物體具有相同的加速度時(shí)，采用先整體運(yùn)用牛頓第二定律求出加速度，然后再隔離其中的某個(gè)物體，分析求解有關(guān)量；而當(dāng)連接體內(nèi)各物體的加速度不同時(shí)，則只能采用隔離法，根據(jù)每個(gè)物體的受力情況和運(yùn)動狀態(tài)的不同，結(jié)合牛頓第二定律或運(yùn)動學(xué)公式分別列式求解，這樣不但會使中間過程的分析、求解繁瑣而雜亂，而且極易造成結(jié)果的錯(cuò)誤.此時(shí)，若采用系統(tǒng)的牛頓第二定律求解，便可使問題變繁為簡，變難為易，收到事半功倍之效.

系統(tǒng)的牛頓第二定律是指：若質(zhì)量為m1，m2，…，mn的物體組成連接體（系統(tǒng)），它們的加速度分別為a1，a2，…，an，該連接體（系統(tǒng)）受到的合力為F，則這個(gè)連接體（系統(tǒng)）的牛頓第二定律表達(dá)式可寫為F=m1a1+m2a2+…+mnan因?yàn)榱和加速度a都是矢量，故其正交分量式為

Fx=m1alx+m2a2x+…+mnanx

Fy=m1aly+m2a2y+…+mnany

由此可見，該規(guī)律關(guān)系式不涉及連接體（系統(tǒng)）的內(nèi)力，所以如果不求內(nèi)力，用該規(guī)律分析各物體加速度不相同的連接體（系統(tǒng)）的動力學(xué)問題時(shí)，就可使問題簡化，解題過程簡捷清晰，結(jié)果準(zhǔn)確無誤，同時(shí)能給人以賞心悅目之感.

下面通過實(shí)例的分析與求解，說明系統(tǒng)的牛頓第二定律的具體應(yīng)用，并力圖幫助讀者體會與感悟其在求解連接體問題中的巧妙之處.

一、接觸面間的連接體

例1 如圖1所示，質(zhì)量為mo的木板可沿傾角為θ的光滑斜面下滑，木板上站著一個(gè)質(zhì)量為m的人.

（1）為了保持木板與斜面相對靜止，求人運(yùn)動的加速度：

（2）為了保持人與斜面相對靜止，求木板運(yùn)動的加速度.

解析 （1）設(shè)人運(yùn)動的加速度為a人，木板運(yùn)動的加速度為a板，選取人和木板構(gòu)成的連接體為研究系統(tǒng)，其所受的合力為（mo+m） gsinθ，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第二定律有：

（mo+m）gsinθ=moa板+ma人

變式1 如圖2所示，一質(zhì)量為M的楔形木塊放在水平地面上，兩底角分別為a、β，A、B是兩個(gè)位于斜面上質(zhì)量均為m的木塊.已知兩木塊在斜面上分別以a1、a2的加速度下滑，如果楔形木塊靜止不動，求地面對楔形木塊的支持力和摩擦力分別為多少？

解析 以楔形木塊及A、B為研究對象，系統(tǒng)受到豎直向下的重力（M+2m）g，地面對系統(tǒng)的支持力FN，地面對系統(tǒng)的摩擦力Ff，建立正交坐標(biāo)系如圖3所示.由系統(tǒng)牛頓第二定律分量式知：

在y軸方向：

（M+2m）g-FN=ma1y+ma2y

所以FN=（M+2m）g-m（alsina+a2sinβ）

在x軸方向：

Ff=m（-alx）+ma2x

所以Ff=m（-alcosa）+ma2cosβ=m（a2cosβ-alcosa）

討論：

（1）當(dāng)a2cosβ>a1cosa時(shí)，F(xiàn)f的方向與x軸正方向相同；

（2）當(dāng)a2cosβ

（3）當(dāng)a2cosB=a1cosa時(shí)，F(xiàn)f=0.

二、細(xì)繩間的連接體

例2 水平面上有一帶圓弧形凸起的長方形木塊A，木塊A上的物體B用繞過凸起的輕繩與物體C相連，B與凸起之間的繩是水平的，用一水平向左的拉力F作用在物體B上，恰使物體A、B、C保持相對靜止，如圖4所示.已知物體A、B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，不計(jì)所有的摩擦，則拉力應(yīng)為多大？

解析 如圖5所示，設(shè)C物體與豎直方向偏離的角度為0，C物體受到繩子的拉力為T，由牛頓第二定律有：對于A、B、C用整體法得

F=3ma①

對于B物體有

F-T=ma②

對于C物體有

Tsinθ=ma③

Tcos0=mg④

由①、②兩式可得T=2ma⑤

變式2 如圖6所示，用細(xì)線將一質(zhì)量為M的金屬塊與一質(zhì)量為m的木塊連接在一起浸入水中，開始時(shí)木塊的上表面剛好與水面平齊，它們一起以加速度a勻加速下沉，一段時(shí)間后細(xì)線斷了，此時(shí)金屬塊向下運(yùn)動的加速度大小為a1，求此時(shí)木塊的加速度a2.

解析 木塊與金屬塊均受到重力與水的浮力作用，它們受到的重力與浮力的合力FA由牛頓第二定律有F合=（M+m）a，在細(xì)線斷的前后，由于它們受到的重力與浮力均沒有變化，故線斷后整體受到的合力仍為F合=（M+m）a，方向向下.由于線斷后金屬塊的加速度ai的方向向下，但木塊的加速度a2的方向向上.選取向下為正方向，對金屬塊與木塊整體，由牛頓第二定律有：

（M+m）a=Mal-ma2

故a2 =M（a1-a）-ma.

三、輕彈簧間的連接體

例3 如圖7所示，一輛有動力驅(qū)動的小車上有一水平放置的彈簧，其左端固定在小車上，右端與一小球相連，設(shè)在某一段時(shí)間內(nèi)小球與小車相對靜止且彈簧處于壓縮狀態(tài).若忽略小球與小車間的摩擦力，則在此段時(shí)間內(nèi)小車可能是

（）

A.向右做加速運(yùn)動

B.向右做減速運(yùn)動

C.向左做加速運(yùn)動

D.向左做減速運(yùn)動

解析 小球在水平方向受到向右的彈簧彈力，由牛頓第二定律可知，小球必定具有向右的加速度，小球與小車相對靜止，故小車可能向右做加速運(yùn)動或向左做減速運(yùn)動，故選項(xiàng)AD正確.

變式3如圖8所示，光滑水平面上，A、B兩物體用輕彈簧連接在一起，A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，在拉力F作用下，A、B共同做勻加速直線運(yùn)動，加速度大小為a，某時(shí)刻突然撤去拉力F，此瞬時(shí)A和B的加速度大小為a1和a2，則

（）

解析 剛剛撤去拉力F瞬間，A受到的彈簧對它的彈力不變，所以A的加速度還是向右的a，那么我們對整體受力分析可知，整體合力為0，由系統(tǒng)第二定律可知。