利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題探秘

張汝波

導(dǎo)數(shù)方法不是解決零點(diǎn)問(wèn)題的唯一方法，也不一定是最簡(jiǎn)單的方法，但在很多時(shí)候是一種較為通用的方法，而在近幾年各省的高考題中零點(diǎn)問(wèn)題出現(xiàn)的頻率非常高，形式也逐漸多樣化，非常有必要來(lái)重視它.

一、已知區(qū)間上有零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍

例1 已知函數(shù)f（x）=ex-ax?-bx1，其中a，b∈R.

（1）設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[O，1]上的最小值；

（2）若f（1）一0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（O，1）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解 （1）略.

（2）由題設(shè)f（1）→e-a-b-1=0→b=e-a-l，又f（0）=0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（O，1）內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.

（1）當(dāng)a≤1/2或a≥e/2時(shí)，由（1）知，函數(shù)g（x）即f'（x）在區(qū)間[O，1]上單調(diào)，不可能滿足“函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間”這一要求.e），求導(dǎo)可知h（x）在區(qū)間（1，√e）上單調(diào)遞增，在區(qū)間√e，e）上單調(diào)遞減.故hmax（x）=h（√e）=√e-e-l<0，即f'min（x）

于是，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間

綜上，a的取值范圍為（e-2，1）.

方法感悟 本題是已知區(qū)間上有零點(diǎn)，求字母參數(shù)的范圍問(wèn)題.由于含有超越函數(shù)式的函數(shù)圖象較為復(fù)雜，也沒(méi)有固定的形狀特點(diǎn)，所以在研究此類問(wèn)題時(shí)，可以從兩個(gè)方面去思考：一是根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，估計(jì)出函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件，進(jìn)而求出參數(shù)滿足的條件；另一方面，也可以先求導(dǎo)，通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)情況，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況，推導(dǎo)出函數(shù)本身需要滿足的條件，此時(shí)，由于函數(shù)比較復(fù)雜，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)多次求導(dǎo)，層層推理得解.

二、已知參數(shù)的取值范圍，討論

零點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況

例2 （2013年江蘇第20題節(jié)選）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù)，若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解 因?yàn)間（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，所以g'（x）≥0對(duì)x∈（-1，+∞）恒成立，即a≤ex對(duì)x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤e-l.

（i）當(dāng)a=0時(shí)，由f（1）=0以及f'（x）=l/x>o，得f（x）存在唯一的零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)a<0時(shí)，由于f（ea）=a-aea=a（l-ea）<0，f（1）=-a>0，且函數(shù)f（x）在[ea，1]上的圖象不間斷，所以f（x）在（ea，1）上存在零點(diǎn).

另外，當(dāng)x>o時(shí)，f'（x）=1/x-a>o，故f（x）在（o，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，所以f （x）只有一個(gè)零點(diǎn).

（iii）當(dāng)oo，當(dāng)x>a-l時(shí)，f'（x）<0，所以，x=a-l是f（x）的最大值點(diǎn)，且最大值為f（a-1）=-lna-1

①當(dāng)-Ina-l=O，即a=e-l時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)x=e.

②當(dāng)-Ina-l>O，即O

實(shí)際上，對(duì)于Oo，且函數(shù)f（x）在[e-1，a-l]上的圖象不間斷，所以f（x）在（e-l，a-l）上存在零點(diǎn)，

另外，當(dāng)x∈（o，a-1）時(shí)，f'（x）=1/x-a>O，故f（x）在（0，a-l）上是單調(diào)增函數(shù)，所以f（x）在（0，a-1）上只有一個(gè)零點(diǎn).

另可證f（x）在（a-l，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn).

綜合（i），（ii），（iii），當(dāng)a≤O或a=e-1時(shí)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)O

方法感悟 對(duì)于已知參數(shù)的取值范圍，討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，借助導(dǎo)數(shù)解決的辦法也有兩個(gè)：一是分離參數(shù)，得到參數(shù)與超越函數(shù)式相等的式子，借助導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，結(jié)合圖形，由參數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，易得交點(diǎn)個(gè)數(shù)的分類情況.另一辦法是構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，用單調(diào)性判定函數(shù)的取值情況，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理證明零點(diǎn)的存在性，

三、已知存在零點(diǎn)，證明零點(diǎn)的性質(zhì)

例3 （2014天津第20題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=x-aex（a∈R），x∈R，函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)xl，x2，且x1

（I）求a的取值范圍；

（Ⅱ）證明：隨著（z的減小而增大.

解 （I）a的取值范圍是（0，e-l），解答略.

（Ⅱ）證明：由f（x）=x-ae=o，有a=在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.并且，當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，g（x）≤o；當(dāng)x∈（O，+∞）時(shí)，g（x）>0.

由已知，x1，x2滿足a=g（x1），a=g（x2），由a∈（0，e-1），及g（x）的單調(diào)性，可得x1∈（O，l），x2∈（1，+∞）.

對(duì)于任意的a1，a2∈（O，e-l），設(shè)a1>a2，g（ξ1）=g（ξ2）=a1，其中o<ξ1<1<ξ2；g（η1）=g（η2）=a2，其中0<η1<1<η2.

因?yàn)間（x）在（O，1）上單調(diào)遞增，故由a1>a2，即g（ξ1》g（η1），可得ξ1﹥?chǔ)?

類似可得ξ2<η2又由ξ1，η1>o，得所以，隨著a的減小而增大.

方法感悟 已知函數(shù)存在零點(diǎn)，需要證明零點(diǎn)滿足某項(xiàng)性質(zhì)時(shí)，實(shí)際上是需要對(duì)函數(shù)零點(diǎn)在數(shù)值上進(jìn)行精確求解或估計(jì)，需要對(duì)零點(diǎn)進(jìn)行更高要求的研究，為此，不妨結(jié)合已知條件和未知要求，構(gòu)造新的函數(shù)，再次通過(guò)導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)對(duì)函數(shù)進(jìn)行更進(jìn)一步的分析研究，其中，需要靈活運(yùn)用函數(shù)思想、化歸思想等，同時(shí)也需要我們有較強(qiáng)的抽象概括能力、綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

總而言之，高考題中利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題最終都回歸于函數(shù)單調(diào)性的判斷，而函數(shù)的單調(diào)性、極值義與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，可以說(shuō)函數(shù)零點(diǎn)的判斷，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的判斷，或者數(shù)值上的精確求解或估計(jì)成為導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中最為核心的問(wèn)題.